四川省金堂中学1415学年度高二10月月考——数学数学

四川省金堂中学
2014—2015学年度上学期10月月考
高二数学试题
命题人：邱远芳 审题人：喻永向 (时间：120分钟 总分：150分)
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、座位号、考籍号填写在答题卡和试卷规定的位置上。

3．选择题务必用2B 铅笔将答案按要求填涂在答题卡上，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案不能答在试卷上。

4．非选择题答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能超出范围；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．已知集合，{|(1)(1)0}B x x x =-+>，则（ ）.
A ．
B ．
C ．
D ．
2．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中异面直线AB 1和CC 1所成角的大小是（ ）
A. 30
B. 450
C. 600
D. 900
3.如果log 0.5x<log 0.5y<0，那么( )
A ．y<x<1
B ．x<y<1
C ．1<x<y
D ．1<y<x
4．下列说法正确的是（ ）
A 两条直线没有公共点，则这两条直线平行。

B 两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

C 两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行。

D 一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

5.的关系为与平面，则平面，且已知直线ααb a b a ⊂//（ ） A.平行 B.垂直 C.平行或在平面内 D.在平面内
D 1
C 1
B 1A 1D
C
B A
6．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）． A ．,,m n m n αα若则‖‖‖ B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖
D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖．
7．已知正方体的棱长为,则其外接球的表面积为（ ） A ． B ． C ． D ．
8.已知相交直线a 和b 所成的角为80°，P 为交点，则过点P 且与a 、b 所成角都是 50°的直线有且仅有 （ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
9.已知, , ,则( ) A.三点共线 B.三点共线 C.三点共线 D.三点共线
10．在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），它表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数．例如：[2]2,[3.1]3,[ 2.6]3==-=-．设函数，则函数的值域为 （ ） A. B. C. D.
Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．在等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝4，则它的前9项和S 9＝________. 12.为所在平面外一点,过作于.若,则为的 ______心; 13
的距离为的中点到平面，则线段，的距离分别是的两个端点到平面线段ααAB AB cm 7cm 3
14.如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A ，B ，C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC 的值为________．
14题 15题 15.如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点，则下列结论成立的是________．
①EF 与BB 1垂直；②EF 与BD 垂直；③EF 与CD 异面；④EF 与A 1C 1异面． 三、解答题（共75分）
16.（本题满分12分）在空间四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，E 为BD 的中点。

求证：
17.（本题满分12分）已知向量
)sin ,sin 3
3
(),sin ,(cos x x x x -
==，定义函数． （1）求的最小正周期和最大值。

（2）当时，求x 的值．
18.（本题满分12分）如图,长方体中,11,2AD AA AB ===,点是的中点. 求：(1)锥的体积;
(2);
(3)求二面角的正切值
.
19.（本题满分12分）
在如图的多面体中，AE ⊥底面BEFC ，AD ∥EF ∥BC ，BE ＝AD ＝EF ＝1
2
BC ，G 是BC 的中点．
(1)求证：AB ∥平面DEG ；
(2)求证：平面EGD ⊥平面BDF .
20．（本题满分13）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n
，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *,
且a 2，a 5，a 14构成等比数列． (1)证明：a 2＝4a 1＋5；
(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<1
2.
A B
D C
21.（本题满分14分）已知函数R a x
a a
x x f ∈--+=
,1)(。

利用函数构造一个数列，方法如下：对于
定义域中给定的，令))((,),(),(12312*
-∈===N n x f x x f x x f x n n ，…
如果取定义域中任一值作为，都可以用上述方法构造出一个无穷数列。

（1）求实数a 的值；
（2）若，求)1()1)(1(21+++n x x x 的值；
（3）设))(1()1)(1(21*
∈+++=N n x x x T n n ,试问：是否存在n 使得200620061=+++++n n n T T T 成
立，若存在，试确定n 及相应的的值;若不存在，请说明理由。

参考答案
一、选择题
BBDCC DBCAB 二、填空题
11．18 12.外心 13. 2cm 或者5cm 14. 60° 15. ④
三．解答题 16.略
17．解：（１）x x x x f 2sin cos sin 3
3)(+-= --------------------２分
11sin 22)22x x =
--------------------４分 --------------------６分 ．--------------------８分 当时（９分），取最大值．--------------------１０分
（２）当时，，即1)02
3
x π+=，--------------------１１分
解得，．-------------------- 12分
18.【答案】(1)解:由长方体性质可得,面,所以是三棱锥的高,又点是的中点,11,2AD AA AB ===,
所以, ,
三棱锥的体积
111111132323
V DD DE CE =⋅⋅⋅=⨯⨯=
(2)连结, 因为是正方形,所以 又面面, 所以 又所以,面 面, 所以,
(3) 因为面,面,所以, 由(1)可知, , 所以,面, 面,面 ,
是二面角的平面角 直角三角形中,
二面角的正切值为
19.证明 (1)∵AD ∥EF ，EF ∥BC ，∴AD ∥BC .
又∵BC ＝2AD ，G 是BC 的中点，∴AD 綉BG ， ∴四边形ADGB 是平行四边形，∴AB ∥DG .
∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴AB ∥平面DEG . (2)连接GF ，四边形ADFE 是矩形， ∵DF ∥AE ，AE ⊥底面BEFC ，
∴DF ⊥平面BCFE ，EG ⊂平面BCFE ，∴DF ⊥EG . ∵EF 綉BG ，EF ＝BE ， ∴四边形BGFE 为菱形， ∴BF ⊥EG ，
又BF ∩DF ＝F ，BF ⊂平面BFD ，DF ⊂平面BFD ， ∴EG ⊥平面BDF .
20．(1)证明 当n ＝1时，4a 1＝a 22－5，a 2
2＝4a 1＋5，
又a n >0，∴a 2＝4a 1＋5. (2)解 当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，
∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2
n ＋1－a 2n －4，
即a 2n ＋1＝a 2
n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2， 又a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2，
∴当n ≥2时，{a n }是公差为2的等差数列． 又a 2，a 5，a 14成等比数列． ∴a 25＝a 2·
a 14，即(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3.
由(1)知a 1＝1.
又a 2－a 1＝3－1＝2，
∴数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.
(3)证明 由(2)知1a n a n ＋1＝1
n －n
＋
＝12⎝⎛⎭⎫1
2n －1－12n ＋1 所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×
3＋13×5＋15×7＋…＋
1n －
n ＋
＝1
2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1
＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<1
2
. 21.（1）解：根据题意可知，，则，且方程无解, 即当时方程无解 由于不是方程的解
所以对于任意1)1(,2
-+=+∈a a x a R x 无解。

则，且，故。

（2）当时，对于，有12
)(1112++-
==x x x f x ，1222
31
2)(x x x x f x =++-== 同理得对一切都成立，即数列是一个以2为周期的周期数列。

——10分
则， 故)(4,114,224,134,2)1()1)(1(21*∈⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧=-=--=--==+++N k k
n k n k n k n x x x n 解法二：由上可知，1
2
)(1++-
==+n n n n x x x f x ，则，从而可得出结果。

（3）由（2）易知：)(4,114),1(24,134,111*∈⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧=-=+--=--=+=N k k
n k n x k n k n x T n 则)(0321*
+++∈=+++N k T T T T k k k k ,若200620061=+++++n n n T T T ，
则)(200621*
++∈=++N n T T T n n n ,又)(1
4,124),1(34,14,1112
1*++∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+--=-=+=++N k k n k n x k n k n x T T T n n n 故当，或，时200620061=+++++n n n T T T。