习题课磁场补充习题

电动势的真实方向，要由计算结果的正负来判断。
四 互感和自感
互感系数： M 12 21
I1
I2
互感电动势： 21

M
di dt
自感系数： L I
自感电动势： L

L
di dt
五 磁场的能量密度
磁场的能量密度： wm

B2 2

H 2 2

1 BH 2
（非铁磁质）
自感线圈中储存的磁场能量：WL
V/m， Ez
0 ，求：该波的（1）波长和频
率；(2) 传播方向；（3）磁场的大小和方向。
解 ：（ 1 ） 由 题 意 可 知 该 波 的 电 场 方 向 沿 y 轴 正 向 ， 将 其 与 波 动 方 程 标 准 式
E

E0
cos[2 (t

x )] u

E0
cos[2 (t

x )]对比，可知该波的频率为
低频时 I D I ，可忽略；高频时不可略。
（2）位移电流与传导电流是完全不同的概念，仅在产生磁场方面二者等价。传导电流 有电荷流动，通过导体会产生焦耳热。位移电流无电荷流动。高频时介质也发热，那是分子
反复极化造成。
全电流 安培环路定理
H dl I I D
L
二 麦克斯韦方程组
磁学部分补充习题 09
1．如图所示，长度为 L 的导体棒 OP，处于均匀磁场 B 中，并绕 OO’ 轴以角速度 ω 旋转，
棒与转轴间夹角恒为 θ，磁感应强度 B 与转轴平行。求：OP 棒在图示位置处的电动势。
解法一：如图所示，在 OP 上距 O 为 l 处沿由 O 到
P
的方向取一线元
dl

1 2
LI
2
麦克斯韦方程组
一 位移电流
式中，
ID D t
d D d [
D dS ]
dt dt S

称为位移电流密度，即 J D
D

dS
S
t
D 。
t
引入了位移电流的概念以后，在电容器极板处中断了的传导电流 I ，可由位移电流 I D 接
2 a x
0 I vt ln a b 0vtI0e t ln a b
2
a
2
a
i (t)


d dt


0vI 0 2
ln
a
b a
d dt
(te t )
0vI 0 ln a b (et te t )
2
a
0vI0 ln a b et (t 1)
电动势，但应注意，只是运动的部分导体才是电源。非闭合导体在磁场中运动，虽然没有电
流，但运动的导体内依然可能有电动势，两端的电动势等于两端的电势差。非导体在磁场中
运动，不会产生动生电动势。
计算动生电动势的关键，在于找到合适的 dab 。
三
感生电动势与感生电场
i

L
Ei
dl


上，在整个电路中保持电流连续不断。把传导电流与位移电流之和称为全电流，即使在非稳
恒的电路中，全电流 I I D 也是保持连续的。
位移电流的特点：
（1）大小与电位移对时间的变化率 D 相关。只要电场随时间变化，就有相应的位移 t
电流。在无传导电流的介质中的位移电流 I D 与回路导线段的传导电流 I 相等；在导体中，
i
M
dI dt

0 Nb ln 2
R2 R1
I0 sin t
O'
b
R1
R2

4
10 7
103 2
6 102
ln
2.4 101 8.0 102
100
5 sin
4
1.46 102 (V)
4. 如图所示，真空中一长直导线，通有电流 I I 0et ，与其平行共面有一个带滑动边的矩
QP

1 2
B (QP) 2

1 2
B(L sin )2
方向由 O 指向 P，P 端电势高。
类 似 的 ， 此题 目 还 可以 问 U OP ? （ 注 意 ： 两点 间 电 势差等 于 两 点 电势 之 差 ，所 以 U OP U O U P OP ）
2． 自感为 0.25H 的线圈中，当电流在(1/16)s 内由 2A 均匀减为零时，线圈中的自感电动势 的大小为多少？
d 0 I ' bdr 2r
（
r 1）
O
所以


R2
d

0 I 'b
R2 dr

0 Ib ln
R2
R1
2 r R1 2 R1
N 0 NI 'b ln R2
2
R1
所以 M 0 Nb ln R2 I ' 2 R1
因此，t 时，无限长直导线中的互感电动势 4
积分形式
（Ⅰ） D dS
S
（Ⅳ） H dl
L
i
i
Qi ，（Ⅱ） E dl
Ii

S
D

L
dS
t

i

S
Ii I
B t
D

dS
，（Ⅲ）
S
B dS 0
，
微分形式
D

2
a
O
I (t)
xa
dx
v
b
x
5． 如图所示，两条平行的长直载流导线和一个矩形的导线框共面。已知两导线中电流同为
I I 0 sin t ，导线框的长为 a，宽为 b，试求导线框的感应电动势。
解：两同向载流长直导线在空间任一点 x 处所产生的磁场为
B 0I
0I
2x 2 (x r1 r2 )
L


L dI dt
0.25 2 8 1 / 16
(V)
3．如图所示，一矩形截面的螺绕环， r 1，内、外半径分别为 R1 和 R2，高为 b，共 N
匝。在环的轴线上，另有一长直导线 OO ' 。在螺绕环内通有电流 I I0 cost .试求：在
t

4
时，无限长直导线中的互感电动势。已知 R1
， B


0， E


B t
，
H

J0

D t
存在着 B 和 D 项，这意味着随时间变化的磁场必然激发有旋电场，随时间变化的电
t t
场必然激发有旋磁场。 方程(I)是电场的高斯定理(电场通量定理)。它给出电场强度和电荷的关系，其中电场既
包括电荷产生的，也包括变化磁场产生的，而后者电力线闭合，对电通量无影响。相对论情 形下，运动电荷的电场失去球对称性，但方程(I)仍成立。
，其速度
v
垂直纸面向内，大小为
v


r

l
sin

，且各线元处
v

B
的
方向均一致，如图，
则 (v

B) dl

(l sin )B sin
90 0
dl
cos(900
) ，所以有
OP

P O
(v
B) dl

L
l
0
sin2
Bdl

1 B(L sin )2 2
方程(Ⅱ)是法拉第电磁感应定律(电场环流定理)，说明变化的磁场产生有旋电场。即使 电荷的电场存在，由于其无旋性，所以总电场还是符合这一规律。
方程(Ⅲ)是磁场的高斯定理(磁场通量定理)。它说明自然界中无“磁单极”，磁力线总为 闭曲线，因而此方程也叫磁通连续原理。
方程(Ⅳ)是全电流安培环路定理(磁场环流定理)
电磁感应
一 法拉第电磁感应定律：



d dt
，

d


B dS


B nˆdS
其中， 为全磁通，对于螺线管，可以有 N
注意：感应电动势的正方向与计算磁通 时，闭合曲面的法线方向 nˆ 成右手螺旋关系。 此外，在计算中，一定要取好 d B dS B nˆdS 。
d ab
的正方向（也就是在“电源”内部， ab
的正方向
a

b
，即

假设运动导体的 a 端电势低，b 端电势高；a 为电源“－”极，b 为电源“＋”极）与 dl 的
方向一致。 ab 的真正方向，要由计算结果的正负来判断。
对于某些闭合线圈中部分导体在磁场中运动的情况，有时也可以用电磁感应定律来计算
8.0 102 m，
R2

2.4 101 m，
b 6.0 102 m，N=1000 匝，I0=5A， 100 rad.s-1，ln3=1.0986.
解：利用互感电动势公式计算，首先计算互感系数，然后求解即可。
设长直导线通有电流 I ' ，在螺绕环截面上距中心轴线为 r 处选一宽为 dr 的矩形面元，则有
d dt


S
B

dS
t
感生电场和感生电势是由变化的磁场产生的，不论是否有导体，它们都是存在的；只是
没有导体，不会有感生电流。
由于感生电场的非保守性，在此不应谈论“电势”的概念。
注意：感生电动势的正方向与计算磁通 时，闭合曲面的法线方向 nˆ 成右手螺旋关系。 此外，在计算中，一定要取好 d B dS B nˆdS 。


d dt

0a 2
ln r1

br2
r1r2

b

dI dt
O
x

0 aI 0 2
ln
r1

br2
r1r2

b cost
6． 真空中，一平面电磁波的电场由下式给出：
Ex
0，Ey
60 102 cos[2 108 (t x )] c
108 Hz，波长
为 =3m；（2）该波沿
x
轴正向传播；（3）由于
E,
H
,
u
三者构成正交右手螺旋关系，且
H
E ，由此可确定： H x 0 ， H y 0 ， H z
0 0
Ey
，所以
Bz 0H z
00 Ey

Ey c
2 109 cos[2 108 (t x )]（T） c
形导线框，滑动边的长度为 b，以匀速 v 滑动。线框与导线相距为 a. 忽略自感，设 t =0 时，
滑动边与对边重合。求线框内的感应电动势 i (t) .
解：建立如图所示坐标系，距直导线为 x 处选一宽为 dx 的面元，有
d BdS 0 I vtdx 2x
d 0 I vt ab dx
在距 1 导线为 x 处选一宽为 dx 的矩形面元，则
b

BdS
Badx
0 Ia
2

r1b dx x r1
r1b dx
r1
x

r1

r2

I
I
x
dx
a

0 Ia 2
ln
r1 r1
b

r2 r2
b

r2 r1
所以

电动势的真实方向，要由计算结果的正负来判断。
二 动生电动势
d ab

(v B) dl
， ab

b
d ab
(v B) dl
a
洛伦兹力不作功，但起能量转换作用。
注意：动生电动势是由于导体在磁场中运动产生的，只有运动部分的导体才能称为“电
源”。在“电源”内部，
方向由 O 指向 P，P 端电势高。 解法二：设想导体 OP 是三角形闭合回路 OPQO 中的一部分，则转动过程中通过闭合回路的 磁通量始终为零，没有变化，所以由法拉第电磁感应定律可知回路的总电动势为



dm dt

0
OP
PQ
QO
由题意可知QO 0 ，所以
OP

PQ