高中数学必修四教案-3.1.1 两角差的余弦公式(9)-人教A版

两角差的余弦公式教学设计
知识与技能:
1.能应用三角函数线的关系对两角差的余弦公式进行归纳;
2.掌握应用向量的数量积推导两角差的余弦公式;
3.能应用两角差的余弦公式进行求值;
过程与方法:
1.经历提炼问题的过程,养成问题意识;
2.经历用三角函数线的关系归纳两角差的余弦公式的过程,体会从特殊到一般、数形结合的数学思想方法;
3.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程,体验和感受数学探究过程,体会向量作为一种方法的作用;
4.经历应用两角差的余弦公式进行求值的过程,强化公式的应用,体验变角;
情感、态度与价值观:
创设问题情景,激发学生分析、探究的学习态度,强化学生的参与意识;
学情分析
本节内容是人教版A必修4的第三章《三角恒等变换》第一节,教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上,研究用单角的三角函数表示两角差余弦公式.教材首先从一个现实的例子引入,激发学生获取知识的欲望,接着提出问题如何用角的正弦、余弦值表示,引导学生猜想归纳,然后引领学生应用三角函数线的关系来归纳与角的正弦、余弦值的关系,接着应用向量的数量积进行推导,最后通过例1、例2强化公式的应用。

重点难点
【教学重点】通过探究得到两角差的余弦公式;
【教学难点】探究过程的组织和引导,这里不仅有学生积极思考、参与的问题,还涉及运用已学知识、技能、方法的能力问题等;
教学过程
活动1【活动】情景创设
问题一:电梯,倾斜角为30°,斜边方向BC=8,求水平方向前进了多少？倾斜角改成15°呢？师生互动:引导学生将实际问题转化为数学问题;
设计意图:激发学生兴趣,突破cos15°如何求的问题。

活动2【活动】问题提出
问题二: cos15°=cos(60°-45°) 解决这个问题,就是今天所讲的两角差的余弦公式,即cos(α-β)=?
师生互动:引导学生将问题一般化,提炼出问题: cos(α-β)与α、β的正弦、余弦值有什么关系?
设计意图:让学生体验知识产生的自然,体验提炼问题的过程,培养学生的问题意识;
活动3【活动】结构猜想
问题三:
cos(α-β)=? 请大胆猜想他的结构特征。

师生互动:1、观察式子猜想公式。

2、cos(α-β)=cosα-cosβ是否成立?
3、当α=β时能否用α来表示 cos(α-α) =cos0=1=
4、猜想出cos(α-β)=cosαcosα-sinβsinβ cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ
设计意图:是想让学生能够猜想出公式结构,未必需要正确答案,然后来检验和证明。

更切合学生的最近发展区的挖掘。

活动4【活动】实验检验
问题四:cos(α-β)=cosαcosα-sinβsinβ cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ通过各种特殊角来检验哪个式子是正确的!
师生互动:
1、α=90°β=60°
2、α=60°β=30°
3、α=90°β=0°
设计意图:让学生感受猜想--检验--证明的过程。

活动5【活动】探究证明
问题五:得到猜想cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ回顾下第2章向量知识,如何应用向量的数量积对其进行推导呢?
师生互动:(1)引导:回顾向量的有关知识,公式的结构类似向量的数量积,而且向量的数量积涉及到角的余弦,那么能否应用向量的数量积对差角公式进行推导呢?
2)结合图形,明确应选择哪几个向量,他们怎么用坐标表示?
3)根据向量数量积的定义及坐标表示可得到什么结论?
4)对探究过程进一步严格化的思考,思考与两个向量的夹角之间的关系;
设计意图:让学生体验知识产生的自然,经历用向量知识研究数学问题的过程,体验向量作为一种方法的作用;
问题六:怎样联系单位圆上的三角函数线来探索公式呢?
师生互动:(1)引导:三角函数可以用三角函数线来表示,研究的cos(α-β)与α、β
正弦、余弦值的关系,就是研究cos(α-β)与α、β的三角函数线的关系。

2)引领学生作出的α、β终边;
3)引领学生作出角(α-β)余弦线以及角β的正弦线、余弦线;
4)引领学生利用几何直观寻求关系式(cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ);
5)推广到更一般的情况比较繁难;
设计意图:加强新旧知识的联系性,使学生从直观的角度对差角余弦公式进行归纳,培养学生的观察能力,树立数形结合思想;
活动6【练习】巩固应用
设计意图:强化知识的应用和学生的解题规范,体会分类思想及变角;公式的正用和逆用。

活动7【活动】反思小结
反思:通过本节课的学习你有什么收获?
师生互动:教师引导学生围绕以下几个方面进行反思
(1)对公式探究过程中联系的有关知识、有关数学的思想方法;
(2)在应用公式过程中对公式及其逆用的认识,对变角思想、分类思想、转化思想的体会;
(3)本节课你积累的数学活动经验;
设计意图:养成反思的习惯;
活动8【作业】布置作业
(1)教材137习题3.1A组2、3、4
(2) 探究:知道了cos(α-β) , cos(α+β)、sin(α-β) 、sin(α-β) 是否也有类似的规律吗?。