平桥区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

平桥区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f （x+2）=f （x ）．当0≤x ≤1时，f （x ）=x 2．若直线y=x+a 与函数y=f （x ）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是（ ）
A ．0
B ．0或
C ．
或
D ．0或
2． 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos 2）a n +sin 2
，则该数列的前10项和为（
）A ．89
B ．76
C ．77
D ．35
3． 设曲线y=ax 2在点（1，a ）处的切线与直线2x ﹣y ﹣6=0平行，则a=（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．﹣1
4． 函数，的值域为（ ）2
-21y x x =-[0,3]x ∈ A. B. C. D.
5． 函数f （x ）=x 2﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．R
B ．[1，+∞）
C ．（﹣∞，1]
D ．[2，+∞）
6． 已知函数f （x+1）=3x+2，则f （x ）的解析式是（
）
A ．3x ﹣1
B ．3x+1
C ．3x+2
D ．3x+4
7． α是第四象限角，，则sin α=（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 已知F 1、F 2分别是双曲线﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的
直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．（1，
）
B ．（
，+∞）C ．（
，2）
D ．（2，+∞）
9． 已知的终边过点，则等于（ ）()2,37tan 4πθ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭A ． B ．
C ．-5
D ．51
5
-
1
5
10．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（
）
A ．
B ．（4+π）
C ．
D ．
11．幂函数y=f （x ）的图象经过点（﹣2，﹣），则满足f （x ）=27的x 的值是（ ）
A ．
B ．﹣
C ．3
D ．﹣3
12．函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（2.3）
D ．（3，4）
二、填空题
13．设O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的准线为l ，焦点为F ，过F 斜率为的直线与抛物线C 相
交于A ，B 两点，直线AO 与l 相交于D ，若|AF|＞|BF|，则
= ．
14．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，则数列的通项a n = ．
15．已知集合M={x||x|≤2，x ∈R}，N={x ∈R|（x ﹣3）lnx 2=0}，那么M ∩N= ．
16．设抛物线的焦点为，两点在抛物线上，且，，三点共线，过的中点作2
4y x =F ,A B A B F AB M y 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则点的横坐标为 .
P 3
2
PF =
M 17．某辆汽车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间
加油量（升）加油时的累计里程（千米）
2015年5月1日12
350002015年5月15日48
35600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升．
18．已知命题p ：实数m 满足m 2+12a 2＜7am （a ＞0），命题q ：实数m 满足方程+
=1表示的焦点
在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，a 的取值范围为 ．
三、解答题
19．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且csinA=acosC．
（I）求C的值；
（Ⅱ）若c=2a，b=2，求△ABC的面积．
20．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．
气温（℃）141286
用电量（度）22263438
（1）求线性回归方程；（）
（2）根据（1）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．
21．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，S2=4，且a2，a5，a14成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）从数列{a n}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{b n}，记该数列的前n项和为T n，求T n的表达式．
22．2015年9月3日，抗战胜利70周年纪念活动在北京隆重举行，受到全国人民的瞩目．纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚会等，据统计，抗战老兵由于身体原因，参加纪念大会、阅兵式、招待会这三个环节（可参加多个，也可都不参加）的情况及其概率如表所示：
参加纪念活动的环节数0123
概率
（Ⅰ）若从抗战老兵中随机抽取2人进行座谈，求这2人参加纪念活动的环节数不同的概率；
（Ⅱ）某医疗部门决定从这些抗战老兵中（其中参加纪念活动的环节数为3的抗战老兵数大于等于3）随机抽取3名进行体检，设随机抽取的这3名抗战老兵中参加三个环节的有ξ名，求ξ的分布列和数学期望．
23．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．求函数f（x）的解析式．
24．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）分别求第3，4，5组的频率；
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
平桥区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，
∴当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），
又f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的函数，
又直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：
当a=0时，直线y=x+a变为直线l1，其方程为：y=x，显然，l1与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点；
当a≠0时，直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，由图可知，直线y=x+a与函数y=f（x）相切，切点的横坐标x0∈[0，1]．
由得：x2﹣x﹣a=0，由△=1+4a=0得a=﹣，此时，x0=x=∈[0，1]．
综上所述，a=﹣或0
故选D．
2．【答案】C
【解析】解：因为a1=1，a2=2，所以a3=（1+cos2）a1+sin2=a1+1=2，a4=（1+cos2π）a2+sin2π=2a2=4．一般地，当n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+1=[1+cos2]a2k﹣1+sin2=a2k﹣1+1，即a2k+1﹣a2k﹣1=1．所以数列{a2k﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k﹣1=k．
当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=（1+cos2）a2k+sin2=2a2k．
所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k．
该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77故选：C ．　
3． 【答案】A 【解析】解：y'=2ax ，
于是切线的斜率k=y'|x=1=2a ，∵切线与直线2x ﹣y ﹣6=0平行∴有2a=2∴a=1故选：A
【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．　
4． 【答案】A 【解析】
试题分析：函数在区间上递减，在区间上递增，所以当x=1时，
()2
2
2112y x x x =--=--[]0,1[]1,3，当x=3时，，所以值域为。

故选A 。

()()min 12f x f ==-()()max 32f x f ==[]2,2-考点：二次函数的图象及性质。

5． 【答案】C
【解析】解：由于f （x ）=x 2﹣2ax 的对称轴是直线x=a ，图象开口向上，故函数在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a ，+∞）上为增函数，又由函数f （x ）=x 2﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则a ≤1．故答案为：C
6． 【答案】A
【解析】∵f （x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1∴f （x ）=3x ﹣1故答案是：A
【点评】考察复合函数的转化，属于基础题．　
7． 【答案】B
【解析】解：∵α是第四象限角，∴sin α=，
故选B ．
【点评】已知某角的一个三角函数值，求该角的其它三角函数值，应用平方关系、倒数关系、商的关系，这是三角函数计算题中较简单的，容易出错的一点是角的范围不确定时，要讨论．
8．【答案】D
【解析】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，
不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），
与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），
∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF2|，即有＞c2，
∴b2＞3a2，
∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．
则e=＞2．
∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．
9．【答案】B
【解析】
考点：三角恒等变换．
10．【答案】D
【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体，
是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，
圆柱的底面直径和母线长都是2，
四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，
四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，
∴几何体的体积是=，
故选D．
【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．
11．【答案】A
【解析】解：设幂函数为y=xα，因为图象过点（﹣2，﹣），所以有=（﹣2）α，解得：α=﹣3
所以幂函数解析式为y=x﹣3，由f（x）=27，得：x﹣3=27，所以x=．
故选A．
12．【答案】A
【解析】解：∵f（0）=﹣2＜0，f（1）=1＞0，
∴由零点存在性定理可知函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）．
故选A
【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：∵O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，
过F斜率为的直线与抛物线C相交于A，B两点，
直线AO与l相交于D，
∴直线AB的方程为y=（x﹣），l的方程为x=﹣，
联立，解得A（﹣，P），B（，﹣）
∴直线OA的方程为：y=，
联立，解得D（﹣，﹣）
∴|BD|==，
∵|OF|=，∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查两条件线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质．　
14．【答案】　2n﹣1　．
【解析】解：∵a1=1，a n+1=a n+2n，
∴a2﹣a1=2，
a3﹣a2=22，
…
a n﹣a n﹣1=2n﹣1，
相加得：a n﹣a1=2+22+23+2…+2n﹣1，
a n=2n﹣1，
故答案为：2n﹣1，
15．【答案】　{1，﹣1}　．
【解析】解：合M={x||x|≤2，x∈R}={x|﹣2≤x≤2}，
N={x∈R|（x﹣3）lnx2=0}={3，﹣1，1}，
则M∩N={1，﹣1}，
故答案为：{1，﹣1}，
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
【解析】由题意，得，，准线为，设、，直线的方程为
2p =(1,0)F 1x =-11(,)A x y 22(,)B x y AB ，代入抛物线方程消去，得，所以，．又(1)y k x =-y 22
2
2
(24)0k x k x k -++=2122
24
k x x k ++=
121x x =设，则，所以，所以．
00(,)P x y 01212112()[(1)(1)]22y y y k x k x k =+=-+-=021x k =212
(,)P k k 因为，解得，所以点的横坐标为2．
0213
||112
PF x k =+=+=22k =M 17．【答案】　8　升．
【解析】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8．
故答案是：8．　
18．【答案】　[，]　．
【解析】解：由m 2﹣7am+12a 2＜0（a ＞0），则3a ＜m ＜4a 即命题p ：3a ＜m ＜4a ，
实数m 满足方程
+
=1表示的焦点在y 轴上的椭圆，
则，
，解得1＜m ＜2，
若p 是q 的充分不必要条件，则，
解得
，
故答案为[，]．
【点评】本题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，根据不等式的性质和椭圆的性质求出p ，q 的等价条件是解决本题的关键．　
三、解答题
【解析】解：（I）∵a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且csinA=acosC，
∴sinCsinA=sinAcosC，∴sinCsinA﹣sinAcosC=0，
∴sinC=cosC，∴tanC==，
由三角形内角的范围可得C=；
（Ⅱ）∵c=2a，b=2，C=，
∴由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，
∴4a2=a2+12﹣4a•，解得a=﹣1+，或a=﹣1﹣（舍去）
∴△ABC的面积S=absinC==
20．【答案】
【解析】解：（1）由表可得：；
又；
∴，；
∴线性回归方程为：；
（2）根据回归方程：当x=10时，y=﹣2×10+50=30；
∴估计当气温为10℃时的用电量为30度．
【点评】考查回归直线的概念，以及线性回归方程的求法，直线的斜截式方程．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）依题意得：，解得．
∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
即a n=2n﹣1；
（Ⅱ）由已知得，．
∴T n=b1+b2+…+b n=（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n+1﹣1）
=（22+23+…+2n+1）﹣n=．
【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的性质，考查了等比数列的前n项和的求法，考查了化归与转化思想方法，是中档题．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同”为事件M，
则“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数相同”为事件，
根据题意可知P（）==，
由对立事件的概率计算公式可得，
故这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同的概率为．
（Ⅱ）根据题意可知随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，
，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
P（ξ=4）=（）3=，
则随机变量ξ的分布列为：
ξ0123
P
则数学期望．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
23．【答案】
【解析】解：（1）f'（x）=3ax2+2bx﹣3，依题意，f'（1）=f'（﹣1）=0，
即，解得a=1，b=0．
∴f（x）=x3﹣3x．
【点评】本题考查了导数和函数极值的问题，属于基础题．
24．【答案】
【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3，
第4组的频率为0.04×5=0.2，
第5组的频率为0.02×5=0.1；
（2）第3组的人数为0.3×100=30，
第4组的人数为0.2×100=20，
第5组的人数为0.1×100=10；
因为第3，4，5组共有60名志愿者，
所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第3组=3；第4组=2；第5组=1；
应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．
（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6；
在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6），
（4，5），（4，6），
（5，6）；
共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽中共有9种，
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．
【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．　。