高中数学立体几何多选题知识点-+典型题附解析

高中数学立体几何多选题知识点-+典型题附解析
一、立体几何多选题
1．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上（不含端点）且BE BF =，将AED ，DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A 、C 两点重合于点1A ，则下列结论正确的有（ ）．
A ．1A D EF ⊥
B ．当1
2
BE BF BC ==
时，三棱锥1A F DE -6π C ．当14BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -217 D ．当14BE BF BC ==时，点1A 到平面DEF 的距离为177
【答案】ACD 【分析】
A 选项：证明1A D ⊥面1A EF ，得1A D EF ⊥；
B 选项：当1
22
BE BF BC ==
=时，三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，利用分隔补形法求三棱锥1A EFD -的外接球体积； C 选项：利用等体积法求三棱锥1A EFD -的体积； D 选项：利用等体积法求出点1A 到平面DEF 的距离. 【详解】 A 选项：
正方形ABCD
,AD AE DC FC ∴⊥⊥
由折叠的性质可知：1111,A D A E A D A F ⊥⊥ 又
111A E A F A ⋂=
1A D ∴⊥面1A EF
又
EF ⊂面
1A EF ，
1A D EF ∴⊥；故A 正确.
B 选项：当1
22
BE BF BC ==
=时，112,22A E A F EF ===在1A EF 中，222
11A E A F EF +=，则11A E A F ⊥
由A 选项可知，1111,A D A E A D A F ⊥⊥
∴三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，
把三棱锥1A EFD -
=， 三棱锥1A EFD -
，体积为
3
3
443
3
R ππ==，
故B 错误
C 选项：当1
14
BE BF BC ==
=
时，113,A E A F EF ===在1A EF
中，2
2
2
2
2
2
111
11338cos 2233
9
A E A F EF EA F A E A F
+-
+-∠==
=⋅⨯⨯，
1sin 9
EA F ∠=
则111111sin 332292
A EF
S
A E A F EA F =
⋅⋅∠=⨯⨯⨯=
1111
1
143
3A EFD D A EF A EF V V S
A D --∴==⋅⋅==故C 正确；
D 选项：设点1A 到平面EFD 的距离为h ，则 在EFD △
中，2
222
2
2
5524cos 2255
25
DE DF EF EDF DE DF +-
+-∠==
=
⋅⨯⨯， 7sin 25
EDF ∠=
则1177sin 5522252
EFD
S
DE DF EDF =
⋅⋅∠=⨯⨯⨯=
11
173
323
A EFD DEF
V S
h h -∴=⋅⋅=⨯⨯=
即7
h =
故D 正确； 故选：ACD 【点睛】
方法点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．
2．如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（ ）
A ．AM 与D
B ''所成角的余弦值为
1010
B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B
C
D ''''-的截面面积为92
C ．四面体A C B
D ''的内切球的表面积为
3
π D ．正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动并且使
MAC PAC ''∠=∠，那么点P 的轨迹是椭圆 【答案】AB 【分析】
构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角cos ,||||
AM D B AM D B AM D B ''
⋅''<>=
''为
AM 与D B ''所成角的余弦值判断A 的正误；同样设(,,0)P x y 结合向量夹角的坐标表示，
22215
5
43
x y =
++⨯P 的轨迹知D 的正误；由立方体的截面为梯形，分别求,,,MN AD AM D N ''，进而得到梯形的高即可求面积，判断B 的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r ，进而求内切球表面积，判断C 的正误. 【详解】
A ：构建如下图所示的空间直角坐标系：
则有：(0,0,2),(1,2,2),(0,2,0),(2,0,0)A M B D ''， ∴(1,2,0),(2,2,0)AM D B ''==-，
10
cos ,10||||58
AM D B AM D B AM D B ''⋅''<>=
==''⨯，故正确.
B ：若N 为C
C '的中点，连接MN ，则有//MN A
D '，如下图示，
∴梯形AMND’为过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B C D ''''-的截面， 而2,2,5MN AD AM D N ''=
===32
2
， ∴梯形的面积为132932222
S =
⨯=，故正确. C ：如下图知：四面体A C BD ''的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，
∴118
848323
V =-⨯⨯⨯=
，而四面体的棱长都为22，有表面积为142222sin 8323
S π
=⨯⨯⨯⨯=，
∴若其内切圆半径为r ，则有1
8833
3r ⨯⋅=
，即33
r =，所以内切球的表面积为2443
r π
π=
.故错误. D ：正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动且
MAC PAC ''∠=∠，即P 的轨迹为面A B C D ''''截以AM 、AP 为母线，AC’为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线GPK ，
构建如下空间直角坐标系，232(0,0,2),(2),(0,22,0)22
A M C '-
，若(,,0)P x y ，则232
(,,0),(0,22,2),(,,2)22
AM AC AP x y '=-
=-=-，
∴15
cos ||||512
AM AC MAC AM AC '⋅'∠=
=='⨯，
2222cos ||||
43
AP AC y PAC AP AC x y '
⋅+'∠=
='++⨯，即
222215
5
43
y x y +=
++⨯，整理得22(102)9216(0)y x y +-=>，即轨迹为双曲线的一支，故错误.
故选：AB 【点睛】
关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的表面积.
3．如图所示，正三角形ABC 中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，其中AB ＝8，把△ADE 沿着DE 翻折至A 'DE 位置，使得二面角A '-DE -B 为60°，则下列选项中正确的是（ ）
A ．点A '到平面BCED 的距离为3
B ．直线A 'D 与直线CE 所成的角的余弦值为58
C ．A '
D ⊥BD
D ．四棱锥A '-BCED 237
【答案】ABD
【分析】
作AM ⊥DE ，交DE 于M ,延长AM 交BC 于N ,连接A'M ,A'N .利用线面垂直的判定定理判定CD ⊥平面A'MN ,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到'A 到平面面BCED 的高A'H ,并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得A'H 的值，从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到∠A'DN 就是直线A'D 与CE 所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N ,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC ,经过计算求解可得半径从而判定D. 【详解】
如图所示，作AM ⊥DE ，交DE 于M ,延长AM 交BC 于N ,连接A'M ,A'N . 则A'M ⊥DE ,MN ⊥DE , ,
∵'A M ∩MN =M ,∴CD ⊥平面A'MN , 又∵CD ⊂平面ABDC ,∴平面A'MN ⊥平面ABDC , 在平面A'MN 中作A'H ⊥MN ,则A'H ⊥平面BCED , ∵二面角A'-DE -B 为60°，∴∠A'EF =60°，
∵正三角形ABC 中，AB =8,∴AN =
∴A'M ,∴A'H =A'M sin60°=3，故A 正确； 连接DN ,易得DN ‖EC ,DN =EC =4, ∠A'DN 就是直线A'D 与CE 所成的角，
DN =DA'=4,A'N =A'M ,
cos ∠A'DN =22441252448
+-=⨯⨯,故B 正确；
A'D =DB =4,==,
∴222A D DB A B '≠'+,∴A'D 与BD 不垂直，故C 错误’ 易得NB =NC =ND =NG =4，∴N 为底面梯形BCED 的外接圆的圆心， 设四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC , 若O 在平面BCED 上方，入图①所示：
设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线，垂足为P ,
则HP =x ,易得()2
2
2
2
243x x R +=-+
=,解得2
3
x =-,舍去；
故O 在平面BCED 下方，如图②所示：
设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线，垂足为P ,
则HP =x ,易得()2
2
2
2
243x x R +=++
=, 解得23
x =
,
∴2
44371699R ⨯=+=,3
R ∴=,故D 正确. 故选:ABD .
【点睛】
本题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证.
4．在三棱锥M ABC -中，下列命题正确的是（ ）
A ．若12
33
AD AB AC =
+，则3BC BD = B ．若G 为ABC 的重心，则111
333
MG MA MB MC =++
C ．若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MB AC ⋅=
D ．若三棱锥M ABC -的棱长都为2，P ，Q 分别为MA ，BC 中点，则2PQ = 【答案】BC
【分析】
作出三棱锥M ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】
对于A ，由已知12
322233
AD AB AC AD AC AB AD AC AB AD =+⇒=+⇒-=-，即2CD DB =，则
3
2
BD BD DC BC =+=，故A 错误； 对于B ，由G 为ABC 的重心，得0GA GB GC ++=，又MG MA AG =+，
MG MB BG =+，MG MC CG =+，3MA MB MC MG ∴++=，即
111
333
MG MA MB MC =++，故B 正确；
对于C ，若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MC MA BC AB ⋅+⋅=，即
()00
MA BC AC CB MA BC AC C MC C M B M C ⋅++=⇒⋅++⋅⋅=⋅()
00MA BC A MC MC MC MC C BC MA BC AC ⋅⋅⋅⇒⋅+-=⇒-+=⋅()
000MC M CA BC AC AC CB AC CB AC C MC ⇒+=⇒+=⇒+=⋅⋅⋅⋅⋅，即0MB AC ⋅=，故C 正确；
对于D ，111
()()222
PQ MQ MP MB MC MA MB MC MA ∴=-=
+-=+- ()
2
11
22
PQ MB MC MA MB MC MA ∴=+-=
+-，又
()
2
2
2
2
222MB MC MA MB MC MA MB MC MB MA MC MA
+-=+++⋅-⋅-⋅2221112222222222228222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，1
822
PQ ∴==，故
D 错误. 故选：BC 【点睛】
关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
5．在直角梯形ABCD 中，2
ABC BCD π
∠=∠=
，1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中
点，现将ADE 沿AE 折起，得到一个四棱锥D ABCE -，则下列命题正确的有（ ） A ．在ADE 沿AE 折起的过程中，四棱锥D ABCE -体积的最大值为13
B ．在ADE 沿AE 折起的过程中，异面直线AD 与B
C 所成的角恒为
4
π C ．在ADE 沿AE 折起的过程中，二面角A EC D --的大小为45︒
D ．在四棱锥D ABC
E -中，当D 在EC 上的射影恰好为EC 的中点
F 时，DB 与平面ABCE
【答案】ABD 【分析】
对于A ，四棱锥D ABCE -的底面面积是固定值，要使得体积最大，需要平面DAE ⊥平面ABCE ，此时DE CE ⊥，可求得11
33
D ABC
E ABCE V S DE -=
⋅=可判断A ；对于B ，在ADE 沿AE 折起的过程中，//AE BC ，所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC
所成角，由翻折前可知4
DAE π
∠=
可判断B ；对于C ，利用线面垂直的判定定理，结合翻折前可知AE ⊥平面DEC ，又AE ⊂平面ABCE ，所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角A EC D --的在大小为
2
π
判断C ；对于D ，利用线面垂直的判定定理可知DF ⊥平面ABCE ，所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角，在直角DFB △中，
tan DF DBF BF ∠=
=，可判断D 正确；
【详解】
对于A ，ADE 沿AE 折起得到四棱锥D ABCE -，由四棱锥底面面积是固定值，要使得体积最大，需要四棱锥的高最大，即平面DAE ⊥平面ABCE ，此时DE CE ⊥，由已知
得1DE =，则111111333
D ABC
E ABCE V S DE -=⋅=⨯⨯⨯=，故A 正确； 对于B ，在ADE 沿AE 折起的过程中，//AE BC ，所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC 所成角，又1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中点，可知4
DAE π∠=，即异面直线AD 与BC 所成的角恒为4
π，故B 正确； 对于C ，由翻折前知，,AE EC AE ED ⊥⊥，且EC ED E =，则AE ⊥平面DEC ，又AE ⊂平面ABCE ，所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角A EC D --的大小为2
π，故C 错误； 对于D ，如图连接,DF BF ，由C 选项知，AE ⊥平面DEC ，又DF ⊂平面DEC ，则AE DF ⊥，又由已知得EC DF ⊥，且EC AE E ⋂=，则DF ⊥平面ABCE ，所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角，在直角DFB △中，
22
2222113122152tan 511122DE CE DF DBF BF BC CE ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠=====⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以DB 与平面ABCE 所成的角的正切为
155
，故D 正确； 故选：ABD
【点睛】 关键点睛：本题考查立体几何综合问题，求体积，求线线角，线面角，面面角，解题的关键要熟悉几种角的定义，通过平移法找到线线角，通过证垂直找到线面角和面面角，再结合三角形求出角，考查了学生的逻辑推理能力，转化能力与运算求解能力，属于难题.
6．如图，矩形ABCD 中， 22AB AD ==，E 为边AB 的中点.将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △（点1A 不落在底面BCDE 内），若M 在线段1A C 上（点M 与1A ，C 不重
合），则在ADE 翻转过程中，以下命题正确的是（ ）
A ．存在某个位置，使1DE A C ⊥
B ．存在点M ，使得BM ⊥平面1A D
C 成立
C ．存在点M ，使得//MB 平面1A DE 成立
D ．四棱锥1A BCD
E -体积最大值为24 【答案】CD
【分析】
利用反证法可得A 、B 错误，取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，可证明//MB 平面1A DE ，当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值，利用公式可求得此时体积为
2. 【详解】
如图（1），取DE 的中点为F ，连接1,A F CF ，
则45CDF ∠=︒，22DF =，故212254222222
CF =+-⨯⨯=，
故222DC DF CF ≠+即2CFD π∠≠． 若1CA DE ⊥，因为11,A D A E DF FE ==，故1A F DE ⊥，而111A F A C A ⋂=， 故DE ⊥平面1A FC ，因为CF ⊂平面1A FC ，故DE CF ⊥，矛盾，故A 错． 若BM ⊥平面1A DC ，因为DC ⊂平面1A DC ，故BM DC ⊥，
因为DC CB ⊥，BM CB B ⋂=，故CD ⊥平面1A CB ，
因为1
AC ⊂平面1A CB ，故1CD A C ⊥，但1A D CD <，矛盾，故B 错． 当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值，
由前述证明可知1A F DE ⊥，而平面1A DE 平面BCDE DE =，
1A F ⊂平面1A DE ，故1A F ⊥平面BCDE ，
因为1A DE △为等腰直角三角形，111A D A E ==，故122A F =
， 又四边形BCDE 的面积为13211122⨯-
⨯⨯=， 故此时体积为13223224
⨯⨯=，故D 正确． 对于C ，如图（2），取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，
则1//,2IM CD IM CD =
，而1//,2
BE CD BE CD =， 故//,IM BE IM BE =即四边形IEBM 为平行四边形， 故//IE BM ，因为IE ⊂平面1A DE ，BM ⊄平面1A DE ，故//MB 平面1A DE ， 故C 正确．
故选：CD.
【点睛】
本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.
7．（多选题）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（ ）
A ．113P AA D V -=
B ．点P 必在线段1B
C 上
C ．1AP BC ⊥
D ．AP ∥平面11AC D 【答案】BD
【分析】
对于A ，1111111113326
P AA D AA D V S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯=， 对于B,C,D ，如图以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用空间向量判即可.
【详解】
对于A ，因为点P 在平面11BCC B ，平面11BCC B ∥平面1AA D ，
所以点P 到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长，
所以1111111113326
P AA D AA D V S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，A 错误； 对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则11(1,0,0),(,1,),(1,1,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)A P x z B D B C
所以11(1,1,),(1,1,1),(1
,0,1)AP x z BD BC =-=--=--, 因为1AP BD ⊥，
所以1110AP BD x z ⋅=--+=，所以x z =，即(,1,)P x x ，
所以(,0,)CP x x =,
所以1
CP xBC =-，即1,,B C P 三点共线， 所以点P 必在线段1B C 上，B 正确；
对于C ，因为1(1,1,),(1,0,1)AP x x BC =-=-，
所以111AP BC x x ⋅=-+=，
所以1AP BC ⊥不成立，C 错误；
对于D ，因为11(1,0,1),(0,1,1),(0,0,0)A C D ,
所以11(1
,0,1),(0,1,1)DA DC ==, 设平面11AC D 的法向量为(,,)n x y z =，则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩
， 令1x =，则1,1z y =-=，所以(1,1,1)n =-，
所以110AP n x x ⋅=-+-=，所以AP n ⊥，
所以AP ∥平面11AC D ，D 正确，
故选：BD
【点睛】
此题考查了空间线线垂直的判定，线面平行的判定，三棱锥的体积，考查空间想象能力，考查计算能力，属于较难题.
8．M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）
A ．MN ∥平面ABD
B ．异面直线A
C 与MN 所成的角为定值
C ．在二面角
D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径先变小后变大
D ．若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则ABC ∠的取值范围是0,
2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】ABD
【分析】
利用线面平行的判定即可判断选项A ；
利用线面垂直的判定求出异面直线AC 与MN 所成的角即可判断选项B ；
借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，利用空间想象能力进行分析即可判断选项C;
过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,分ABC ∠为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即可判断选项D.
【详解】
对于选项A:因为M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，所以MN 为BCD ∆的中位线，所以//MN BD ,因为MN ⊄平面ABD ,BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ,故选项A 正确；
对于选项B ：取AC 的中点O ，连接,DO BO ,作图如下：
则,AC DO AC BO ⊥⊥,BO DO O =,由线面垂直的判定知，AC ⊥平面BOD ,所以AC BD ⊥,因为//MN BD ,所以AC MN ⊥,即异面直线AC 与MN 所成的角为定值90，故选项B 正确；
对于选项C:借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，球心离开平面ABC ，但是球心在底面的投影仍然是ABC ∆外接圆圆心，故二面角D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径不可能先变小后变大， 故选项C 错误；
对于选项D:过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,若ABC ∠为锐角，H 在线段BC 上；若ABC ∠为直角，H 与B 重合；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上；
若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，因为AH BC ⊥，所以CB ⊥平面AHD ,由线面垂直的性质知,CB HD ⊥,
若ABC ∠为直角，H 与B 重合，所以CB BD ⊥,在CBD ∆中，因为CB CD =, 所以CB BD ⊥不可能成立，即ABC ∠为直角不可能成立；
若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上，则在原平面图菱形ABCD 中，DCB ∠为锐角，由于立体图中DB DO OB <+,所以立体图中DCB ∠一定比原平面图中更小，，所以DCB ∠为锐角，CB HD ⊥，故点H 在线段BC 与H 在线段BC 的延长线上矛盾，因此
ABC ∠不可能为钝角；综上可知，ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
.故选项D 正确;
故选：ABD
【点睛】
本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题；考查空间想象能力和逻辑推理能力；借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键；属于综合型强、难度大型试题.
9．如图，已知矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆，若M 为线段1A C 的中点，则ADE ∆在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A ．线段BM 的长是定值
B ．存在某个位置，使1DE A
C ⊥
C ．点M 的运动轨迹是一个圆
D ．存在某个位置，使MB ⊥平面1A DE
【答案】AC
【分析】
取CD 中点F ，连接BF ，MF ，根据面面平行的判定定理可得平面//BMF 平面1A DE ，由面面平行的性质定理可知//BM 平面1A DE ，可判断D ；在BFM ∆中，利用余弦定理可求得BM a =为定值，可判断A 和C ；假设1DE A C ⊥，由线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面1A CE ，由线面垂直的性质定理可知1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，可判断B ．
【详解】
解：取CD 的中点F ，连接BF ，MF ，
∵M ，F 分别为1A C 、CD 中点，
∴1MF A D ∥，
∵1A D ⊂平面1A DE ，MF ⊄平面1A DE ，
∴MF 平面1A DE ，
∵DF BE ∥且DF BE =，
∴四边形BEDF 为平行四边形，
∴BF DE ，
∵DE ⊂平面1A DE ，BF ⊄平面1A DE ，
∴BF ∥平面1A DE ，
又BF MF F =，BF 、MF ⊂平面BMF ，
∴平面//BMF 平面1A DE ，
∵BM ⊂平面BMF ，
∴BM ∥平面1A DE ，即D 错误，
设22AB AD a ==，
则112MF A D a =
=，BF DE ==，145A DE MFB ︒∠=∠=，
∴BM a ==，
即BM 为定值，所以A 正确，
∴点M 的轨迹是以B 为圆心，a 为半径的圆，即C 正确， ∵
DE CE ==
，2CD AB a ==， ∴222DE CE CD +=， ∴DE CE ⊥，
设1DE A C ⊥，
∵1A C 、CE ⊂平面1A CE ，1
AC CE C =， ∴DE ⊥平面1A CE ，
∵1A E ⊂平面1A CE ，
∴1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，
所以假设不成立，即B 错误.
故选:AC .
【点睛】
本题考查立体几何中的翻折问题，涉及到线段长度的求解、直线与平面位置关系的判定、点的轨迹的求解、反证法的应用等知识点，考查学生的空间立体感和推理论证能力．
10．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）
A ．存在某个位置，使得CN A
B ⊥
B ．翻折过程中，CN 的长是定值
C ．若AB BM =，则1AM B
D ⊥
D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π
【答案】BD
【分析】
对于选项A ，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结KN ，BK ，通过假设CN AB ⊥，推出AB ⊥平面BCNK ，得到AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，即可判断； 对于选项B ，在判断A 的图基础上，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，易得1NEC MAB ∠=∠，由余弦定理，求得CN 为定值即可；
对于选项C ，取AM 中点O ，1B O ，DO ，由线面平行的性质定理导出矛盾，即可判断； 对于选项D ，易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大，说明此时AD 中点E 为外接球球心即可.
【详解】
如图1，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，KN ，BK ,
则易知1//NE AB ，1//NF B M ，//EF AM ，//KN AD ，112
NE AB =，EC AM =
由翻折可知，1MAB MAB ∠=∠，1AB AB =，
对于选项A ，易得//KN BC ，则K 、N 、C 、B 四点共面，由题可知AB BC ⊥，若CN AB ⊥，可得AB ⊥平面BCNK ，故AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，不可能，故A 错误；
对于选项B ，易得1NEC MAB ∠=∠，
在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠，
整理得2
22212422AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+， 故CN 为定值，故B 正确；
如图2，取AD 中点E ，取AM 中点O ，连结1B E ，OE ，1B O ，DO ，，
对于选项C ，由AB BM =得1B O AM ⊥，若1AM B D ⊥，易得AM ⊥平面1B OD ，故有AM OD ⊥，从而AD MD =，显然不可能，故C 错误；
对于选项D ，由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得122
BO =，2DM =22
2211221
22B E OB OE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，表面积为4π，故D 正确.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查了立体几何中的翻折问题以及空间图形的位置关系，考查了空间想象能力，属于较难题.。