中考数学考点总动员系列 专题46 一次函数-人教版初中九年级全册数学试题

专题46 一次函数
聚焦考点☆温习理解
1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。

特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。

这时，y 叫做x 的正比例函数。

2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线；一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。

k>0，b>0时，图像经过一、二、三象限，y 随x 的增大而增大。

k>0，b<0时，图像经过一、三、四象限，y 随x 的增大而增大。

k<0，b>0时，图像经过一、二、四象限，y 随x 的增大而减小。

k<0，b<0时，图像经过二、三、四象限，y 随x 的增大而减小。

当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。

3、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k 。

确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b 。

解这类问题的一般方法是待定系数法。

4、一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积
直线y=kx+b 与x 轴的交点坐标为（b k
-，0），与y 轴的交点坐标为（0，b ）;直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S △=12｜b k -｜·｜b ｜=2
2||
b k .
名师点睛☆典例分类
考点典例一、求函数自变量的取值X 围
【例1】（2015内江）函数121
y x x =--中自变量x 的取值X 围是（ ）
A ．2x ≤
B ．2x ≤且1x ≠
C ．x ＜2且1x ≠
D ．1x ≠
【答案】B ．
考点：函数自变量的取值X 围．
【点睛】本题考查了函数自变量的X 围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【举一反三】
（2015某某）在函数12
y x =-中，自变量x 的取值X 围是（ ） A ．2x ≠- B ．2x > C ．2x < D ．2x ≠
【答案】D ．
【解析】
试题分析：根据题意，有20x -≠，解得2x ≠．故选D ．
考点：函数自变量的取值X 围．
考点典例二、函数的图象
【例2】（2015某某）小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地．下列函数图象能表达这一过程的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C．
【解析】
试题分析：由题意，得：以400米/分的速度匀速骑车5分，路程随时间匀速增加；在原地休息了6分，路程不变；以500米/分的速度骑回出发地，路程逐渐减少，故选C．
考点：函数的图象．
【点睛】本题主要考查了函数的图象．本题的关键是分析路程与时间的关系．
【举一反三】
1.（2015资阳）如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（）
A． B． C． D．
【答案】B．
考点：动点问题的函数图象．
2. （2015某某）小X的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B ．
【解析】 试题分析：根据题某某息可知，相同的路程，跑步比漫步的速度快；在一定时间内没有移动距离，则速度为零．故小华的爷爷跑步到公园的速度最快，即单位时间内通过的路程最大，打太极的过程中没有移动距离，因此通过的路程为零，还要注意出去和回来时的方向不同，故B 符合要求．故选B ．
考点：函数的图象．
考点典例三、一次函数和正比例函数的图象和性质
【例3】（2015某某）若关于x 的一元二次方程2
210x x kb -++=有两个不相等的实数根，则一次函数y kx b =+的大致图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B ．
考点：1．根的判别式；2．一次函数的图象．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．函数值y 随x 的增大而减小⇔k ＜0；函数值y 随x 的增
大而增大⇔k ＞0；一次函数y=kx+b 图象与y 轴的正半轴相交⇔b ＞0，一次函数y=kx+b 图象与y 轴的负半轴相交⇔b ＜0，一次函数y=kx+b 图象过原点⇔b=0．
【举一反三】
1.（2015某某）一次函数21y x =+的图象不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D ．
【解析】
试题分析：∵20,10k b =>=>，根据一次函数的图像即可判断函数所经过一、二、三象限，不经过第四象限，故选D ．
考点：一次函数的图象．
2.（2015眉山）关于一次函数21y x =-的图象，下列说法正确的是（ ）
A ．图象经过第一、二、三象限
B ．图象经过第一、三、四象限
C ．图象经过第一、二、四象限
D ．图象经过第二、三、四象限
【答案】B ．
考点：一次函数图象与系数的关系．
考点典例四、确定一次函数解析式
【例4】（2015·某某某某）（10分）如图，直线l 上有一点P 1（2，1），将点P 1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P 2，点P 2恰好在直线l 上．
（1）写出点P 2的坐标；
（2）求直线l 所表示的一次函数的表达式；
（3）若将点P 2先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到像点P 3．请判断点P 3是否在直线l 上，并说明理由．
【答案】P2（3，3）；y=2x﹣3；在.
考点：一次函数图象与几何变换；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
【举一反三】
(2015·某某某某，17题，分）（本题8分）已知一次函数y=kx＋3的图象经过点(1，4)求这个一次函数的解析式求，关于x的不等式kx＋3≤6的解集.
【答案】y=x+3；x≤3.
【解析】
试题分析：将点(1,4)代入函数解析式求出k的值，得出函数解析式；根据不等式的性质求出不等式的解. 试题解析：将点(1,4)代入得：k+3=4 解得：k=1 ∴一次函数的解析式为y=x+3
根据k的值可得：不等式为x+3≤6 解得：x≤3.
考点：一次函数的性质.
考点典例五、一次函数的应用
【例5】（2015·某某某某）如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间x（s）之间的关系满足如图2中的图象，则至少需要s能把小水杯注满．
【答案】5．
考点：一次函数的应用．
【举一反三】
（2015·某某省某某市、某某市、大兴安岭）【8分】甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原
路原速返回A 地．乙车从B 地直达A 地，两车同时到达A 地．甲、乙两车距各自出发地的路程y （千米）与甲车出发所用的时间x （小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：
（1）乙车的速度是千米/时，t =小时；
（2）求甲车距它出发地的路程y 与它出发的时间x 的函数关系式，并写出自变量的取值X 围；
（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．
【答案】（1）60，3；（2）120 (03)360 (34)120840 (47)x x y x x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩
；（3）83小时、4小时、6小时． 【解析】
试题分析：（1）根据图象，可得乙车的速度，然后根据路程÷速度=时间，用两地之间的距离除以乙车的速度，求出乙车到达A 地用的时间是多少；最后根据路程÷时间=速度，用两地之间的距离除以甲车往返AC 两地用的时间，求出甲车的速度，再用360除以甲车的速度，求出t 的值是多少即可；
（2）根据题意，分3种情况讨论：①当0≤x ≤3时；②当3＜x ≤4时；③4＜x ≤7时；；
（3）根据题意，分3种情况：①甲乙两车相遇之前相距120千米；②当甲车停留在C 地时；③两车都朝A 地行驶时；然后根据路程÷速度=时间，分类讨论，求出乙车出发多长时间两车相距120千米即可．
试题解析：（1）根据图象，可得：乙车的速度是60千米/时，甲车的速度是：（360×2）÷（480÷60﹣1﹣
1）=720÷6=120（千米/小时），∴t =360÷120=3（小时）；
（2）①当0≤x ≤3时，设y kx =，把（3，360）代入，可得：3360k =，解得：k =120，∴y =120x （0≤x ≤3）；
②当3＜x ≤4时，y =360；
③4＜x ≤7时，设y ax b =+，把（4，360）和（7，0）代入，可得：436070a b a b +=⎧⎨
+=⎩，解得：120480
a b =-⎧⎨=⎩，∴y =﹣120x +840（4＜x ≤7）， ∴120 (03)360 (34)120840 (47)x x y x x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩
；
（3）①（480﹣60﹣120）÷（120+60）+1=300÷180+1=513
+=83（小时）； ②当甲车停留在C 地时，（480﹣360+120）÷60=240÷6=4（小时）；
③两车都朝A 地行驶时，设乙车出发x 小时后两车相距120千米，则60x ﹣[120（x ﹣1）﹣360]=120，所以480﹣60x =120，所以60x =360，解得x =6．综上，可得：乙车出发
83小时、4小时、6小时后两车相距120千米．
考点：一次函数的应用．
课时作业☆能力提升
一、选择题
1..（2015·某某某某）函数35
-x y x +=中自变量x 的取值X 围是( ). A ． x ≥－3 B ．5x ≠ C ．x ≥－3或5x ≠ D ．x ≥－3且5x ≠
【答案】D.
考点：函数解析式有意义的条件.
2.（2015某某）直线24y x =-与y 轴的交点坐标是（ ）
A ．（4，0）
B ．（0，4）
C ．（﹣4，0）
D ．（0，﹣4）
【答案】D ．
【解析】
试题分析：当x =0时，y =﹣4，则函数与y 轴的交点为（0，﹣4）．故选D ．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
3. （2015甘孜州）函数2y x =-的图象不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B ．
【解析】
试题分析：一次函数2y x =-，∵k =1＞0，∴函数图象经过第一三象限，∵b =﹣2＜0，∴函数图象与y 轴负半轴相交，∴函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限．故选B ．
考点：一次函数的性质．
4.（2015·某某省某某市、某某市、大兴安岭）如图，匀速地向此容器内注水，直到把容器注满，在注水过程中，下列图象能大致反映水面高度h 随注水时间t 变化规律的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B ．
【解析】 试题分析：最下面的容器容器最小，用时最短，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h 随时间t 的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器较粗，那么用时较短．故选B ．
考点：函数的图象．
5（2014•东营）直线y=-x+1经过的象限是（ ）
A ．第一、二、三象限
B ．第一、二、四象限
C ．第二、三、四象限
D ．第一、三、四象限
【答案】B.
考点：一次函数图象与系数的关系．
6.（2015·某某省某某市、某某市、大兴安岭）在函数2
13y x x =
++中，自变量x 的取值X 围是． 【答案】3x ≥-，且0x ≠．
【解析】
试题分析：由题意得，30x +≥，20x ≠，解得：3x ≥-，且0x ≠．故答案为：3x ≥-，且0x ≠． 考点：函数自变量的取值X 围．
7.(2015·某某某某，9题，3分)在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s （米）与各自所用时间t （秒）之间的函数图象分别为线段OA 和折线OBCD ，则下列说法正确的是（ ）
A ．甲的速度随时间的增加而增大
B ．乙的平均速度比甲的平均速度大
C ．在起跑后第180秒时，两人相遇
D ．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面
【答案】D ．
考点：一次函数的应用．
二、填空题.
8. .(2015.某某市，第11题，4分)同一温度的华氏度数y (℉)与摄氏度数x (℃)之间的函数关系是9325
y x =+，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是________℉． 【答案】77
【解析】
试题分析：将25x =代入9325y x =+，得92532775
y =⋅+=，故华氏度数为77F . 考点：求代数式的值.
9. (2015·某某某某，14题，3分）如图所示，购买一种苹果，所付款金额y （元）与购买量x （千克）之间的函数图象由线段OA 和射线AB 组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省元.
【答案】2
考点：一次函数的应用.
10. (2015.某某市，第14题，3分)若一次函数2y x b =+（b 为常数）的图象经过点（1，5），则b 的值为．
【答案】3.
【解析】
试题分析：把点（1，5）代入一次函数2y x b =+（b 为常数）可得2+b=5，解得b=3.
考点：一次函数图象上点的特征.
11.一次函数y=kx+b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，则
b k 的值是 【答案】2或-7
【解析】
试题分析：由于k 的符号不能确定，故应对k ＞0和k ＜0两种情况进行解答．
试题解析：当k ＞0时，此函数是增函数，
∵当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，
∴当x=1时，y=3；当x=4时，y=6，
∴346
k b k b +=+=⎧⎨⎩，
解得12k b ==⎧⎨⎩， ∴b k
=2； 当k ＜0时，此函数是减函数，
∵当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，
∴当x=1时，y=6；当x=4时，y=3，
∴
6
43 k b
k b
+=
+=
⎧
⎨
⎩
，
解得
1
7
k
b
=-
=
⎧
⎨
⎩
，
∴b
k
=-7．
考点：一次函数的性质．
12.将直线y=2x+1平移后经过点（2，1），则平移后的直线解析式为
【答案】y=2x-3
考点：一次函数图象与几何变换．
三、解答题。

13.为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．
（1）以x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式；（2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？
【答案】（1）方案一：y=0.95x；方案二：y=0.9x+300；（2）选择方案一更省钱．
考点：一次函数的应用．
14. （2015.某某某某第22题）某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象求y 与x 的函数关系式；
（2）商店想在销售成本不超过3000元的情况下，使销售利润达到2400元，销售单价应定为多少？
【答案】（1）2240y x =-+（40120x ≤≤）；（2）100．
【解析】
试题分析：（1）根据图象可设y kx b =+，将（40，160），（120，0）代入，得到关于k 、b 的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据每千克的利润×销售量=2400元列出方程，解方程求出销售单价，从而计算销售量，进而求出销售成本，与3000元比较即可得出结论．
考点：1．一次函数的应用；2．一元二次方程的应用；3．一元一次不等式的应用．。