【单元练】(人教版)福州九年级数学上册第二十四章《圆》经典练习(含答案解析)

一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A ．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴
B ．平分弦的直径垂直于弦
C ．长度相等的弧是等弧
D ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等D
解析：D
【分析】
根据对称轴的定义对A 进行判断；根据垂径定理的推论对B 进行判断；根据等弧定义对C 进行判断；根据圆心角定理对D 进行判断．
【详解】
解：A 、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以A 选项错误； B 、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B 选项错误； C 、长度相等的弧不一定能重合,所以不一定是等弧，所以C 选项错误；
D 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所以D 选项正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了圆的有关性质，掌握相关定理是解题关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，P 是直线y ＝2上的一个动点，⊙P 的半径为1，直线OQ 切⊙P 于点Q ，则线段OQ 的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C 3
D 5
解析：C
【分析】 连接PQ 、OP ，如图，根据切线的性质得：PQ ⊥OQ ，再利用勾股定理得出OQ ，利用垂线段最短，当OP 最小时，OQ 最小，即可求解．
【详解】
连接PQ 、OP ，如图，
∵直线OQ 切⊙P 于点Q ，
∴PQ ⊥OQ ，
在直角OPQ △中，2221OQ OP PQ OP --，
当OP 最小时，OQ 最小，
当OP ⊥直线y ＝2时，OP 有最小值2，
∴OQ 的最小值为2213-=，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了勾股定理，熟练掌握切线的性质以及勾股定理是解答本题的关键．
3．如图，AB 是⊙O 的弦，AO 的延长线交过点B 的⊙O 的切线于点C ，如果∠ABO =30°，则∠C 的度数是（ ）
A ．70°
B ．45°
C ．30°
D ．20°C
解析：C
【分析】 由BC 是⊙O 的切线，OB 是⊙O 的半径，得到∠OBC =90°，根据等腰三角形的性质得到∠A =∠ABO =30°，由外角的性质得到∠BOC =60°，即可求得∠C =30°．
【详解】
∵BC 是⊙O 的切线，OB 是⊙O 的半径，
∴∠OBC =90°，
∵OA =OB ，
∴∠A =∠ABO =30°，
∴∠BOC =60°，
∴∠C =30°．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
4．如图，AB 是半圆O 的直径，20BAC =︒∠，则D ∠的度数是（ ）
A ．70°
B ．100°
C ．110°
D ．120°C
解析：C
【分析】 先根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，再根据直角三角形的性质可得70B ∠=︒，然后根据圆内接四边形的性质即可得．
【详解】
AB 是半圆O 的直径，
90ACB ∴∠=︒，
20BAC ∠=︒，
9070B BAC ∴∠=︒-∠=︒， 又四边形ABCD 是圆O 内接四边形，
180110D B ∴∠=︒-∠=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
5．如图在ABC 中，∠B=90°，AC=10，作ABC 的内切圆圆O ，分别与AB 、BC 、AC 相切于点D 、E 、F ，设AD=x ，ABC 的面积为S ，则S 关于x 的函数图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．A
解析：A
【分析】
连接OD 、OE ，根据三角形内切圆证得四边形DBEO 是正方形，在根据勾股定理即可得解；
【详解】
连接OD 、OE ，如图，O 的半径为r ，
∵△ABC 的内切圆O 分别于AB 、BC 、AC 相切与点D 、E 、F ，
∴⊥OD AB ，OE BC ⊥，AF=AD=x ，CE=CF=10-x ，
易得四边形DBEO 是正方形，
∴DB BE OD r ===， ∵()()2△1110101022ABC S r AB BC AC r x r r x r r =
++=+++-+=+，
∵222AB BC AC +=，
∴
()()2221010x r x r ++-+=， ∴
221010r r x x +=-+， ∴()2
210525S x x x =-+=--+（0＜x ＜10）． 故答案选A ．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，三角形的内切圆与圆心，函数图像，准确分析判断是解题的关键．
6．在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连结CD ．如图，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC ＝25°，则∠BDC 的度数（ ）
A ．45°
B ．55°
C ．65°
D ．70°C
解析：C
【分析】 连接BC ，求出∠B ＝65°，根据翻折的性质，得到∠ADC+∠B ＝180°，进而得到∠BDC=∠B ＝65°．
【详解】
解：连接BC ，
∵AB 是直径，
∴∠ACB ＝90°，
∵∠BAC ＝25°，
∴∠B ＝90°﹣∠BAC ＝90°﹣25°＝65°，
根据翻折的性质，AC 所对的圆周角为∠B ，ABC 所对的圆周角为∠ADC ，
∴∠ADC+∠B ＝180°，
∴∠BDC=∠B ＝65°，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理及其推论，根据题意添加适当辅助线是解题关键．
7．如图，在O 中，AB ，AC 为互相垂直且相等的两条弦，⊥OD AB ，OE AC ⊥，
垂足分别为D ，E ，若4AB =，则O 的半径是（ ）
A ．2
B ．2
C ．3
D ．42
解析：A
【分析】
根据垂径定理可知，AE=CE ，AD=BD ，易证四边形ODAE 是正方形，即可求得．
【详解】
如图，连接OA
∵⊥OD AB ，OE AC ⊥，AB ⊥AC
∴四边形ODAE 是矩形，AE=CE ，AD=BD
又∵4AB AC ==，
∴AE=AD=2
∴四边形ODAE 是正方形，且边长为2
∴O 的半径OA=22
故选A
【点睛】
本题考查垂径定理，掌握垂径定理的条件和结论是解题的关键．
8．如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D ．则AB 的长为（ ）
A ．5
B ．10
C ．52
D ．102
解析：C
【分析】 根据圆周角定理得出∠D=∠B ，得出△ABC 是等腰直角三角形，进而解答即可．
【详解】
∵AC=AC ，
∴∠D=∠B ，
∵∠BAC=∠D ，
∴∠B=∠BAC ，
∴△ABC 是等腰三角形，
∵AB 是直径，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∵AC=5，
∴AB=52，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是根据圆周角定理得出∠D=∠B ．
9．已知
O 的半径为4，点P 在O 外，OP 的长可能是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5D
解析：D
【分析】
根据题意可以求得OP 的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵O 的半径为4，点P 在⊙O 外，
∴OP ＞4，
故选：D ．
【点睛】
本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP 的取值范围． 10．如图，在⊙O 中，OA BC ⊥，35ADB ∠=︒．则AOC ∠的度数为（ ）
A ．40︒
B ．55︒
C ．70︒
D ．65︒C
解析：C
【分析】 根据圆周角定理可得270AOB ADB ∠=∠=︒，再利用垂径定理即可求解．
【详解】
解：连接OB ，
∵35ADB ∠=︒，
∴270AOB ADB ∠=∠=︒，
∵OA BC ⊥，
∴AB AC =，
∴70AOC AOB ∠=∠=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查圆周角定理、垂径定理、同弧所对的圆心角相等，掌握圆的基本性质定理是解题的关键．
二、填空题
11．如图，用一张半径为10cm 的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的高为8cm ，那么这张扇形纸板的弧长是_______cm ，制作这个帽子需要的纸板的面积为_______cm 2．
12π60π【分析】首先根据底面半径求得圆锥的底面的周长从而求
得扇形的弧长和面积；【详解】∵扇形的半径为10cm 做成的圆锥形帽子的高为8cm ∴圆锥的底面半径为∴底面周长为∴这张扇形纸板的弧长是扇形的 解析：12π 60π
【分析】
首先根据底面半径求得圆锥的底面的周长，从而求得扇形的弧长和面积；
【详解】
∵扇形的半径为10cm ，做成的圆锥形帽子的高为8cm ，
∴221086-=，
∴底面周长为2612cm ππ⨯=，
∴这张扇形纸板的弧长是12cm π，
扇形的面积为21110126022
lr cm ππ=⨯⨯=． 故答案是：12π；60π．
【点睛】
本题主要考查了扇形弧长计算和面积计算，准确分析计算是解题的关键．
12．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，对角线AC 是O 的直径，2AB =，45ADB ∠=︒，则O 的半径长为_______．
【分析】先根据圆周角定理可得再根据等腰直角
三角形的判定与性质勾股定理可得由此即可得【详解】是的直径是等腰直角三角形则的半径长为故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理等腰直角三角形的判定与性质勾股定理
2
【分析】
先根据圆周角定理可得90,45ABC ACB ADB ∠=︒∠=∠=︒，再根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可得22AC =
【详解】
AC 是O 的直径，
90ABC ∴∠=︒，
45ADB ∠=︒，
45ACB ADB ∴∠=∠=︒，
Rt ABC ∴是等腰直角三角形，2BC AB ==，
2222AC AB BC ∴=+=
则O 的半径长为122
AC = 2
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点,,A B C 的坐标分别是(0,),(22,0),()4,0,M
∆的外接圆，则圆心M的坐标为__________________，M的半径为
是ABC
_______________________．
【分析】M点为BC和AB的垂直平分线的交点利用点
ABC坐标易得BC的垂直平分线为直线x=3AB的垂直平分线为直线y=x从而得到M点的坐标然后计算MB得到⊙M的半径【详解】解：∵点ABC的坐标分别是（
3,310
解析：()
【分析】
M点为BC和AB的垂直平分线的交点，利用点A、B、C坐标易得BC的垂直平分线为直线x=3，AB的垂直平分线为直线y=x，从而得到M点的坐标，然后计算MB得到⊙M的半径．
【详解】
解：∵点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），
∴BC的垂直平分线为直线x=3，
∵OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y=x，
∵直线x=3与直线y=x的交点为M点，
∴M点的坐标为（3，3），
∵22
(32)310
MB=-+=
∴⊙M10．
故答案为（3，310．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了坐标与图形的性质．
14．如图，O的半径为6，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是O上任意一
⊥于N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周点，过点P作PM AB
⊥于M，PN CD
从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当∠QCN度数取最大值时，线段CQ的长为
______．
【分析】利用矩形的性质得出OQ＝MN＝OP＝3再利用当CQ
与此圆相切时∠QCN最大此时在直角三角形CQ′O中通过勾股定理求得答案【详解】连接OQ∵MN＝OP（矩形对角线相等）⊙O的半径为6∴OQ＝M
解析：33
【分析】
利用矩形的性质得出OQ＝1
2
MN＝
1
2
OP＝3，再利用当CQ与此圆相切时，∠QCN最大，
此时，在直角三角形CQ′O中，通过勾股定理求得答案．【详解】
连接OQ，
∵MN＝OP（矩形对角线相等），⊙O的半径为6，
∴OQ＝1
2MN＝
1
2
OP＝3，
可得点Q的运动轨迹是以O为圆心，3为半径的半圆，当CQ与此圆相切时，∠QCN最大，
此时，在直角三角形CQ′O中，
∠CQ′O＝90°，OQ′＝3，CO＝6，
∴CQ′22
CO OQ
-'33
即线段CQ的长为33
故答案为：33′
【点睛】
此题主要考查了矩形的性质、点的轨迹，圆的切线等，得出当CQ与此圆相切时，∠QCN 最大是解题的关键．
15．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM，BN交于点P，则PC长的最小值为
____________．
【分析】根据题意和正方形的性质可利用SAS证明
△ABM≌△BCN得出∠BAM＝∠CBN进而可证出∠APB＝90°于是可得点P在以AB为直径的圆上运动运动路径是弧BG连接OC交圆O于P如图则此时PC最解析：5-1
【分析】
根据题意和正方形的性质可利用SAS证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM＝∠CBN，进而可证出∠APB＝90°，于是可得点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径是弧BG，连接OC交圆O于P，如图，则此时PC最小，进一步即可求解．
【详解】
解：由题意得：BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝2，
在△ABM和△BCN中，
∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABP+∠CBN＝90°，
∴∠ABP+∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径是弧BG，是这个圆的1
，如
4
图所示：
连接OC交圆O于P，此时PC最小，
∵AB＝2，
∴OP＝OB＝1，
由勾股定理得：OC22
+=，
215
∴PC＝OC﹣OP51；
51．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和圆的有关性质等知识；熟练掌握上述知识，证出点P 在以AB 为直径的圆上运动是解题关键．
16．在ABC 中，90,3,4C AC BC ∠===，则ABC 的内切圆的周长为
___________．【分析】先根据勾股定理求出斜边AB 的长再根据直角三角形内切圆的半径公式求出半径再算出周长【详解】解：根据勾股定理内切圆半径内切圆周长故答案是：【点睛】本题考查三角形的内切圆解题的关键是掌握直角三角形
解析：2π
【分析】
先根据勾股定理求出斜边AB 的长，再根据直角三角形内切圆的半径公式求出半径，再算出周长．
【详解】
解：根据勾股定理，5AB =
=， 内切圆半径345122
AC BC AB +-+-===， 内切圆周长22r ππ==．
故答案是：2π．
【点睛】
本题考查三角形的内切圆，解题的关键是掌握直角三角形内切圆半径的求解方法．
17．在矩形ABCD 中，AB =6BC =，若点P 是矩形ABCD 上一动点，要使得60APB ∠=︒，则AP 的长为__________．或4或8【分析】取CD 中点P1连接AP1BP1由勾股定理可求AP1＝BP1＝4即可证△AP1B 是等边三角形可得∠AP1B ＝60°过点A 点P1点B 作圆与ADBC 各有一个交点即这样的P 点一共3个再运用勾
解析：4或8．
【分析】
取CD 中点P 1，连接AP 1，BP 1，由勾股定理可求AP 1＝BP 1＝△AP 1B 是等边三角形，可得∠AP 1B ＝60°，过点A ，点P 1，点B 作圆与AD ，BC 各有一个交点，即这样的P 点一共3个．再运用勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图，取CD 中点P 1，连接AP 1，BP 1，如图1，
∵四边形ABCD 是矩形
∴AB ＝CD ＝43，AD ＝BC ＝6，∠D ＝∠C ＝90°
∵点P 1是CD 中点
∴CP ＝DP 1＝23
∴AP 1＝221AD DP +＝43， BP 1＝221
BC CP +＝43 ∴AP 1＝P 1B ＝AB
∴△APB 是等边三角形
∴∠AP 1B ＝60°，
过点A ，点P 1，点B 作圆与AD ，BC 的相交，
∴这样的P 点一共有3个
当点P 2在AD 上时，如图2，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴3,43,90AB A CD AD =∠===︒
∵260,AP B ∠=︒
∴221,2
P A P B = 即222,P B P A =
在2Rt P AB ∆中，22222,P B P A AB -=
∴222222(43),P A P A -=
∴24AP =；
当点P 3在BC 上时，如图3，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B=90°
∵∠360,AP B =︒
∴∠3390906030,P AB AP B =︒-∠=︒-︒=︒ ∴331,2BP AP = 在3Rt ABP ∆中，22233,AP BP AB -=
222331()(43),2
AP AP -= 23348,4
AP = ∴8,AP =
综上所述，AP 的长为：43或4或8．
故答案为：43或4或8．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
18．如图，半径为10的扇形AOB 中，∠AOB=90°，C 为AB 上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ．若∠CDE=36°，则图中阴影部分的面积为____．
10π【分析】连接OC 易得△ODE ≌△ECO 所以扇形OBC 的面积就
是图中阴影部分的面积因此求得扇形OBC 的面积即可【详解】解：如下图连接OC ∵∠AOB=90°CD ⊥OACE ⊥OB ∴四边形ODCE 为矩
解析：10π
【分析】
连接OC ，易得△ODE ≌△ECO ，所以扇形OBC 的面积就是图中阴影部分的面积，因此求得
扇形OBC 的面积即可．
【详解】
解：如下图
连接OC ，∵∠AOB=90°、CD ⊥OA 、CE ⊥OB
∴四边形ODCE 为矩形
∴OD=CE ，OE 为公共边
∴△ODE ≌△ECO
∴△ODE 的面积=△ECO 的面积
∴图中阴影部分的面积=2236361010360360
O BC S
OB πππ-==⨯=． 故答案为：10π．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算和矩形的性质．其关键是用矩形性质对阴影部分进行等积变换，发现△ODE 的面积=△ECO 的面积．
19．如图，若∠BOD ＝140°，则∠BCD=___________ ． 【分析】如图（见解析）先根据圆周角定理可得再根据圆内
接四边形的性质即可得【详解】如图在优弧上取一点E 连接BEDE 由圆内接四边形的性质得：故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理圆内接四边形的性质熟练掌
解析：110︒
【分析】
如图（见解析），先根据圆周角定理可得70BED ∠=︒，再根据圆内接四边形的性质即可得．
【详解】
如图，在优弧BD 上取一点E ，连接BE 、DE ，
140BOD ∠=︒，
1702
BED BOD ∠∴∠==︒，
由圆内接四边形的性质得：180110BC ED D B ∠=︒-∠=︒，
故答案为：110︒．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 20．如图，在⊙O 中，弦AC 、BD 相交于点E ，且AB BC CD ==，若∠BEC=130°，则∠ACD 的度数为_____
105°【分析】根据圆周角定理的推论可得∠BCA ＝∠CBD ＝
∠CDB 然后根据三角形的内角和定理即可求出∠BCA 与∠CED 再在△CDE 中利用三角形的内角和求解即可【详解】解：∵∴∠BCA ＝∠CBD ＝∠
解析：105°
【分析】
根据圆周角定理的推论可得∠BCA ＝∠CBD ＝∠CDB ，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠BCA 与∠CED ，再在△CDE 中利用三角形的内角和求解即可
【详解】
解：∵AB BC CD ==，
∴∠BCA ＝∠CBD ＝∠CDB ，
∵∠BEC ＝130°，
∴∠BCA ＝∠CBD ＝25°，∠CED ＝50°，
∴∠CDB ＝25°，
∴∠ACD ＝180°﹣50°﹣25°＝105°．
故答案为：105°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理的推论和三角形的内角和定理，熟练掌握上述知识是解题的关键．
三、解答题
21．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．E 为CD 边上的一个动点（不与C 、D 重合），⊙O 是BCE 的外接圆．
（1）若2CE =，⊙O 交AD 于点F 、G ．求FG 的长度；
（2）若CE 的长度为m ，⊙O 与AD 的位置关系随着m 的值变化而变化，试探索⊙O 与AD 的位置关系及对应的m 的取值范围．
解析：（1）2FG =；（2）当704m <<
时，⊙O 与AD 相离；当74m =时，⊙O 与AD 相切；当744
m <<时，⊙O 与AD 相交 【分析】
（1）过点O 作OM FG ⊥于点M ，延长MO 交BC 于点N ，连接OG ．在Rt BCE ∆中，利用勾股定理求出BE ，再在Rt OMG ∆中求出MG 即可解决问题．
（2）如图1中，当O 与AD 相切于点M 时，连接OM 并反向延长交BC 于点N ．求出相切时，m 的值即可判断．
【详解】
解：（1）解：过点O 作OM FG ⊥于点M ，延长MO 交BC 于点N ，连接OG ，
四边形ABCD 是矩形，
90C D ∴∠=∠=︒，
BE ∴是O 的直径．
90C D DMN ∠=∠=∠=︒，
∴四边形MNCD 是矩形，
MN BC ∴⊥，4MN CD AB ===，
BN CN ∴=．
OB OE =，
ON ∴是BCE ∆的中位线，
112ON CE ∴==， 413OM ∴=-=，
在Rt BCE ∆中，22210=
+=BE BC CE ， 1102OG BE ∴==， 在Rt OMG ∆中，221=-=MG OG OM ， 22FG MG ∴==． （2）解：如图1中，当O 与AD 相切于点M 时，连接OM 并反向延长交BC 于点N ．
由（1）易得1122==ON CE m ，142
==-OB OM m ，3BN =， 在Rt BON ∆中，222+=ON BN OB ，即22211()3(4)22
m m +=-， 解得74
m =， ∴当704m <<
时，O 与AD 相离， 当74m =
时，O 与AD 相切， 当744
m <<时，O 与AD 相交． 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，矩形的性质，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，BD 平分ABC ∠交⊙O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ．
（1）求证：DE 与⊙O 相切；
（2）若10AB =，6AD =，求DE 的长．
解析：（1）见解析；（2）245 【分析】
（1）连接OD ，由BD 为角平分线得到OBD CBD ∠=∠，再由OB=OD ，利用等边对等角得到ODB OBD ∠=∠，从而得出ODB CBD ∠=∠，利用内错角相等两直线平行得到OD 与BE 平行，由DE 垂直于BE 得到OD 垂直于DE ，即可得证；
（2）过D 作DH AB ⊥于H ，根据HL 得出△≌△Rt ADH Rt CDE ，得出AH CE =，再根据勾股定理得出22221068BD AB AD =-=-=，再利用等积法即可得出DE 的长．
【详解】
（1）证明：连接OD ．
∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠．
∵BD 平分ABC ∠，∴OBD CBD ∠=∠．
∴ODB CBD ∠=∠，∴//OD BE ．
∴180BED ODE ∠+∠=︒．
∵BE DE ⊥，∴90BED ∠=︒．
∴90ODE ∠=︒．∴OD DE ⊥．
∴DE 与O 相切；
（2）过D 作DH AB ⊥于H ．
∵BD 平分ABC ∠，DE BE ⊥，∴DH DE =．
∵AD CD =，∴AD CD =．
∴()Rt ADH Rt CDE HL △≌△，∴AH CE =．
∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒． ∵10AB =，6AD =， ∴22221068BD AB AD =
-=-=． ∵1122AB DH AD BD ⋅=⋅，∴245
DH =． ∴245
DE =
． 【点睛】 此题考查了切线的判定，角平分线的性质、圆周角定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键，属于中考常考题型．
23．如图，已知圆内接四边形ABDC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，AD 为它的对角线． 求证：AD ＝BD+CD ．
解析：见解析．
【分析】
连接BC ，证明∠ADB ＝∠ADC ＝60°，在AD 上取点E 、F ，使DE ＝DB 、DF ＝DC ，连接BE 、CF ，证明△BDE 、△CDF 为正三角形，再证明∠AEB ＝∠CFA ＝120°，∠EAB ＝∠FCA ，证明△ABE ≌△CAF ，可得AE ＝CF ，从而可得结论．
【详解】
解：连接BC ， ∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，
∴ △ABC 为等边三角形，
∴ ∠ABC ＝∠ACB ＝60°，
,,AC AC AB AB ==
∴ ∠ADC ＝∠ABC 60,=︒ ∠ADB ＝∠ACB 60,=︒
在AD 上取点E 、F ，使DE ＝DB 、DF ＝DC ，连接BE 、CF ，
∴△BDE 、△CDF 为等边三角形，
∴∠DEB ＝∠DFC ＝60°，,,DE BD CF DC ==
∴∠AEB ＝∠CFA ＝120°，
又∠FAC+∠FCA ＝∠DFC ＝60°、∠FAC+∠EAB ＝∠BAC ＝60°，
∴∠EAB ＝∠FCA ，
在△ABE 和△CAF 中，
∵EAB FCA AEB CFA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABE ≌△CAF （AAS ），
∴AE ＝CF ，
∴AD ＝DE+AE ＝BD+FC ＝BD+CD ．
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
24．在O 中，弦CD 与直径AB 相交于点,62P ABC ∠=︒．
（1）如图1，若100APC ∠=︒，求BAD ∠和CDB ∠的大小;
（2）如图2，若CD AB ⊥，过点D 作O 的切线，与AB 的延长线相交于点E ，求E
∠的大小．
解析：（1）3828BAD CDB ∠=∠=，；（2）34E ∠=．
【分析】
（1）首先利用三角形外角的性质即可求出∠BAD 的度数，然后利用圆周角定理及其推论即可求出∠CDB 的度数；
（2）首先根据直角三角形两锐角互余得出∠PCB 的度数，然后根据切线的性质及圆周角定理即可得出答案．
【详解】
（1）如图1，
,APC ABC BCP ∠=∠+∠
又100,62APC ABC ∠=︒∠=︒，
38,BCD ∴∠=︒
38,BAD BCD ∴∠=∠=︒ AB 是O 的直径，
90,ADB ∴∠=︒
62,ADC ABC ∠=∠=︒
28CDB ∴∠=．
（2）如图2，连接,OD AD ，
则,A ADO ∠=∠
,CD AB ⊥
90,BPC APD ∴∠=∠=︒
62,ABC ∠=︒
28BCP DAP ∴∠=∠=．
56,DOP ∴∠=︒
34,ODP ∴∠=︒ DE 是O 的切线，
90,ODE ∴∠=︒
34E ODP ∴∠=∠=．
【点睛】
本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的性质，圆周角定理及其推论是解题的关键． 25．如图，已知直线l 与⊙O 相交于点E 、F ， AB 是⊙O 的直径，AD ⊥l 于点D ，交⊙O 于G
（1）求证：∠BAF=∠DAE ；
（2）若2DE=2，∠B=45°，求AG 的长
解析：(1)见解析；(2)32
【分析】
(1)连接BF ，得到∠BAF=90°-∠ABF ，由圆内角四边形对角互补得到∠AEF=180°-∠ABF ，再由∠DAE=∠AEF-90°即可证明；
(2)由∠ABE=45°得到△ABE 为等腰直角三角形，进而求出AE 的长，利用勾股定理求出AD 的长；再连接GE ，由圆内接四边形对角互补得到∠AGE=135°，进而得到∠DGE=45°，△GDE 为等腰直角三角形，最后AG=AD-GD 即可求解．
【详解】
解：(1) 如图，连接BF ，
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°-∠ABF ，
∵在⊙O 中，四边形ABFE 是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠ABF=180°，
∴∠AEF=180°-∠ABF ，
又∠AEF 是△DAE 的一个外角，
∴∠DAE=∠AEF-∠90°=180°-∠ABF-90°=90°-∠ABF ，
∴∠BAF=∠DAE ；
(2)∵AB 为直径，∴∠AEB=90°，∠ABE=45°时，△AEB 为等腰直角三角形，
∴AE=BE=42422AB
，
在Rt △ADE 中，AD=22224223AE DE ，
连接GE ，如下图所示，
由圆内接四边形对角互补可知，∠AGE=180°-∠B=135°，
∴∠DGE=180°-135°=45°，
又AD ⊥DE ，∴△GDE 为等腰直角三角形，
∴GD=DE=2，
∴AG=AD-GD=232 ，
故答案为：232-．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆内角四边形对角互补，勾股定理求线段长等知识点，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本类题的关键．
26．如图，在33⨯的网格中有一个圆，请仅用无刻度直尺作图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中，圆过格点A ，B ，请作出圆心O ；
（2）在图2中，⊙O 的两条弦AB CD =，请作一个45圆周角．
解析：（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）如图3，连接AN 、BM ，通过圆内接三角形是直角三角形时，斜边就是直径来确定圆心位置；
（2）连接BC 、AD 、BD ，通过同（等）弧所对圆周角相等推出ABD CDB ∠=∠，进而推出45BDC ∠=︒．
【详解】
（1）如图3，连接AN 、BM 交点O 即为圆心
∵9090ABN BAM ∠=︒∠=︒，，
∴AN 、BM 是直径，
∴直径交点O 就是圆心．
（2）如图4，连接BC 、AD 、BD
∵AB=CD ，
∴AB CD =，
∴ADB CBD ∠=∠，
又∵AC CA =，
∴ABC CDA ∠=∠，
∴ABD CDB ∠=∠，
又∵90BED ∠=︒，
∴45ABD CDB ∠=∠=︒，
故连接BD ，则45BDC ∠=︒．
【点睛】
本题考查确定圆心和确定圆弧圆周角等问题，解题的关键是圆内接三角形是直角三角形时，斜边就是直径以及同（等）弧所对圆周角相等．
27．下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．
已知：ABC ∆．
求作：BC 边上的高AD ．
作法：如图，
①分别以点A 和点C 为圆心，大于12
AC 的长为半径作弧，两弧相交于,P Q 两点； ②作直线PQ ，交AC 于点O ，则直线PQ 是线段AC 的 线； ③以O 为圆心，OA 为半径作
O ，与CB 的延长线交于点D ，连接AD ，线段AD 即为
所作的高．
（1）补全尺规作图并填空﹔
（2）判断AD 为高的依据是 ． 解析：（1）画图见解析，垂直平分；（2）直径所对的圆周角是直角
【分析】
（1）利用基本作图可判断PQ 垂直平分AC ；
（2）根据圆周角定理求解．
【详解】
解：②作直线PQ ，交AC 于点O ，则直线PQ 是线段AC 的垂直平分线；
（1）如图，AD 为所作；
（2）∵AC 为直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD ⊥BC ．
故答案为垂直平分线；直径所对的圆周角为直角．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段的垂直平分线的性质和圆周角定理．
28．如图，长方形的长为a ，宽为
2
a ，用整式表示图中阴影部分的面积，并计算当2a =时阴影部分的面积（π取3.14）．
解析：2
(2)4
a π-，1.14 【分析】
根据对称性用a 表示出阴影的面积，再将a=2代入求解即可．
【详解】
解：由题意可知：
S 阴=211442222a a a π⎡⎤⎛⎫-⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦ 2
(2)4
a π-= 当2a =时，S 阴=
(3.142)4 1.144-⨯=． 【点睛】
本题考查列代数式、代数式求值、圆的面积公式、三角形的面积公式，解答的关键是找出面积之间的关系，利用基本图形的面积公式解决问题．。