三等分点、角平分线、线段一半的性质

三等分点、角平分线、线段一半的性质
广东省广州市骏景中学(510630)顾桂新
摘要从广州市2019年中考压轴题的拆解研究中,提炼
出三等分点、角平分线、线段一半的性质,形成数学模型,作
为数学课本的一个拓展性质.
关键词中考压轴题;三等分点;角平分线;线段一半
在研究2019年广州市数学中考第24题的过程中,笔者
发现了三角形中的角、边、角平分线三者间的关系,即本文所
关注的三等分点、角平分线、线段一半的性质.其中“三等分
点”是指三角形某条边上的一个三等分点,“角平分线”是指
该边所对的角的平分线,“线段一半”是指三角形的另外两边
中,其中一条边的边长是另一条边的一半.
原题如图1,等边∆ABC中,AB=6,点D在BC上,BD=4.点E为边AC上一个动点(不与点C重合),∆CDE关于DE的轴对称图形为∆F DE.
(1)当点F在AC上时
,
图1
求证:DF//AB;
(2)设∆ACD的面积为S1,∆ABF的面积为S2,记: S=S1−S2,S是否存在最大值？若存在,求出S的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当B、F、E三点共线时,求AE的长.
在拆解第(3)问的过程中发现了以下性质:三等分点、角平分线、线段一半,三者中已知任意两个就能得出第三个.
1三等分点+角平分线⇒线段一半
已知:如图2,∆ABC中,OA是∠BAC的角平分线,点O是BC的三等分点(OB=2OC).
结论:AC=1
2
AB
.
图2图3
解析如图3,在AB上截取AD=AC,连接OD.
因为∠1=∠2,AO=AO,所以∆ADO =∆ACO,所以
OD=OC.以点O为圆心,OC为半径画圆,圆必过点
D,且与BC交于点E,则:OC=OE.因为OB=2OC,
所以OC=OE=BE.连接CD交OA于点F,因为
∠EDC=∠3=90◦,所以ED//OA,所以BD
BA
=
BE
BO
=
1
2
,
所以BD=DA=AC=
1
2
AB.
2角平分线+线段一半⇒三等分点
已知:如图4,∆ABC,AO为∠BAC的角平分线,AC=
1
2
AB.
结论:点O为BC的三等分点(OB=2OC)
.
图4图5
解析如图5,在AB上截取AD=AC,连接OD.
因为∠1=∠2,AO=AO,所以∆ADO =∆ACO,所
以OD=OC,以点O为圆心,OC为半径画圆,必过
点D,且与BC交于点E,得OC=OE.连接DC、DE,
得:∠EDC=∠3=90◦,所以DE//AO,所以
BE
BO
=
BD
BA
.
因为AC=
1
2
AB,所以AC=AD=BD=
1
2
AB,所以
BE=
1
2
BO,即BE=OE.所以OC=OE=EB,所以点
O为BC三等分点.
3三等分点+线段一半⇒角平分线
已知:如图6,∆ABC,点O为BC的三等分点(OB=
2OC),AC=
1
2
AB.
结论:AO为∠BAC的角平分线(∠1=∠2)
.
图6图7
解析如图7,分别取AB、OB的中点D、E,连接CD、
DE,线段CD与AO交点F,所以DE//AO(中位线).因。