浙江省绍兴市会稽联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题含答案

2023学年第二学期绍兴会稽联盟期中联考
高二年级数学学科试题（答案在最后）
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若2A 20n =，则n =（
）A.3 B.4
C.5
D.6
【答案】C 【解析】
【分析】根据排列数公式计算即可.
【详解】由2
A 20n =，得()120n n -=，
解得5n =（n =-4舍去）.故选：C .2.设函数()1
f x x
=，则()1f '=（）
A.-1
B.12
-
C.
12
D.1
【答案】A 【解析】
【分析】求导，代入求值即可.【详解】()2
1f x x
'=-，故()21
111f =-=-'.故选：A
3.已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象可能是（
）
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】
【分析】利用导函数的图象求出函数()f x 的单调区间，由此判断即可得解.
【详解】观察导函数()f x '的图象，当0x <或2x >时，()0f x '>，当12x <<时，()0f x '<，因此函数()f x 在(,0),(2,)-∞+∞上单调递增，在(1,2)上单调递减，ABC 错误，D 正确.故选：D
4.已知随机变量,X Y 的分布列分别为
X
-2-1012
P
0.10.20.
4
0.
2
0.1Y
-2-1012P
0.050.15
0.6
0.15
0.05
则（
）
A.()()()(),E X E Y D X D Y ==
B.()()()(),E X E Y D X D Y =>
C.()()()(),E X E Y D X D Y >>
D.()()()()
,E X E Y D X D Y =<【答案】B 【解析】
【分析】由分布列的期望和方差公式即可得到答案.
【详解】由题意知()()()20.110.200.410.220.10E X =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=，
()()()20.0510.1500.610.1520.050E Y =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=,()()
E X E Y ∴=
()()()()()()22222
200.1100.2000.4100.2200.1 1.2D X =--⨯+--⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，()()()()()()2
2
2
2
2
200.05100.15000.6100.15200.050.7
D Y =--⨯+--⨯+-⨯+-⨯+-⨯=()()D X D Y ∴>.
故选：B.
5.甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（）
A.27种
B.36种
C.54种
D.72种
【答案】C 【解析】
【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理即可得到结果．
【详解】解：由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；
余下3人有3
3A 种排法．故共有3
3333332154A ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=种不同的情况．
故选：C .
6.将3个1和2个0随机排成一排，则2个0不相邻的概率是（）
A.
13
B.
23
C.
25 D.
35
【答案】D 【解析】
【分析】先求出将3个1和2个0随机排成一排的情况数，再得到2个0相邻的情况为4种，不相邻的情况为6种，从而求出概率.
【详解】将3个1和2个0随机排成一排，即从5个位置选2个位置放入0，其他3个位置自然放入1，故总的情况为2
5C 10=种，
其中2个0相邻的情况为4种，故不相邻的情况为1046-=种，故2个0不相邻的概率为63105
=.故选：D
7.甲盒中装有2个红球，2个白球，乙盒中装有2个红球，3个白球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒
中，再从乙盒中随机取出一个球是红球的概率为（）A.
12
B.
512 C.
712
D.
34
【答案】B 【解析】
【分析】设出事件，利用全概率公式求出答案.
【详解】设从甲盒中取出的为红球为事件A ，从乙盒中随机取出一个球是红球为事件B ，则()()()()()()()
P B P AB P AB P B A P A P B A P A
=+=⋅+⋅221225222312223112
+=
⨯+⨯=++++++.故选：B
8.已知函数()2
1e 2
=-x
a x x f 在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值是（）A.22e B.e
C.2
2e - D.1
e -【答案】D 【解析】
【分析】等价转化为()e 0x
f x a x '=-≥在区间()1,2上恒成立，再利用分离参数法并结合导数即可求出答
案.
【详解】因为()e 0x
f x a x '=-≥在区间()1,2上恒成立，所以e x
x
a ≥
在区间()1,2上恒成立．令()(),1,2e
x
x
g x x =
∈，则()10e x x g x -'=<在()1,2上恒成立，所以()e
x
x g x =在区间()1,2上单调递减，所以()()1
1e g x g -<=，故1e a -≥．故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列有关排列数､组合数的等式中成立的是（）
A.3
5
88
C C = B.2
3
4
889
C C C +=C.333
883A C A = D.54
87
A 8A =【答案】ACD 【解析】
【分析】根据组合数和排列数的公式逐个判断即可.【详解】对于A ，因为C C m n m
n n -=，所以35
88C C =，故A 正确；
对于B,因为1
11C C C m m m n n
n ++++=，所以233
889C C C +=，故B 错误；
对于C,因为3
3838
3
A C A =，所以333
883A C A =，故C 正确；
对于D ，45
788A 87654A =⨯⨯⨯⨯=，故D 正确.故选：ACD
10.已知函数()3
f x x ax b =++，则（
）
A.()00R,0
x f x ∃∈=B.()()00R,R,x x f x f x ∃∈∀∈≥C.函数()y f x =的图象是中心对称图形
D.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在()0,x -∞单调递减【答案】AC 【解析】
【分析】根据函数的值域判断选项A,B ；利用((2))f f b x x +=-，求出函数的对称中心，判断选项C ；利用函数极小值的定义和单调区间判断选项D 即可
【详解】因为()3
f x x ax b =++，所以2()3f x x a '=+，
当0a ≥时，()0,f x '≥则()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 的值域为R ，
当a<0
时，0,f f ⎛== ⎝''
在⎛ ⎝上，()0f x '<，()f x 单调递减；
在,∞⎛- ⎝
和∞⎫+⎪⎪⎭
上，()0f x '>，
()f x 单调递增，此时函数()f x 的值域为R .故函数()f x 的值域一定为R .
对于A ，因为函数()f x 的值域为R ，故()00R,0x f x ∃∈=，A 正确；
对于B ，因为函数()f x 的值域为R ，故()f x 没有最小值，B 错误；对于C ，()3
3()()2f x f x x ax b x ax b b -+=--++++=，
所以点(0,)b 为()y f x =的对称中心，即函数()y f x =的图象是中心对称图形，故C 正确.对于D ，若0x 是()f x 的极小值点，则a<0，
此时()f x 在⎛ ⎝上，单调递减；
在,∞⎛- ⎝和∞⎫+⎪⎪⎭
上，单调递增，
故极小值点0x =D 错误.故选：AC
11.已知0a >，且e 2b a +=，则（）
A.1a b +≤
B.ln e 1b a +≤
C.ln 0a b -≤
D.e 2
a b +≥【答案】ABC 【解析】
【分析】通过二元换一元2e b a =-，利用e 1x x ≥+即可得A ；同理利用ln 1x x ≤-即可得B ；当0b ≥和
0b <两种情况下分别计算ln 0a b -≤，即可得到C ；利用极限可得D.
【详解】令()()e 1x
f x x =-+，()e 1x
f x '=-，当0x ≥时，()0f x '≥，()f x 递增；
当0x <时，()0f x '<，()f x 递减，()()00f x f ∴≥=，即e 1x x ≥+.由题意知2e b a =-，()2e 211b
a b b b b ∴+=+-≤+-+=，所以A 对；
令()()ln 1g x x x =--，()111x g x x x
-=
-='，当01x <<时，()0g x '>，()g x 递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 递减，()()10g x g ∴≤=，即
ln 1x x ≤-.
由题意知e 2b a =-，ln e ln 2121b a a a a a ++-≤+-=-=，所以B 对；当0b ≥时，e 1b ≥，1a ≤，(
)ln ln ln e
ln10b
a b a b a -=-=÷≤=，
0b <时，ln ln 10a b a b a b -=+≤-+≤，所以C 对；
当b ∞→-时，2a →，e 0a b +<，所以D 错.故选：ABC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.乘积()()()121231234a a b b b c c c c ++++++展开后的项数是__________.【答案】24【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理可得解.
【详解】展开式中每一项的构成，分别由三个括号各取一项构成，由分步乘法计数原理可得，共有111
234C C C 24=项.故答案为：24
13.设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点(3,0)（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有____________种．（用数字作答）【答案】5【解析】
【分析】由题可知质点5次跳动中向正方向跳了4次，进而即得.
【详解】由题可知质点5次跳动中向正方向跳了4次，向负方向跳了1次，
所以质点不同的运动方法共有4
5C 5=种.
故答案为：5.
14.对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差
10,n N n ε⎛⎫
~ ⎪⎝⎭
，为使误差()0.5,0.5n ε∈-的概率不小于0.9545，则至少需要测量的次数是__________（若
()2,X N μσ ，则(2)0.9545P X μσ-<=）.
【答案】16【解析】
【分析】利用正态分布的三段区间概率公式及性质计算即可.【详解】因为误差()0.5,0.5n ε∈-的概率不小于0.9545，所以()(2,2)0.5,0.5μσμσ-+⊆-，
由题意可知10.524σ≥⇒
≥
，即16n ≥，所以至少需要测量的次数是16次.故答案为：16
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.在二项式5
x
⎛
+ ⎝
的展开式中
（1）求各二项式系数的和；（2）求含2x 的项的系数.【答案】（1）32（2）40
【解析】
【分析】（1）根据二项展开式的所有二项式系数的和的公式计算即得；（2）写出二项展开式的通项，依题求得含2x 的项的系数即得.【小问1详解】
二项式系数的和为：0123455
555555C C C C C C 232+++++==；
【小问2详解】
二项展开式的通项为：3552155C C 2r
r
r r r r r T x x
-
-+==，依题意，令3522
r -
=，解得2r =，则有222
235
C 240T x x ==，故2x 的系数为40.
16.盒子中装有4个红球，2个白球.
（1）若依次随机取出2个球，求在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率；（2）若随机取出3个球，记取出的球中白球个数为X ，求X 的分布列及均值.【答案】（1）
2
5
（2）分布列见解析，1【解析】
【分析】（1）分析出第一次取到红球后，盒子里还剩3个红球，2个白球，从而求出概率；（2）求出X 的可能取值及对应的概率，得到分布列，计算出期望值.
【小问1详解】
设A =“第一次取到红球”，B =“第二次取到白球"，第一次取到红球后，盒子里还剩3个红球，2个白球，则()
22325
P B A =
=+；【小问2详解】
X 的可能取值为0,1,2.
所以()34
3
6C 10C 5P X ===，()()1221
24243366C C C C 311,2C 5C 5
P X P X ======，故分布列为
X
012
P
153515
()131
0121555
E X =⨯+⨯+⨯=.
17.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1，则译码为1）.
（1）若采用单次传输方案，依次发送1,0,1，求依次收到1,0,1的概率；
（2）证明：当00.5α<<时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率.
【答案】（1）()2
1(1)αβ--（2）证明见解析【解析】
【分析】（1）由相互独立事件乘法公式计算即可；（2）根据题意求出()3
2
2
3(1)C (1)
P B ααα=-+-，()1P C α=-，再作差比较即可得证.
【小问1详解】
记A =“依次发送1,0,1，依次收到1,0,1”，
则()()()()()2
1111(1)P A βαβαβ=---=--.
【小问2详解】
记B =“发送0，采用三次传输方案译码为0”，
C =“发送0，采用单次传输方案译码为0”，
则()3
2
2
3(1)C (1)
P B ααα=-+-，()1P C α=-，
因为()()()()()3
2
(1)3(1)1112P B P C ααααααα-=-+---=--，
因为00.5α<<，
所以()()()()()()
1120P B P C P B P C ααα-=-->⇒>.
18.已知函数()()2
11ln 2
f x x a x a x =
+--.（1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性；
（3）证明：当0a >时，()3
21322
f x a a a >--
+.【答案】（1）1
2
y =（2）答案见解析（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，得出切线方程；（2）求出函数导数，结合二次函数的性质，分类讨论得到函数的单调性；（3）由（2）得出函数的最小值，转化为求证2
1
ln 02
a a -->，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得证.【小问1详解】当1a =时，()21ln 2
f x x x =-，又()1f x x x '=-，
所以()10k f '==，又因为()112f =
，所以切线方程为1
2
y =.【小问2详解】
()()()()11x x a a f x x a x x
+-=+--='.①若0a ≤，当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>，
所以()f x 在()0,∞+上单调递增；
②若0a >，当()0,x a ∈时，()0f x '<，当(),x a ∈+∞时，()0f x ¢>，
所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增.
【小问3详解】
证明：当0a >时，由（2）知()()2min 1()1ln 2
f x f a a a a a a ==+--，要证()321322f x a a a >--+，只需证()321322
f a a a a >--+，即证()2321131ln 222
a a a a a a a a +-->--+，即证21ln 02a a -->.令()21ln 2g a a a =--，因为()21212a g a a a a
-'=-=，
当0,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g a '<，当,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()0g a '>，所以()g a 在20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递增，
所以()2121ln 02222g a g ⎛⎫≥=--=> ⎪ ⎪⎝⎭
，所以()321322
f x a a a >--+.19.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,求()f p 的最大值点0p ；
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ;（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【答案】（1）0.1；（2）（i ）490；（ii ）应该对余下的产品作检验.
【解析】
【分析】（1）方法一：利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得()()18
2220C 1f p p p =-，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意01p <<的条件；（2）方法一：先根据第一问的条件，确定出0.1p =，在解（i ）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii ）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.
【详解】（1）［方法一］：【通性通法】利用导数求最值
20件产品中恰有2件不合格品的概率为()()18
2220C 1f p p p =-.因此()()()()()1817172222020C 211812C 1110f p p p p p p p p ⎡⎤='---=--⎣⎦
.令()0f p '=，得0.1p =.当()0,0.1p ∈时，()0f p '>；当()0.1,1p ∈时，()0f p '<.
所以()f p 的最大值点为00.1p =；
［方法二］：【最优解】均值不等式
由题可知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为2218
20()C (1)f p p p =-．22181820190()(1)(9)(9)(1)81f p C p p p p p =-=-2020
1909918(1)1901881208120p p p ++-⎡⎤⎛⎫≤= ⎪⎢⎣⎦⎝⎭，当且仅当91p p =-，即110
p =可得所求．（2）由（1）知，0.1p =.
（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知()180,0.1Y B ~，20225X Y =⨯+，即4025X Y =+.所以()40254025490EX E Y EY =+=+=.
（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于400EX >，故应该对余下的产品作检验.
【整体点评】（1）方法一：利用导数求最值，是求函数最值的通性通法；
方法二：根据所求式子特征，利用均值不等式求最值，是本题的最优解．。