立体几何 课时提升练42 精选配套练习

课时提升练(四十二)
立体几何中的向量方法
一、选择题
1．已知a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c·a ＝0且c·b ＝0是l ⊥α的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 由l ⊥α可以推出l 与a ，b 所在的直线垂直，但c·a ＝0且c·b ＝0，未必有l ⊥α，因为a ，b 所在的直线未必相交，故选
B.
【答案】 B
2．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)三点，向量n ＝(1,1,1)，则以n 为方向向量的直线l 与平面ABC 的关系是( )
A ．垂直
B ．不垂直
C ．平行
D ．以上都有可能
【解析】 ∵AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，
∴AB →·n ＝－1×1＋1×1＋0×1＝0，
AC →·n ＝－1×1＋0×1＋1×1＝0.
即AB →⊥n ，AC →⊥n .
所以l ⊥AB ，l ⊥AC .
又AB ∩AC ＝A ，
∴l ⊥平面ABC .
【答案】 A
3．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，则直线AM 与CN 所成角α的余弦值为( )
图7-7-11
A.25
B.15
C.215
D.265
【解析】 以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A (1,0,0)，M
⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1， C (0,1,0)，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，1，12， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1， CN →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，0，12. ∴AM →·CN →＝0×1＋12×0＋1×12＝12，
|AM →|＝
02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝52， |CN →|＝12＋02
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52，
∴cos α＝|AM →·CN →||AM →||CN →|＝1252×52＝25， 即直线AM 与CN 所成角α的余弦值为25.故选A.
【答案】 A
4．如图7-7-12所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1
D 1的中点，M 为BC 的中点，则AM 与PM 的位置关系为( )
图7-7-12
A ．平行
B ．异面
C ．垂直
D ．以上都不对 【解析】 以D 点为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz .
依题意，得D (0,0,0)，P (0,1，3)，C (0,2,0)，A (22，0,0)，M (2，2,0)．
∴PM →＝(2，1，－3)，AM →＝(－2，2,0)，
∴PM →·AM →＝2×(－2)＋1×2－3×0＝0.
即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM .
【答案】 C
5．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，
CD ＝217，则该二面角的大小为( )
A ．150°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
【解析】 如图所示，
二面角的大小就是〈AC →，BD →〉．
∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →
∴CD →2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋CA →·BD →＋AB →·BD →)
＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·BD →，
∴CA →·BD →＝12[(217)2－62－42－82]＝－24.
因此AC →·BD →＝24，cos 〈AC →，BD →〉＝AC →·BD →|AC →||BD →|
＝12， ∴〈AC →，BD →〉＝60°，故二面角为60°.
【答案】 C
6．如图7-7-13，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为(
)
图7-7-13
A ．(1,1,1) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫24，24，1 【解析】
∵M 在EF 上，设ME ＝x ，
∴M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫22x ，22x ，1， ∵A (2，2，0)，D (2，0,0)，E (0,0,1)，B (0，2，0)，
∴ED →＝(2，0，－1)，EB →＝(0，2，－1)，
AM →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫22x －2，22x －2，1. 设平面BDE 的法向量n ＝(a ，b ，c )，
由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·ED →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
2a －c ＝0，2b －c ＝0，得a ＝b ＝22c . 故可取一个法向量n ＝(1,1，2)．
∵n ·AM →＝0，∴x ＝1，∴M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，22，1. 【答案】 C
二、填空题
7．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝
(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP
⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正
确的是________．
【解析】 ∵AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，
AD →·AP →＝－4＋4＋0＝0.
∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确．
又AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ，
∴AP →是平面ABCD 的法向量，则③正确．
又BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →＝(－1,2，－1)，
∴BD →与AP →不平行，故④错误．
【答案】 ①②③
8．如图7-7-14所示，在正四棱锥S -ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成角为________．
图7-7-14
【解析】 如图所示，以O 为原点
建立空间直角坐标系O -xyz .
设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，
则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)， P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－a 2，a 2. 则CA →＝(2a,0,0)，AP →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →＝(a ，a,0)． 设平面P AC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，则cos 〈CB →，n 〉
＝CB →·n |CB →||n |＝a 2a 2·2＝12. ∴〈CB →，n 〉＝60°，∴直线BC 与平面P
AC 的夹角为90°－60°
＝30°.
【答案】 30°
9．如图7-7-15所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成角的大小是________．
图7-7-15
【解析】 分别以BA ，BC ，BB 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设AB ＝1，
则B (0,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，0，12，C 1(0,1,1)，
∴EF →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，0，12，BC 1→＝(0,1,1)． cos 〈EF →，BC 1→〉＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝1222×2
＝12， ∴直线EF 和BC 1所成角的大小为60°.
【答案】 60°
三、解答题
10．(2014·烟台4月模拟)如图7-7-16所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，O 为CD 的中点，沿AO 将三角形AOD 折起，使DB
＝ 3.
(1)求证：平面AOD ⊥平面ABCO ；
(2)求直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值．
图7-7-16
【解】 (1)证明：在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，O 为CD 的中点，
∴△AOD ，△BOC 为等腰直角三角形，
∴∠AOB ＝90°，即OB ⊥OA .
取AO 中点H ，连结DH ，BH ，则OH ＝DH ＝12AO ＝22，
在Rt △BOH 中，BH 2＝BO 2＋OH 2＝52， 在△BHD 中，DH 2＋BH 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋52＝3，又DB 2＝3，∴DH 2＋BH 2＝DB 2，∴DH ⊥BH .
又DH ⊥OA ，OA ∩BH ＝H ，
∴DH ⊥平面ABCO .
而DH ⊂平面AOD ，
∴平面AOD ⊥平面ABCO .
(2)分别以OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴，
O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角
坐标系，则B (0，2，0)，A (2，0,0)，
D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－22，22，0， ∴AB →＝(－2，2，0)，AD →＝⎝
⎛⎭⎪⎫－22，0，22，BC →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－22，－22，0. 设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AD →＝0，
得⎩⎨⎧ －2x ＋2y ＝0，
－22x ＋22z ＝0，
即x ＝y ，x ＝z ，令x ＝1，则y ＝z ＝1，n ＝(1,1,1)．
设α为直线BC 与平面ABD 所成的角，
则sin α＝|BC →·n ||BC →|·|n |
＝23＝63. 即直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值为63.
11．(2014·湖北高考)如图7-7-17，在棱长为2的正方体
ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，
BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0＜λ＜
2)．
图7-7-17
(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；
(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ 的值；若不存在，说明理由．
【解】 以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .由已知得
B (2,2,0)，
C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1,0,0)，P (0,0，λ)，
BC 1→＝(－2,0,2)，FP →＝(－1,0，λ)，FE →＝(1,1,0)．
(1)证明：当λ＝1时，FP →＝(－1,0,1)，
因为BC 1→＝(－2,0,2)，所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .
而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，
故直线BC 1∥平面EFPQ .
(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0. 于是可取n ＝(λ，－λ，1)．
同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2,2－λ，1)．
若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则m ·n ＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，
即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±
2 2.
故存在λ＝1±
2
2，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二
面角．
12．(2014·四川高考)三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图7-7-18所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.
(1)证明：P是线段BC的中点；
(2)求二面角A-NP-M的余弦值．
图7-7-18
【解】(1)证明：如图(1)，取BD的中点O，连接AO，CO.
(1)
由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD均为正三角形，
因此AO⊥BD，OC⊥BD.
因为AO，OC⊂平面AOC，且AO∩OC＝O，
所以BD⊥平面AOC.
又因为AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC.
取BO的中点H，连接NH，PH.
又M，N分别为线段AD，AB的中点，
所以NH∥AO，MN∥BD.
因为AO ⊥BD ，所以NH ⊥BD .
因为MN ⊥NP ，所以BD ⊥NP .
因为NH ，NP ⊂平面NHP ，且NH ∩NP ＝N ，
所以BD ⊥平面NHP .
又因为HP ⊂平面NHP ，所以BD ⊥HP .
又OC ⊥BD ，HP ⊂平面BCD ，OC ⊂平面BCD ，
所以HP ∥OC .
因为H 为BO 中点，故P 为BC 中点．
(2)由俯视图及(1)可知，AO ⊥平面BCD .
因为OC ，OB ⊂平面BCD ，所以AO ⊥OC ，AO ⊥OB .
又OC ⊥OB ，所以直线OA ，OB ，OC 两两垂直．
(2)
如图(2)，以O 为坐标原点，以OB →，OC →，OA →的方向为x 轴，y
轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz ，则A (0,0，3)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，D (－1,0,0)．
因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，
又由(1)知，P 为线段BC 的中点，
所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，32，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32，0. 于是AB →＝(1,0，－3)，BC →＝(－1，3，0)，MN →＝(1,0,0)，NP →＝
⎝
⎛⎭⎪⎫0，32，－32.
设平面ABC 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1⊥AB →，n 1⊥BC →，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB →＝0，n 1·BC →＝0，
有⎩
⎪⎨⎪⎧ (x 1，y 1，z 1)·(1，0，－3)＝0，(x 1，y 1，z 1)·(－1，3，0)＝0， 从而⎩⎪⎨⎪⎧
x 1－3z 1＝0，－x 1＋3y 1＝0. 取z 1＝1，则x 1＝3，y 1＝1，所以n 1＝(3，1,1)．
设平面MNP 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2⊥MN →，n 2⊥NP →，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·MN →＝0，n 2·NP →＝0，
有⎩⎨⎧ (x 2，y 2，z 2)·
(1，0，0)＝0，(x 2，y 2，z 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，－32＝0， 从而⎩⎨⎧ x 2＝0，
32y 2－32z 2＝0.
取z 2＝1，所以n 2＝(0,1,1)．
设二面角A -NP -M 的大小为θ，
则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪(3，1，1)·(0，1，1)5×2＝105. 故二面角A -NP -M 的余弦值是105.。