湖南省2010届高三适应性测试(数学文)

湖 南 省
2010年高考适应性测试
数学试题（文科）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．若集合{}31M x x =∈-<<R ，{}12N x x =∈-Z ≤≤，则M N = （ ）
A ．{}0
B ．{}1,0-
C ．{}1,0,1-
D ．{}2,1,0,1,2--
2．设命题:p 2,x x x ∀∈R ≥ 2:,q x x x ∃∈R ≥，则下列判断正确的是
（ ）
A ．p 假q 真
B ．p 真q 假
C ．p 真q 真
D ．p 假q 假 3．函数cos2y x =的一个单调递增区间是
A ．ππ(,)44
-
B ．π(0,)2
C ．π3π(,)4
4
D ．π(
,π)2
4．一位母亲记录了儿子3岁至9岁的身高，数据如下表，由此建立的身高与年龄的回归模型为
7.1973.93y x ∧
=+．用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ）
145.83cm 145.83cm
C ．身高在145.83cm 左右
D ．身高在145.83cm 以下
5．若向量a ，b 的夹角为60︒，且1==a b ，则+a b =
（ ）
A ．2
B
C
D ．1
6．程序框图（算法流程图）如图1所示，其输出结果A =（ ） A ．15 B ．31 C ．63 D ．127
7．若函数()ln a f x x b =-的图象在1x =处的切线l 过点1
(0,)b
-，
且l 与圆22:1C x y +=相交，则点(,)a b 与圆C 的位置关系 是 （ ）
A ．点在圆内
B ．点在圆外
C ．点在圆上
D ．不能确定
俯视图
侧视图
正视图
8．定义{},,
max ,,a a b a b b a b ⎧=⎨<⎩
≥．设实数x ,y 满足约束条件
224
4x y ⎧⎨⎩
≤≤，则{}max 4,3z x y x y =+-的取值范围为（ ） A ．[7,10]- B ．[7,8]-
C ．[8,10]-
D ．
[8,8]-
图1
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡．．．
对应题号后的横线上． 9．计算21
(1)i
+=________．
10．极坐标系中，直线l 的方程为sin 3=ρθ，则点π
(2,
)6
到直线l 的距离为________． 11．某化工厂准备对一化工产品进行技术改造，决定优选加工温度，假定最佳温度在60C ︒到81C ︒ 之间．现
用分数法进行优选，则第二次试点的温度为________C ︒．
12．如图2，函数,
0,()1
log (),09c ax b x f x x x +⎧⎪=⎨+>⎪⎩
≤的图象是 一条连续不断的曲线，则a b c ++=________． 13．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想
听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分 钟的概率为________．
14．一空间几何体的三视图（单位：cm ）如图3所示，则此几何体的表面积是________2cm ．
15．定义运算符号“∏”：表示若干个数相乘，例如：1
123n
i i n ==⨯⨯⨯
⨯∏．记1
n
n i i T a ==∏，
其中i a 为数列{}n a 中的第i 项．
B
A
（1）若21
n
a n
=-，则
4
T=________；
（2）若2()
n
T n n*
=∈N，则
n
a=________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在ABC
∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量(,cos1)
A
=+
m，(sin,1)
A
=-
n，且⊥
m n．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若2
a=，cos B=b的值．
17．（本小题满分12分）
（Ⅱ）把甲6次射击命中的环数看成一个总体，用简单随机抽样方法从中抽取两次命中的环数组成一个样本，求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
18．（本小题满分12分）
如图4，AB是圆O的的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，VA⊥平面ABC．（Ⅰ）求异面直线DE与AB所成的角；
（Ⅱ）证明DE⊥平面VAC．
19．（本小题满分13分）
在一条笔直的工艺流水线上有3个工作台，将工艺流水线用如图5所示的数轴表示，各工作台的坐标
分别为
1
x，
2
x，
3
x，每个工作台上有若干名工人．现要在
1
x与
3
x之间修建一个零件供应站，使得各工作
31x x
台上的所有工人到供应站的距离之和最短．
（Ⅰ）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
（Ⅱ）设工作台从左到右的人数依次为2，1，3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之
和的最小值．
20．（本小题满分13分）
已知首项不为零的数列{}n
a 的前n 项和为n S ，若对任意的r ，t *∈N ，都有
2()r t S r
S t
=． （Ⅰ）判断数列{}n a 是否为等差数列，并证明你的结论； （Ⅱ）若数列{}n
b 的第n 项n b 是数列{}n a 的第1n b -项(2,)n n *∈N ≥，且11a =，13b =，求数列{}n b 的
前n 项和n T ．
21．（本小题满分13分）
如图6所示，在直角坐标平面上的矩形OABC 中，2OA =，OC =点P ，Q 满足OP =λOA ，(1)()AQ AB λλ=-∈R ，点D 是C 关于原点的对称点，直线DP 与CQ 相交于点M ．
（Ⅰ）求点M 的轨迹方程；
（Ⅱ）若过点(1,0)的直线与点M 的轨迹相交于E ，F 两点，求AEF ∆的面积的最大值．
参考答案
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不
同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响
的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． 1．B 2．A 3．D 4．C 5．B 6．C 7．B 8．A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分35分． 9．2i - 10．2
11．68
12．133
13．112
14．
3π2
15．（1）105； （2）2
21,
1,, 2.(1)n n a n n n =⎧⎪
=⎨⎪-⎩
≥
说明：第15题中的第一空3分，第二空2分．
三、解答题
16．本题主要考查向量、三角函数的基础知识，同时考查根据相关公式合理变形、正确运算的能力．满分12
分．
解 （Ⅰ） 由⊥m n ，得0⋅=m n ，
cos 10A A --=． ……3分
所以π2sin ()16A -
=，即π1sin ()62
A -=． 因为0A <<π，所以π
3
A =． ……6分
（Ⅱ）由cos B =
，得sin B =． ……8分
依正弦定理，得
sin sin a b A B =
，即2sin 60=︒
……10分
解得，b =
． ……12分 17．本题主要考查平均数、方差、抽样、概率等基础知识以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．
解 （Ⅰ）甲射击命中的环数的平均数为
11
(5879106)7.56
x =⨯+++++=，
其方差为2222222111(2.50.50.5 1.5 2.5 1.5)17.566s =⨯+++++=⨯．
……2分
乙射击命中的环数的平均数为21
(6741099)7.56
x =
⨯+++++=， 其方差为2222222
211(1.50.5 3.5 2.5 1.5 1.5)25.56
6
s =⨯+++++=⨯． ……4分
B
A
因此12x x =，22
12s s <，
故甲，乙两人射击命中的环数的平均数相同，但甲比乙发挥较稳定． ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，17.5x =．
设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．
从总体中抽取两个个体的全部可能的结果(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),
(6,7),(6,8),(6,9),(6,10)(7,8),(7,9),(7,10)，(8,9),(8,10)，(9,10)，共15个结果．其中事件A 包含的结果有(5,9),(5,10)(6,8)，
(6,9),(6,10)(7,8),(7,9)，共有7个结果．
……10分 故所求的概率为7
()15
P A =
． ……12分 18．本题主要考查线线，线面关系的基础知识，
同时考查空间想象能力和推理运算能力． 满分12分．
解 （Ⅰ）因为D ，E 分别是VB ，VC 的中点， 所以//BC DE ，
因此ABC ∠是异面直线DE 与AB 所成的角．
……3分
又因为AB 是圆O 的的直径，点C 是弧AB 的
中点，所以ABC ∆是以ACB ∠于是45ABC ∠=︒．
故异面直线DE 与AB 所成的角为45︒．……6分 （Ⅱ）因为VA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，
所以BC VA ⊥． ……8分
由（Ⅰ）知，BC AC ⊥，所以BC ⊥平面VAC ． ……10分 又由（Ⅰ）知，//BC DE ，故DE ⊥平面VAC ． ……12分
19．本题主要考查将实际问题转化为数学问题的能力，以及综合运用函数知识解决问题的能力．满分13分．
解 设供应站坐标为x ，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为()d x ． （Ⅰ）由题设知，13x x x ≤≤，所以 123()()()
d x x x x x x x =-+
-+- ……2分 312x x x x =-+-．
……4分
故当2x x =时，()d x 取最小值，此时供应站的位置为2x x =．
……6分
（Ⅱ）由题设知，13x x x ≤≤，所以各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为
132()2()3()d x x x x x x x =-+-+-． ……8分
且3211232123232,,
()32,
.x x x x x x x d x x x x x x x -++-<⎧=⎨
--⎩≤≤≤ ……11分
因此，函数()d x 在区间12(,)x x 上是减函数， 在区间23[,]x x 上是常数．
故供应站位置位于区间23[,]x x 上任意一点时， 均能使函数()d x 取得最小值，
且最小值为32132x x x --，23x x x ≤≤． ……13分
20．本题主要考查n a 与n S 的关系，等差数列，等比数列等基础知识，同时考查分析问题和解决问题的能力．满分
13分．
解 （Ⅰ）令1t =，r n =，得21
n
S n S =， 于是21n S n a =．
……2分
当2n ≥时，11(21)n n n a S S n a -=-=-； 当1n =时，11S a =也适合上式． 综上知，1(21)n a n a =-． ……4分
所以112n n a a a --=．
故数列{}n a 是公差12d a =的等差数列． ……6分 （Ⅱ）当11a =时，由（Ⅰ）知，21n a n =-．
于是121n n b b -=-，即112(1)n n b b --=-．
因此数列{}1n b -是首项为112b -=，公比为2的等比数列，所以 11222n n n b --=⨯=．即21n n b =+．
……10分
故1
2
1112(12)
(222)2212
n n
n n n T b b b n n n +-=+++=++++=+=+--．
……13分 21．本题主要考查直线，椭圆，函数，
导数以及向量等基础知识，同时考查综合运用数学知识解决问题的能力．满
分13分．
解 （Ⅰ）设点M 的坐标为(,
)x y ， 由图可知(2,0)A ，(2,)B ，(0,C ， (
0,D ．
由OP =λOA ，得点P 的坐标为(2,0)λ； 由(1)AQ AB =-λ，得点Q 的坐标为 (2,1))-λ． ……2分
于是，当0≠λ时，直线DP 的方程为
y+，……①
直线CQ
的方程为y=．……②
①⨯②，得22
3
3
4
y x
-=-，即
22
1
43
x y
+=．
当0
λ=时，点M即为点C，而点C
的坐标(0,也满足上式．
故点M的轨迹方程为
22
1
43
x y
+=．……6分
（Ⅱ）设过点(1,0)的直线EF的方程为1
x my
=+，
且设
11
(,)
E x y，
22
(,)
F x y．
由22
1,
1
43
x my
x y
=+
⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
得22
(34)690
m y my
++-=．……③
由于上述方程的判别式22
(6)36(34)0
m m
∆=++>，
所以
1
y，
2
y是方程③的两根，
根据求根公式，可得
12
y y
-．
又(2,0)
A，所以AEF
∆
的面积
12
1
2
S y y
=-=．……9分
t(1)
t≥，则221
m t=-．
于是
2
62
()
1
31
3
t
S t
t t
t
==
++
，1
t≥．
记
1
()
3
f t t
t
=+，1
t≥，则
2
22
131
()1
33
t
f t
t t
-
'=-=．
因为当1
t≥时，()0
f t
'>，
所以
1
()
3
f t t
t
=+在[1,)
+∞上单调递增．
故当1
t=时，()
f t取得最小值
4
3
，
此时
2
()
1
3
S t
t
t
=
+
取得最大值
3
2
．
综上所述，当0
m=时，即直线EF垂直于x轴时，
AEF
∆的面积取得最大值
3
2
．……13分。