专题质量检测2

(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011·皖南八校联考)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，则下列结论不．正确的是 ( )A ．e 1在e 2方向上的投影为cos θB ．e 21＝e 22C ．(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)D ．e 1·e 2＝1解析：e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝cos θ，故D 不成立． 答案：D2．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α＝( )A.25 B ．－25 C.25或－25D ．－15解析：由于sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)⇒sin α＝－2cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15， 则sin αcos α＝－2cos 2α＝－25.答案：B3．对于任何α，β∈(0，π2)，sin(α＋β)与sin α＋sin β的大小关系是( )A ．sin(α＋β)>sin α＋sin βB ．sin(α＋β)<sin α＋sin βC ．sin(α＋β)＝sin α＋sin β D. 要以α，β的具体值而定解析：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，0<cos β<1,0<cos α<1，所以sin(α＋β)<sin α＋sin β. 答案：B4．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R)，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数解析：∵f (x )＝sin2x －2sin 2x sin2x ＝sin2x (1－2sin 2x )＝sin2x cos2x ＝12sin4x ，∴f (x )是最小正周期为π2的奇函数．答案：D5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 在区间[0,2π]上的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤π4，5π4B.⎣⎡⎦⎤3π4，7π4 C.⎣⎡⎦⎤0，π4，⎣⎡⎦⎤5π4，2πD.⎣⎡⎦⎤0，3π4，⎣⎡⎦⎤7π4，2π 解析：由于y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，3π4或⎣⎡⎦⎤7π4，2π时，x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，π2或⎣⎡⎦⎤3π2，7π4，此时y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增，故y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x －π4递减． 答案：D6．已知a ＋b ＋c ＝0，且cos 〈a ，b 〉＝12，|c |＝3|a |，则a 与c 的夹角等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：将向量a ，b ，c 首尾相接构成三角形，即B C ＝a ，C A ＝b ， A B＝c ，则∠ACB＝120°，又|c |＝3|a |，根据正弦定理，解得∠CAB ＝30°，故∠ABC ＝30°，所以a ，c 的夹角是150°.答案：D7．若函数f (x )＝sin ax ＋3cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为( )A ．(－13，0)B ．(－π3，0)C ．(13，0)D ．(0,0)解析：f (x )＝2sin(ax ＋π3a >0)，∵T ＝2πa ＝1，∴a ＝2π.∴f (x )＝2sin(2πx ＋π3)，由2πx ＋π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k 2－16，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝13，故(13，0)是其图像的一个对称中心．答案：C8．[理]要得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导函数f ′(x )的图像，只需将f (x )的图像( ) A ．向左平移π2个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)B ．向左平移π2个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)C ．向左平移π4个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)D ．向左平移π4个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)解析：由于f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，又由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，将其图像向左平移π4个单位后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，然后将各点的纵坐标伸长到原来的2倍即得f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像． 答案：C[文]已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a·b ，要得到函数y ＝cos 2x －sin 2x 的图像，只需将函数y ＝f (x )的图像( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：f (x )＝cos x sin x ＋sin x cos x ＝sin2x ，而函数y ＝cos 2x －sin 2x ＝cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2，由f (x )向左移π4个单位可得到．答案：C9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则符合条件的函数解析式可以是( ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛4x ＋π6＋2 解析：据函数的最值可得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋m ＝4，－A ＋m ＝0⇒A ＝m ＝2，又由周期可得2πω＝π2，解得ω＝4，故f (x )＝2sin(4x ＋φ)＋2，又直线x ＝π3是函数图像的一条对称轴，代入B ，D 选项，根据对称轴的意义(使函数取得最值)验证易得D 选项满足条件．答案：D10．(2011·天津高考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，φ＝π3＋2k π.∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin(x 3＋π3)，由此函数图像易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是单调增函数．答案：A二、填空题(本大题共7小题，每小题7分，共28分．请把正确答案填在题中的横线上)11．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且|AB |＝λ|DC |，设A B＝a ，AD ＝b ，则A C ＝ .解析：A C ＝AD ＋D C ＝b ＋1λA B ＝b ＋1λa .故选C.答案：C12．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )解析：设AB ＝c ，则AD ＝c ，BD ＝2c 3，BC ＝4c 3，在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝c 2＋c 2－43c22c 2＝13， 则sin A ＝223. 在△ABC 中，由正弦定理得c sin C ＝BC sin A ＝4c3223，解得sin C ＝66.答案：6 613．(2011·新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b 与向量ka－b垂直，则k＝________.解析：∵a＋b与ka－b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，化简得(k－1)(a·b＋1)＝0，根据a、b向量不共线，且均为单位向量得a·b＋1≠0，得k－1＝0，即k＝1.答案：114．(2011·温州模拟)方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的两根为tan A，tan B，且A，B∈(－π2，π2)，则A＋B＝__________.解析：由根与系数的关系tan A＋tan B＝－3a，tan A tan B＝3a＋1，则tan(A＋B)＝tan A＋tan B1－tan A tan B＝－3a1－(3a＋1)＝1.又A，B∈(－π2，π2)，A＋B∈(－π，π)，tan A＋tan B＝－3a<0，tan A tan B＝3a＋1>0，所以tan A<0，tan B<0，A∈(－π2，0)，B∈(－π20)，A＋B∈(－π，0)，所以A＋B＝－3π4 .答案：－3π415．若将函数y＝tan(ωx＋π4)(ω>0)的图像向右平移π6个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋π6)的图像重合，则ω的最小值为________．解析：由已知tan[ω(x－π6＋π4]＝tan(ωx－ω6π＋π4)＝tan(ωx＋π6，得π4－ω6π＝kπ＋π6(k∈Z)，∴ω＝－6k ＋12(k ∈Z)．∵ω>0，∴当k ＝0时，ω的最小值为12.答案：1216．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，给出下列结论①△ABC 的边长可以组成等差数列； ②A C ·A B <0； ③A 7＝B 5＝C 3④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1534.其中正确的结论序号是________．解析：∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，则2b ＝a ＋c ，得△ABC 的边长可以组成等差数列，即命题①正确；设a ＝7k ，b ＝5k ，c ＝3k ，则cos A ＝(5k )2＋(3k )2－(7k )22×5k ×3k ＝－12<0，得角A ＝2π3为钝角，A C ·A B<0，即命题②正确；∵a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3≠A ∶B ∶C ，即命题③不正确；若b ＋c ＝8，则a ＝7，b ＝5，c ＝3，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×3×32＝1534，即命题④正确，综上可得正确的命题序号是①②④. 答案：①②④17．已知函数f (x )＝－2sin x ·cos x ＋2cos 2x ＋1.设方程f (x )－1＝0在(0，π)内有两个零点x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为 . 解析：由题设f (x )＝－sin2x ＋1＋cos2x ＋1 ＝2cos(2x ＋π4)＋2，∵f (x )－1＝0，∴2cos(2x ＋π4)＋1＝0.∴cos(2x ＋π4)＝－22，由2x ＋π4＝2k π＋34π或2x ＋π4＝2k π＋54π，k ∈Z ，得x ＝k π＋π4或x ＝k π＋π2.∵x ∈(0，π)，∴x 1＝π4，x 2＝π2.∴x 1＋x 2＝34答案：34π三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18．(本小题满分14分)设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图像． 解：(1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2(12sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin(ωx ＋π3)，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2. ∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)列出下表，并描点画出图像如图.19．(本小题满分14分)(2011·天津高考)已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4)，(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f (α2)＝2cos 2α，求α的大小．解：(1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为{x ∈R|x ≠π8＋k π2，k ∈Z}．f (x )的最小正周期为π2.(2)由f (α2)＝2cos2α，得tan(α＋π4)＝2cos2α，sin (α＋π4)cos (α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈(0，π4)，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.由α∈(0，π4)，得2α∈(0，π2)．所以2α＝π6，即α＝π12.20．(本小题满分14分)(2011·湖南高考)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos(B ＋π4)的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．解：(1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0＜A ＜π，所以sin A ＞0，从而sin C ＝cos C . 又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A . 于是3sin A －cos(B ＋π4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π6)．因为0＜A ＜3π4，所以π6＜A ＋π6＜11π12. 从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin(A ＋π6)取最大值2.综上所述，3sin A －cos(B ＋π4)的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.21．(本小题满分15分)已知A ，B 是△ABC 的两个内角，a ＝2cos A ＋B 2i ＋sin A －B2j (其中i 、j 是互相垂直的单位向量)，若|a |＝62. (1)试问tan A tan B 是否为定值，若是定值，请求出，否则说明理由； (2)求tan C 的最大值，并判断此时三角形的形状． 解：(1)∵|a |2＝2cos 2A ＋B 2＋sin 2A －B 2＝32，1＋cos(A ＋B )＋1－cos (A －B )2＝32，即cos A cos B －sin A sin B －cos A cos B ＋sin A sin B2＝0，化简整理，得12－3tan A tan B2＝0，故tan A tan B 为定值13.(2)由(1)可知A ，B 为锐角． tan C ＝－tan(B ＋A ) ＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－3(tan A ＋tan B )2≤－3tan A tan B ＝－ 3.∴tan C 的最大值为－3，此时△ABC 为钝角三角形．22．(本小题满分15分)在海岛A 上有一座海拔1 km 的山峰，山顶设有一个观察站P ，有一轮船按一固定方向航行，上午11∶00时，测得此轮船在岛北偏东30°、俯角为30°的B 处，到11∶10时，又测得该船在岛北偏西60°、俯角为60°的C 处，如图所示．(1)求船的航行速度；(2)又经过了一段时间后，船到达海岛正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？ 解：(1)在Rt △PAB 中，∠APB ＝60°，PA ＝1， 故AB ＝ 3.在Rt △PAC 中，∠APC ＝30°，所以AC＝3 3 .在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，BC＝AC2＋AB2＝(33)2＋(3)2＝303.故所求航速为303÷16＝230 km/h.(2)∠DAC＝90°－60°＝30°，。