考研数学二(解答题)模拟试卷317(题后含答案及解析)

考研数学二（解答题）模拟试卷317(题后含答案及解析)
题型有：1.
1．设0＜a＜b＜c，求
正确答案：由cn≤an＋bn＋cn≤3cn得c≤因为＝1，所以＝c．涉及知识点：函数、极限、连续
2．设矩阵，问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵．
正确答案：涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
3．设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=A，,求∫01dx∫01f(x)f(y)dy。

正确答案：交换积分次序可得∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01dy∫0yf(x)f(y)dx=∫01dx∫0xf(y)f(x)dy，因此，可得涉及知识点：多元函数微积分学
4．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，求证：(1)存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+ξf’(ξ)=0；(2)存在η∈(a，b)，使ηf(η)+f’(η)=0．
正确答案：(1)设φ(x)=xf(x)，则φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理得，存在ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)=0，即f(ξ)+ξf’(ξ)=0．(2)设F(x)=f(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=0，由罗尔定理得，存在η∈(a，b)，使F’(η)=．η．f(η)=0，即ηf(η)+f’(η)=0．涉及知识点：一元函数微分学
5．设函数f(x)，g(x)在[a，+∞)上二阶可导，且满足条件f(a)=g(a)，f’(a)=g’(a)，f’’(x)＞g’’(x)(x＞a)．证明：当x＞a时，f(x)＞g(x)．
正确答案：令φ(x)=f(x)-g(x)，显然φ(a)=φ’(a)=0，φ’’(x)＞0(x＞a)．由得φ’(x)＞0(x＞a)；再由得φ(x)＞0(x＞a)，即f(x)＞g(x)．涉及知识点：一元函数微分学
6．设f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点．
正确答案：构造辅助函数F(x)=f(x)ex，由于f(x)可导，故F(x)可导，设x1和x2为f(x)的两个零点，且x1＜x2，则F(x)在[x1，x2]上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(x1，x2)，使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)eξ+f(ξ)eξ=eξ[f’(ξ)+f(ξ)]=0．由于eξ≠0，因此必有f’(ξ)+f(ξ)=0．所以f(x)的两个零
点之间一定有f(x)+f’(x)的零点．
解析：f(x)的两个零点x1，x2(不妨设x1＜x2)之间有f(x)+f’(x)的零点问题，相当于在(x1，x2)内有f(x)+f’(x)=0的点存在的问题．若能构造一个函数F(x)，使F’(x)=[f(x)+f’(x)]φ(x)，而φ(x)≠0，则问题可以得到解决．由(ex)’=ex可以得到启发，令F(x)=f(x)ex．知识模块：一元函数微分学
7．设f(x)在[0，a]上有一阶连续导数，证明至少存在一点ξ∈[0，a]，使得∫0af(x)dx=af(0)+f’(ξ)。

正确答案：由已知∫0af(x)dx=∫0af(x)d(x－a)=[(x一a)f(x)]｜0a一∫0a(x一a)f’(x)dx=af(0)一∫0a(x一a)f’(x)dx。

因为f’(x)连续，所以f’(x)在[0，a]上存在最小值m和最大值M，则m(a一x)≤(a一x)f’(x)≤M(a一x)，故≤∫0a(a一x)f’(x)dx ≤，再由介值定理可知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得∫0a(a－x)f’(x)dx=f’(x)，于是∫0af(x)dx=af(0)＋f’(ξ)。

涉及知识点：一元函数积分学
8．当x≥0时，f(x)=x，设g(x)=
正确答案：涉及知识点：一元函数积分学
设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，设
9．证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；
正确答案：由题设，f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2所以二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT．涉及知识点：二次型
10．若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y22+y22
正确答案：设A=2ααT+ββT，由已知｜α｜=1，βTα=0，则Aα=(2ααT+ββT)α=2｜α｜2+ββTα=2α，所以α为矩阵对应特征值λ1=2的特征向量；Aβ=(2αα+ββT)β=2ααTβ+β｜β｜2=β，所以β为矩阵对应特征值λ2=1的特征向量．而矩阵A的秩r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)=2，所以λ3=0也是矩阵的一个特征值．故f在正交变换下的标准形为2y12+y22．涉及知识点：二次型
11．计算
正确答案：涉及知识点：高等数学部分
12．求微分方程x(y2-1)dx+y(x2-1)dy=0的通解．
正确答案：这是一个变量可分离的方程，分离变量后原方程化为两边同时积
分，可求得其通解为ln｜y2-1｜=-ln｜x2-1｜+C’，即(x2-1)(y2-1)=C，其中C 为任意常数．涉及知识点：常微分方程
13．求∫013χ2arcsinχdχ．
正确答案：涉及知识点：定积分及应用
14．求(x+2)y”+xy’2=y’的通解．
正确答案：令y’=p，有原式成为两边同除以一p2，化为整理得解得当C1＞0时，得当C1=0时，得当C1＜0时，得其中C2为任意常数．涉及知识点：微分方程
15．求微分方程y”+2y’一3y=e-3x的通解．
正确答案：对应的齐次方程的通解为=C1ex+C2e-3x．原方程的一个特解为y*=Axe-3x，代入原方程，得涉及知识点：微分方程
16．设函数f(t)=且f(t)连续，试求f(t)．
正确答案：f(t)=(4πt2+1) 涉及知识点：高等数学
17．求函数y=的反函数．
正确答案：令f(x)= 涉及知识点：函数、极限、连续
18．已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．(1)求a．(2)求作正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化为标准形．(3)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
正确答案：(1)此二次型的矩阵为则r(A)=2，｜A｜=0．求得｜A｜=-8a，得a=0．(2)｜λE-A｜==λ(λ-2)2，得A的特征值为2，2，0．对特征值2求两个正交的单位特征向量：得(A-2E)X=0的同解方程组x1-x2=0，求出基础解系η1=(0，0，1)v，η2=(1，1，0)T．它们正交，单位化：α1=η1，α2=方程x1-x2=0的系数向量(1，-1，0)T和η1，η2都正交，是属于特征值0的一个特征向量，单位化得α3=作正交矩阵Q=(α1，α2，α3)，则QTAQ=作正交变换X=QY，则f化为Y的二次型f=2y12+2y22．(3)f(X)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32．于是f(x1，x2，x3)=0求得通解为：，c任意．涉及知识点：二次型
19．细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长到400，求前12h后的细菌总数．
正确答案：设t时刻细菌总数为S，则有＝kS，S(0)＝100，S(24)＝400，所
以S＝，S(12)＝100eln2＝200．涉及知识点：常微分方程
20．某人的食量是2500卡／天(1卡=4．1868焦)，其中1200卡／天用于基本的新陈代谢．在健身运动中，他所消耗的为16卡／千克／天乘以他的体重．假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量10000卡，求该人体重怎样随时间变化．
正确答案：输入率为2500卡／天，输出率为(200+16w)，其中w为体重，根据题意得涉及知识点：常微分方程。