人教版九年级数学下册解直角三角形同步练习4新人教版

人教版九年级数学下册解直角三角形同步练习4新人教版
专题一利用解直角三角形测河宽与山高
1．如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD＝30°；小丽沿河岸向前走
30 m选取点B,并测得∠CBD＝60°.请根据以上数据,用你所学的数学知识,帮助小丽计
算小河的宽度.
2．在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45°，游船向东航行100米后（B处），测得
太婆尖﹨老君岭的仰角分别为30°﹨60°．试问太婆尖﹨老君岭的高度为多少米？（3≈1.732，结果精确到1米）
专题二利用解直角三角形测坝宽与坡面距离
3．如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD．(i＝CE:ED，单位：m)
专题三利用解直角三角形解决太阳能问题
4．某市规划局计划在一坡角为16°的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示．已知支架AC与斜坡AB的夹角为28°，支架BD⊥AB于点B，且AC﹨BD的延长线均过⊙O的圆心，AB＝12 m，⊙O的半径为1.5 m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离．（结果精确到0.01 m）
（参考数据：cos28°≈0.9，sin62°≈0.9，sin44°≈0.7，cos46°≈0.7）
【知识要点】
１.解直角三角形的几种基本图形：
图形1：
tan30°＝33=+a x x ， ∠ABD ＝∠A ，BD ＝AD ＝a ， tan60°＝x x a + ， x a x 333=+， 2360sin =︒=a x ， x a x +=3，
213+=x a ． a x 23= . a a x 2131
3+=-= . 图形2：
tan30°＝33=-x a x ， tan60°＝3=-x
a x ， a a x 2131
3-=+=． a a x 233133-=+= .
图形3：
AC ＝CD ＝a ＋x ， AC ＝BE ＝DE ＝x , ∠BAD ＝∠BDA ＝30°,
tan30°＝3
3=+a x x ， tan60°＝3=+x x a , AB ＝BD ＝a ，
a a x 21313+=-= . a a x 2131
3+=-= . x ＝21BD ＝21a . 【温馨提示】
１.解直角三角形的基本思想是“化斜为直”，在转化过程中，尽量保证已知度数的角的完整性.
２.当一个三角形是钝角三角形，且其钝角的补角是30﹨45﹨60度时，常常从该钝角顶点向对边作垂线构造“双直角三角形”.
【方法技巧】
１.双直角三角形中，公共直角边是“桥梁”，通过它建立起两直角三角形的联系.
２.如果条件中给出参考数据，结合原始数据，构造直角三角形.当计算过程中用到了参考数据，你的思路一定是正确的.
参考答案
1．解：示意图如下：
连接AC ，B C ，过点C 作CE ⊥AD 于E .
由题意得，∠ACB ＝∠CBE －∠CAD =60°－30°＝30°， ∴∠CAD ＝∠ACB ，
∴BC ＝AB ＝30.
在Rt △BEC 中，CE ＝BC sin60°＝30×23＝153（m ）. 答:小河的宽度为153m.
2．解：设太婆尖高h 1米，老君岭高h 2米，依题意，有1122100tan 30tan 45100.tan 45tan 60
h h h h ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解得150(31)137h =+≈（米），2h 50(33)237=+≈(米). 答：太婆尖的高度约为137米，老君岭的高度约为237米 .
3．解：如图所示，过点B 作BF ⊥AD 于F ，可得矩形BCEF ， ∴EF ＝BC ＝4，BF ＝CE ＝4．
在Rt △ABF 中，∠AFB ＝90°，AB ＝5，BF ＝4，
由勾股定理可得
22543AF =-=．
∵Rt △CED 中，12
CE i ED ==， ∴ED ＝2CE ＝2×4＝8．
∴AD ＝AF ＋FE ＋ED ＝3＋4＋8＝
15(m)．
4．解：过点O 作水平地面的垂线，垂足为E ．
在Rt△AOB 中，cos∠OAB ＝OA AB ， 即cos28°＝OA 12，∴OA ＝121213.333cos 280.9≈≈︒. ∵∠BAE ＝16°，
∴∠OAE ＝28°＋16°＝44°.
在Rt△AOE 中，sin∠OAE ＝
OA OE ， 即s in44°333
.13OE ≈， ∴OE 333.97.0333.13≈⨯≈，
9.333＋1.5≈10.83(m).
∴雕塑最顶端到水平地面的垂直距离约为10.83 m ．。