3.1.1方程的根与函数的零点

y
x1 0 x2 x 0 x1
x
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
结论 1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。
2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。
概念· 形成
函 对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 数 y=f(x)的零点。 的 零 点 等价关系 函数y=f(x)有零点 是 方程f(x)=0有实数根 不 是 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 点 ？ 注意： 零点指的是一个实数；
解得：a=-3，b=2 所以函数f(x)的解析式是：f(x)=x2-3x+2
问题3 如图是某地从0点到12点的气温变化图， 假设气温是连续变化的，请将图形补充成完 整的函数图象。这段时间内，是否一定有某 时刻的气温为0度？为什么？
问题探究
图象是连续还是间断的 观察函数的图象 ？
1 f a f b 0( 或 ) 在区间a, b 内 有 （有或无）零点 2 f b f c 0( 或 ) 在区间b, c 内 有 （有或无）零点 3 f c f d 0( 或 ) 在区间c, d 内 有 （有或无）零点
y
0
a
bbb
bb
bb
b b bb x
b
结论：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 一条曲线： （1）f(a)·f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零 点； (2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 0。 f(a)·f(b)<
• 思考 2：如果函数y=f(x) y=f(x)在 在 [a,b] 上是连 结论：如果函数 [a,b] 上是连续 续的单调函数 的单调函数, , 且并且在闭区间的两个端点 f(a)f(b)﹤0, 那么这个函 上的函数值互异即 f(a)f(b)﹤0, 那么这个 数f(x)在(a,b)内有且只有一个零点。 函数在(a,b)内的零点个数能确定吗？
例题讲解
例1、求下列函数的零点：（注意格式）
(1)y=-x2-x+20
(2)y=(x2-2)(x2-3x+2)
解： (1)令y=0,即-x2-x+20=0； 解得x1=-5，x2=4 ∴所求函数的零点是-5和4
例2 、已知函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是1和2，
求函数f(x)的解析式。
解：由题意得1和2是方程x2+ax+b=0的两个实数根 分别代入方程得：
一种科学只有在成功地运用数学时 , 才算达到完善的地步 数形结合百般好，隔离分家万事休， , 才算达到完善的地步 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞 ？ 切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离 数缺形时少直观，形少数时难入微， 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？ 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞 ？
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x) 在区间(a,b)内有零点，即存在 c a, b 使得 f(c)=0,这个c也就是方程f(c)=0 的根。
y 0a y
b
y
x
y
0a
b
x
0 a
b x
0 a
b
x
思考1：函数y=f(x)在区间[a,b]上的 图象是一条连续不断的曲线，若函数 y=f(x)在区间(a, b)内有零点，一定 能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？
－1
方程 函数 函 数 的 图 象
方程的实数根
x2－2x+3=0 y= x2－2xபைடு நூலகம்3
y
y
2
.
－1 －2
.y
x
－1
. .
.
1
0
1
2
.
.
x
－1
2 1
3
－3 －4
0
1
.
.
2
3 2 1
.
5 4
.
1
.
2
.
. x1=x2=1 (1,0)
0
3
x
x1=－1,x2=3
无实数根 无交点
函数的图象 (－1,0)、(3,0) 与x轴的交点
数形结合百般好，隔离分家万事休， 数缺形时少直观，形少数时难入微， 切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离 数形结合百般好，隔离分家万事休，
§3.1.1方程的根与
函数的零点
问题· 探究
问题1 求出表中一元二次方程的实数根， 画出相应的二次函数图像的简图，并写 出函数的图象与x轴的交点坐标
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 .
问题2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一 般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x 轴交点的关系。
判别式△ = b2－4ac △＞0 △=0 △＜0 没有实数根
y
方程ax2 +bx+c=0 两个不相等 有两个相等的 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2 (a>0)的根
y
函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象
函数的零点定义：
是不是所有 的函数都有 零点？
辨 析 :
对零点的理解：
"数"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值 "形"的角度：即是函数f(x)的图象与x轴的交点的
横坐标
求函数零点的方法： (1) 方程法：解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点 (2) 图象法：画出函数y=f(x)的图象, 其图象与x轴交 点的横坐标是函数y=f(x)的零点 （几何法）
温 馨 提 示
函数零点方程根， 图象连续总有痕。 数形本是同根生， 端值计算是根本。 借问零点何处有， 端值互异零点生。