北京市2020〖京教版〗高三数学复习试卷第三次联考·数学试卷

北京市2020年〖京教版〗高三数学复习试卷第三次联
考·数学试卷
创作人：百里此前创作日期：202B.03.31
审核人：北堂的公创作单位：雅礼明智德学校
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M＝{x|x2＋x－6＜0},N＝{x|1≤x≤3},则M∩(R N)等于
A.(－2,1)
B. (－2,3]
C.(－3,1)
D.(－1,2]
2.已知数列{a n}为等差数列,若a3＋a7＝20,则数列{a n}的前9项和S9等于
A.40
B.45
C.60
D.90
3.若tanθ＝1,则sin2θ的值为
A. B.1C. D.
4.下面四个条件中,使a＞b成立的充分不必要条件是
A.a＞b＋1
B.a＞b－1
C.a＋1＞b＋1
D.a2＞b2
5.已知在等比数列{a n}中,a3＋a6＝6,a6＋a9＝,则a8＋a11等于
A. B. C. D.
6.已知平面向量a、b,|a|＝3,|b|＝2且a－b与a垂直,则a与b的夹角为
A. B. C. D.
7.在各项均为正数的等比数列{a n}中,≤2,则下列结论中正确的是
A.数列{a n}是递增数列
B.数列{a n}是递减数列
C.数列{a n}有可能是递增数列也有可能是递减数列
D.数列{a n}是常数列
8.若函数f(x)＝a x－k－1(a＞0,a≠1)过定点(2,0),且f(x)在定义域R上是减函数,则
g(x)＝log a(x＋k)的图象是
9.若0＜x＜1,则＋的最小值为
A.24
B.25
C.36
D.72
10.已知在各项为正的等比数列{a n}中,a2与a8的等比中项为8,则4a3＋a7取最小值时首项a1等于
A.8
B.4
C.2
D.1
11.在数列{a n}中,若存在一个确定的正整数T,对任意n∈N*满足a n＋T＝a n,则称{a n}是周期数列,T叫做它的周期.已知数列{x n}满足x1＝1,x2＝a(a≤1),x n＋2＝|x n＋1－x n|,若数列{x n}的周期为3,则{x n}的前项的和为
A.1344
B.1343
C.1224
D.1223
12.已知log3(x＋y＋4)＞log3(3x＋y－2),若x－y＜λ恒成立,则λ的取值范围是
A.(－∞,10]
B.(－∞,10)
C.(10,＋∞)
D.[10,＋∞)
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.
13.已知a＞0,b＞0,ab＝4,当a＋4b取得最小值时,＝▲.
14.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z＝2x＋3y的最大值为▲.
15.函数y＝a x＋2－2(a＞0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx＋ny＋1＝0上,其
中mn＞0,则＋的最小值为▲.
16.设S n是等差数列{a n}的前n项和,S6≥21且S15≤120,则a10的最大值是
▲.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知函数f(x)＝x2－kx＋k－1.
(1)当k为何值时,不等式f(x)≥0恒成立;
(2)当k∈R时,解不等式f(x)＞0.
18.(本小题满分12分)
在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且满足sinA＋sinB＝2sinC,a＝2b.
(1)求cosA的值;
(2)若△ABC的面积S△ABC＝,求△ABC三边的长.
19.(本小题满分12分)
已知正项等比数列{b n}(n∈N*)中,公比q＞1,且b3＋b5＝40,b3·b5＝256,a n＝log2b n＋2.
(1)求证:数列{a n}是等差数列;
(2)若c n＝,求数列{c n}的前n项和S n.
20.(本小题满分12分)
某公司新研发了甲、乙两种型号的机器,已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元,
劳动力5人,可获利润6万元,生产一台乙种型号的机器需资金20万元,劳动力10人,
可获利润8万元.若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器,那么每周这两种机器各生产多少台,才能使周利润达到最大,最大利润是多少?
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝(ax2－1)·e x,a∈R.
(1)若函数f(x)在x＝1时取得极值,求a的值;
(2)当a≤0时,求函数f(x)的单调区间.
22.(本小题满分12分)
各项均为正数的数列{x n}对一切n∈N*均满足x n＋＜2.
证明:(1)x n＜x n＋1;
(2)1－＜x n＜1.
参考答案
1.C由题知集合M＝{x|－3＜x＜2},R N＝{x|x＜1或x＞3},
所以M∩(R N)＝{x|－3＜x＜1}.
2.DS9＝＝＝＝90.
3.Bsin2θ＝＝＝1.
4.A根据题意可知,选项A、C都能推出a＞b成立,但是根据a＞b不能推出A选项成立,故答案选A.
5.C＝q3＝,q＝,a8＋a11＝(a6＋a9)q2＝×＝.
6.A因为a－b与a垂直,所以(a－b)·a＝0,所以a·a＝b·a,所以cos a,b ＝＝＝＝,所以
a,b ＝.
7.D由题意可知,a3＋a11≥2＝2a7,所以有2≤≤2,从而＝2,当且仅当a3＝a11时取得等号.此时数列{a n}是常数列.
8.A由题意可知f(2)＝0,解得k＝2,所以f(x)＝a x－2－1,又因为是减函数,所以0＜a＜1.此时g(x)＝log a(x＋2)也是单调减的,且过点(－1,0).故选A符合题意.
9.B因为0＜x＜1,所以＋＝(＋)[x＋(1－x)]＝4＋9＋＋≥13＋2＝25,当且仅当＝,即x＝时取得等号.
10.C由题意知a2a8＝82＝,即a5＝8,设公比为q(q＞0),所以4a3＋a7＝＋a5q2＝＋8q2≥2＝32,当且仅当＝8q2,即q2＝2时取等号,此时a1＝＝2.
11.B由x n＋2＝|x n＋1－x n|,得x3＝|x2－x1|＝|a－1|＝1－a,x4＝|x3－x2|＝|1－2a|,因为数列{x n}的周期为3,所以x4＝x1,即|1－2a|＝1,解得a＝0或a＝1.当a＝0时,数列为1,0,1,1,0,1…,所以S＝
2×671＋1＝1343.当a＝1时,数列为1,1,0,1,1,0,…,所以S＝2×671＋1＝1343.
12.D要使不等式成立,则有,即,设z＝x－y,则y＝x－z.作出不等式组对应的可行域如图所示的阴影部分(不包括左右边界):
平移直线y＝x－z,由图象可知当直线y＝x－z经过点B时,直线在y轴上的截距最小,此时z最大,由,解得,代入z＝x－y得z＝x－y＝3＋7＝10,又因为可行域不包括点B,所以z＜10,所以要使x－y＜λ恒成立,则λ的取值范围是λ≥10,即[10,＋∞).
13.4a＋4b≥2＝8,当且仅当a＝4b时取等号,结合a＞0,b＞0,ab＝4,所以a＝4,b＝1,＝4.
14.23作出可行域,如图所示:
当目标函数z＝2x＋3y经过x－y＋1＝0与2x－y＝3的交点(4,5)时,有最大值2×4＋3×5＝23.
15.8函数y＝a x＋2－2(a＞0,a≠1)的图象恒过定点A(－2,－1),
所以(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0,2m＋n＝1,又mn＞0,所以
＋＝(＋)·(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8.当且仅当＝,即m＝,n＝时取等号.
16.10法一:S6＝6a1＋15d≥21,S15＝15a1＋105d≤120,∴2a1＋5d≥7,a1＋7d≤8.
又a10＝a1＋9d＝－(2a1＋5d)＋(a1＋7d)
≤－×7＋×8＝10.
法二:设a1＝x,d＝y,,
目标函数a10＝z＝x＋9y,画出平面区域知a10＝z＝x＋9y在点(1,1)处取到最大值10.
17.解:(1)由f(x)≥0恒成,立即x2－kx＋k－1≥0恒成立,所以Δ＝k2－4(k－1)＝(k－2)2≤0,所以k＝2.5分
(2) 当k∈R时,f(x)＞0等价于x2－kx＋k－1＞0⇔(x－1)[x－(k－1)]＞0.
由k－1＝1,得k＝2.
∴当k＝2时,不等式的解集为(－∞,1)∪(1,＋∞),
当k＜2时,不等式的解集为(－∞,k－1)∪(1,＋∞),
当k＞2时,不等式的解集为(－∞,1)∪(k－1,＋∞).10分
18.解:(1)因为sinA＋sinB＝2sinC,由正弦定理得a＋b＝2c.
又a＝2b,可得a＝c,b＝c,
所以cosA＝＝＝－.6分
(2)由(1)cosA＝－,A∈(0,π),所以sinA＝,
所以S△ABC＝bcsinA＝×c×c×＝,
得c2＝9,即c＝3 ,所以b＝2,a＝4.12分
19.解:(1)由知b3,b5是方程x2－40x＋256＝0的两根,注意到b n＋1＞b n,
得b3＝8,b5＝32,因为q2＝＝4,所以q＝2或q＝－2(舍去),
所以b1＝＝＝2,所以b n＝b1q n－1＝2n,a n＝log2b n＋2＝log22n＋2＝n＋2.
因为a n＋1－a n＝[(n＋1)＋2]－[n＋2]＝1,
所以数列{a n}是首项为3,公差为1的等差数列.7分
(2)因为a n＝3＋(n－1)×1＝n＋2,所以c n＝,
所以S n＝＋＋…＋
＝－＋－＋…＋－
＝.12分
20.解:设每周生产甲种机器x台,乙种机器y台,周利润z万元,则
目标函数为z＝6x＋8y.
作出不等式组表示的平面区域,且作直线l:6x＋8y＝0,即3x＋4y＝0,如图:
6分
把直线l向右上方平移至l3的位置时,直线l3过可行域上的点M时直线的截距最大,即z取最大值,解方程组(x≥0,y≥0,x,y∈Z)得,所以点M坐标为(4,9),将x＝4,y＝9代入目标函数z＝6x＋8y得最大值z＝6×4＋8×9＝96(万元).
所以每周应生产甲种机器4台、乙种机器9台时,公司可获得最大周利润为96万元.12分
21.解:(1)f'(x)＝(ax2＋2ax－1)·e x,x∈R.2分
依题意得f'(1)＝(3a－1)·e＝0,解得a＝.经检验符合题意.4分
(2)f'(x)＝(ax2＋2ax－1)·e x,设g(x)＝ax2＋2ax－1.
①当a＝0时,f(x)＝－e x,f(x)在(－∞,＋∞)上为单调减函数.5分
②当a＜0时,方程g(x)＝ax2＋2ax－1＝0的判别式为Δ＝4a2＋4a,
令Δ＝0, 解得a＝0(舍去)或a＝－1.
1°当a＝－1时,g(x)＝－x2－2x－1＝－(x＋1)2≤0,
即f'(x)＝(ax2＋2ax－1)·e x≤0,
且f'(x)在x＝－1两侧同号,仅在x＝－1时等于0,
则f(x)在(－∞,＋∞)上为单调减函数.
2°当－1＜a＜0时,Δ＜0,则g(x)＝ax2＋2ax－1＜0恒成立,
即f'(x)＜0恒成立,则f(x)在(－∞,＋∞)上为单调减函数.
3°a＜－1时,Δ＝4a2＋4a＞0,令g(x)＝0,得
x1＝－1＋,x2＝－1－,且x2＞x1.
所以当x＜－1＋时,g(x)＜0,f'(x)＜0,f(x)在(－∞,－1＋)上为单调减函数;
当－1＋＜x＜－1－时,g(x)＞0,f'(x)＞0,f(x)在(－1＋,－1－)上为单调增函数;
当x＞－1－时,g(x)＜0,f'(x)＜0,f(x)在(－1－,＋∞)上为单调减函数.
综上所述,当－1≤a≤0时,函数f(x)的单调减区间为(－∞,＋∞);当a＜－1时,函数f(x)的单调减区间为(－∞,－1＋),(－1－,＋∞),函数f(x)的单调增区间为(－1＋,－1－).12分
22.证明:(1)因为x n＞0,x n＋＜2,
所以0＜＜2－x n,
所以x n＋1＞,且2－x n＞0.
因为－x n＝＝≥0.
所以≥x n,所以x n≤＜x n＋1,即x n＜x n＋1.5分
(2)下面用数学归纳法证明:x n＞1－.
①当n＝1时,由题设x1＞0可知结论成立;
②假设n＝k时,x k＞1－,
当n＝k＋1时,由(1)得x k＋1＞≥＝1－.
由①,②可得x n＞1－.8分
下面先证明x n≤1.
假设存在自然数k,使得x k＞1,则一定存在自然数m,使得x k＞1＋.因为x k＋＜2,x k＋1＞≥,
x k＋2＞≥,…,x k＋m－1≥2,
与题设x k＋＜2矛盾,所以x n≤1.
若x k＝1,则x k＋1＞x k＝1,根据上述证明可知存在矛盾.
所以x n＜1成立.12分。