2024年北京市西城区高三一模数学答案

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西 城 区 高 三 统 一 测 试 试 卷
数学答案及评分参考 2024.4
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）B （ 2 ）D （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）C
（ 6 ）A
（ 7 ）A
（ 8 ）B
（ 9 ）D
（10）C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11
（12）
π3 π
3
（答案不唯一） （13
）y =
（14）6−n 13−
（15）① ③ ④
三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共14分） 解：（Ⅰ）连接1A B ，设11A B
AB E =，连接DE ．
………1分
因为在三棱柱111ABC A B C −中，四边形11A ABB 是平行四边形， 所以E 为1A B 的中点．
………2分
因为D 为BC 的中点， 所以1//DE A C ．
………3分
又因为1A C ⊄平面1AB D ，⊂DE 平面1AB D ， 所以1
//AC 平面1AB D ． ………5分
（Ⅱ）因为1
AB AC ⊥，AB AC ⊥，
所以AB ⊥平面11A ACC ．
………6分
所以1AB AA ⊥．
又1AA AC ⊥，所以1,,AB AC AA 两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系A x yz −．………7分 则(0,0,0)A ，1(2,0,2)B ，(1,1,0)D ，(0,2,0)C ． 所以1(,,)202AB =，(,,)110AD =．
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设平面1AB D 的法向量为(,,)x y z =m ，则10,0,
AB AD =⎧⎪⎨=⎪⎩⋅⋅m m 即220,
0.x z x y +=⎧⎨+=⎩
令1x =−，则1y =，1z =．于是(1,1,1)=−m ． ………10分
因为AC ⊥平面11A ABB ，
所以(0,2,0)AC =是平面11A ABB 的一个法向量． ………11分 所以3
cos ,3
||||AC AC AC 〈〉=
=⋅m m m ．
………13分
由题设，二面角11D AB
A −−的平面角为钝角， 所以二面角11D A
B A −−的余弦值为 ………14分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）由tan 2sin a B b A =，得sin 2sin cos a B b A B =．
………1分 在ABC △中，由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A B A B B =．
………3分
因为sin 0,sin 0A B >>， 所以1cos 2
B =
． ………4分 又0πB <∠<， ………5分 所以π
3
B ∠=
．
………6分 （Ⅱ）选条件①：BC
………7分
设BC 边中点为M ，连接AM ，则AM =，4BM =．
在ABM △中，由余弦定理得2222cos AM AB BM AB BM B =+−⋅⋅，………9分 即2π21168cos
3
AB AB =+−⋅． 整理得2450AB AB −−=． 解得5AB =或1AB =−（舍）．
………11分 所以ABC △的面积为1
sin 2
ABC S AB BC B =
⋅⋅=△．
………13分
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选条件③：7b =．
………7分 在ABC △中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+−，
………9分
即222
π7816cos
3
c c =+−⋅． 整理得28150c c −+=． 解得3c =或5c =．
………11分
当3c =时，ABC △
的面积为1
sin 2
ABC S ac B ==△ 当5c =时，ABC △
的面积为1
sin 2
ABC S ac B =
=△．
………13分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）甲进入决赛，理由如下：
丙射击成绩的总环数为26471081892610542⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
甲射击成绩的总环数为16171082492410549⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 因为549542>，所以甲进入决赛．
………3分
（Ⅱ）根据题中数据，“甲命中9环”的概率可估计为
242605
=； “甲命中10环” 的概率可估计为242605
=； “乙命中9环” 的概率可估计为
301602=； “乙命中10环” 的概率可估计为
151
604
=．
………5分
所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为：
222212122212121113()()()()C ()C ()5452524100
⨯+⨯+⨯⨯=． ………10分 （Ⅲ）7a =和8．（写出一个即可）
………13分
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（19）（共15分）
解：（Ⅰ）由题设，2222,1
,2.
a c a a
b
c =⎧⎪⎪
=⎨
⎪⎪−=⎩
………3分
解得224,3a b ==．
所以椭圆G 的方程为22
143
x y +
=． ………5分
（Ⅱ）由题设，直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+．
则(2,2)E k m +,直线OE 的方程为()2
m
y k x =+
． ………6分 由22
,3412,
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222
(43)84120k x kmx m +++−=．
………7分
由2248(43)0=−+>Δk m ，得2243<+m k ．
设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则122843
km
x x k +=−+，212241243m x x k −=+． ………8分
直线AC 的方程为11(2)2y
y x x =++． ………9分
联立直线AC 和OE 得11(2)()22
y m
x k x x +=++． 解得1
111111
244()
44()(2)2
M y y kx m x m
mx k mx k
k x y +=
=
=++++−．
………11分
同理可得224()
4N kx m x mx k +=+．
所以122112()(4)()(4)
4(4)(4)
M N kx m mx k kx m mx k x x mx k mx k ++++++=⨯
++．
………12分
因为1221()(4)()(4)+++++kx m mx k kx m mx k
22121222222222(4)()82(412)8(4)8(43)4343430kmx x k m x x km
km m km k m km k k k k =++++−++=−++++=，
所以0M N x x +=，即点M 和点N 关于原点O 对称． 所以||||=OM ON ．
………15分
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（20）（共15分）
解：（Ⅰ）当1a =时，()ln e =++x f x x x x ，
所以1
()1(1)e '=+
++x f x x x
． ………2分
所以(1)2e 2f '=+．
所以曲线()y f x =在点(,())11f 处切线的斜率为2e 2+．
………4分
（Ⅱ）当1a =−时，()ln()e =+−−x f x x x x ，()f x 的定义域为(,0)−∞．
11
()1(1)e (1)(e )'=+
−+=+−x x f x x x x x
． ………6分
因为
1e 0x
x
−<， 所以(,1)x ∈−∞−时，()0f x '>；(1,0)x ∈−时，()0f x '<．
所以()f x 的单调递增区间为(,1)−∞−；单调递减区间为(1,0)−． ………9分 （Ⅲ）1e ()(1)()'=++x
f x x x a
．
当0a >时，()f x 的定义域为(0,)+∞． 所以()0'>f x ，()f x 在(0,)+∞上单调递增．
因为1
()0>f a ，所以0a >不合题意．
………11分
当0a <时，()f x 的定义域为(,0)−∞．
因为(,1)x ∈−∞−时，()0f x '>；(1,0)x ∈−时，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为(,1)−∞−；单调递减区间为(1,0)−． 所以max 1()(1)1ln()e
=−=−+−−f x f a a ． ………13分
设1()1ln()e =−+−−
g x x x ，则22
11e 1()e e +'=+=x g x x x x ， 因为1(,)e ∈−∞−x 时，()0'<g x ；1
(,0)e
∈−x 时，()0'>g x ，
所以()g x 的单调递减区间为1(,)e −∞−；单调递增区间为1
(,0)e −．
所以min 1
()()1e
=−=−g x g ．
所以集合{|()1}−≥x f x 有且只有一个元素时1
e
a =−．
………15分
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（21）（共15分） 解：（Ⅰ）记1122i i i n in t a b a b a b =++
+．
因为1233,2,0t t t ===， ………3分 所以2=K ．
………4分
（Ⅱ）（ⅰ）B 不满足3m r =，理由如下：
假设B 满足3m r =．
因为B 的每行恰有三个1，故B 中满足1==i p i q b b 的(,,)i p q 的个数共有3m 个． 另一方面，从B 中任选两列共有2C n 种可能，且对任意两列，都恰有r 行使得 这两列的数均为1，故B 中满足1==i p i q b b 的(,,)i p q 的个数共有2C n r 个． 所以23C n m r =．
当3m r =时，得2C 9n =，此方程无解． 所以B 不满足3m r =．
………9分
（ⅱ）由（ⅰ）可得2
3C n
m r =，即2C 3
n
r m =．
下面考虑满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,,)i p q 的个数：
对B 中满足0≠i t 和3的−m K 行，每行恰有两组(,)p q 使1==i p i q b b 且p q a a ≠，
所以满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,,)i p q 的个数为2
C 2()2()3
−=−n r m K K ．
………11分
设数列A 中有x 项为1，−n x 项为0．
满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,)p q 的个数为()−x n x ． 所以满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,,)i p q 的个数为()−rx n x ．
………13分
所以2
C ()2()3
−=−n r rx n x K ．
所以222C ()(33)326
−=−=−+−n
r rx n x r K x nx n n 2222
2331()()(4)6426424
−+−=−−≥≥r n n r n n n n n n ． ………15分。