湖北省黄冈市XXXX年高三年级3月份质量检测理数

黄冈市2012年高三3月质量检测
数学参考答案（理科）
一．选择题：每小题5分,满分50分.
A 卷：D A C C
B D AB
C B B 卷：
D B C C A DB AC A 二．填空题：每小题5分,满分25分.
11. 9 12. 6.2（如果答案为6照样给满分） 13.3S 14. -160 15. A.1 B.3
π
三. 解答题:本大题共6小题,满分75分. 16．（1）∵cos B =45，∴sin B =35
，由正弦定理sin sin a b A B =，得10sin303a =︒，
∴a =53
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分） （2）∵△ABC 的面积S =12
ac ·sin B ，
∴12ac ×35=3，ac =10． 由余弦定理b 2=a 2+c 2－2ac cos B 得
4=a 2+c 2－85
ac = a 2+c 2－16，∴a 2+c 2=20
∴(a +c ）2=a 2+c 2
+2ac =20+2×10=40，∴a +c ．．．．．．．．．．．．．．．（12分）
17．（1）记第一班车在8∶20和8∶40发车的事件分别为A 和B ，且A 、B 互斥
∴P （A +B ）=P （A ）+P （B ）=12+14=34．……………………………….(4分)
（2）设该旅客候车时间为ξ（分钟），则ξ的分布列为
…………………(8分)
∴E ξ=10×12+30×14+50×116+70×18+90×116=30（分钟）
∴该旅客候车时间的数学期望是30分钟．…………..(12分)
18．（Ⅰ）由 题意得253,9a a ==, 公差52
252
a a d -==-
所以2(2)21n a a n d n =+-=-………………………………………….(4分) 由1121123n n T b n b =-
==得时 1111222
n n n n n n b T T b b --≥=-=-时
得113n n b b -= 所以2
3n
n
b =……………………………….…………..(8分) （Ⅱ）由（Ⅰ）得1
3211
(21)(21)2121n n n n n b c a a n n n n +⋅===--+-+
121111112......(1)()......()133521212121
n n n
S C C C n n n n =+++=-+-++-=-=
-+++
……………………..(12分)
19．（1）证明：在矩形ACC 1A 1中，AC 1=3，AA 1= 6 ,AC= 3 .∴AB 2=AC 2＋BC 2
,BC ⊥AC.
又已知A 1A ⊥平面ABC ，
BC ⊥AA 1，∴BC ⊥平面ACC 1A 1．……………. (4分)
（2）分别取BB 1中点M 和AB 中点E ，由DM ∥B 1C 1，
EM ∥AB 1，
得平面EMD ∥平面AB 1C 1， 所以
E 为AB 中点时，DE ∥平面
AB 1C 1．………….…..(8分)
（3）以C 为坐标原点，CB 、CC 1、CA 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），B （1，0，0），A （0，0
，C 1（0
0），B 1（1
0），
A 1（0
，D （0
，0）．
设n =（x ，y ，z ）是平面ABB 1的一个法向量．
由100n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
得0
x ⎧=⎪=，取z =1，则n =
0，1） 又1A D =（0
AB 1C 1的一个法向量
且<1A D ，n >与二面角B －AB 1－C 1的大小相等 cos<1A D ，n >=
116||||
A D n
A D n ⋅=-⋅，所以所求二面角的余弦值大小为…..(12分)
x
20．（1
）因为21
c e a a c ⎧==⎪⎨⎪+=⎩
，所以1a c ⎧=⎪⎨
=⎪⎩ 1b ∴=，椭圆方程为：2
212
x y += …………（4分） （2）由(1)得(1,0)F ，所以01m ≤≤，假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为
(1)y k x =-，代入2
212
x y +=，得2222(21)4220k x k x k +-+-=
设1122(,),(,)A x y B x y ，则2212122
2422
,2121
k k x x x x k k -+==++ ①， 12122
2(2)21k y y k x x k -∴+=+-=
+ 设AB 的中点为M ，则)1
2,122(22
2+-+k k
k k M ，……………………….…………（8分） ||||,,AC BC CM AB =∴⊥即1CM AB k k ⋅=-
222
2
211(12)221
k k k m k m k m k +∴
⋅=-⇔-=-+…………………………...……(10分) ∴当102m ≤<
时，k =l ； 当1
12m ≤≤，k 不存在，即不存在这样的直线l ．……………………………….(13分)
21．（1）f （x ）=2x +x 2关于1可线性分解，理由如下：
令h （x ）=f （x +1）－f （x ）－f （1）=2x +1+（x +1）2－2x －x 2－2－1 化简得h （x ）=2（2x －1+x －1），h （0）=－1，h （1）=2 所以h （x ）在（0，1）上至少有一个零点，
即存在x 0∈（0，1）使f （x 0+1）=f （x 0）+f （1）．……………….……………….(4分) （2）由已知，存在x 0，使g （x 0+a ）=g （x 0）+g （a ） 即ln （x 0+a ）－a （x 0+a ）+1=ln x 0－ax 0+1+ln a －a 2+1
化简得ln （x 0+a ）=ln x 0+ln a +1，即ln 001x a
ax +=
∴
00
x a
e ax +=，x 0=1a ae -＞0，考虑到a ＞0，得a ＞1e ．…………………………(8分)
（3）由（2）知a =1，g （x ）=ln x －x +1
g'（x）=1
x －1=
2
1x
x
-．
（i）x∈（0，1）时，g'（x）＞0，∴g（x）的增区间是（0，1）
x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，∴g（x）的减区间是（1，+∞）……...(10分)
（ii）由（i）知x∈（0，+∞）时，g（x）≤g（1），即ln x－x+1≤0，ln x≤x－1 ln1=0，ln2＜1，ln3＜2，…，ln n＜n－1（n∈N*）
相加得：ln1+ln2+…+ln n≤1+2+…+（n－1）
即ln n！≤
(1)
2
n n-
，∴（n！）2≤e n（n－1）（以上不等式中当n=1时取“=”号）．…(14分)
命题人：黄梅一中朱晓宇
审题人：蕲春一中宋春雨
XX区一中杨安胜
黄冈市教科院丁明忠。