课标要求(1)随机抽样

第二章 统计
课标要求：（1）随机抽样：① 理解随机抽样的必要性和重要性.② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.
（2）总体估计：① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.③ 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释.④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题.
（3）变量的相关性：① 会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
第一节 随机抽样
学习目标：了解随机抽样，会用它对简单实际问题进行抽样。

了解分层抽样的意义，会对简单实际问题进行抽样。

第一课时 简单随机抽样
一．知识归纳
1．统计的基本思想方法是 用样本估计总体 。

2．简单随机抽样：设一个总体含有 有限个 个体，其个数记为N ，如果通过 逐个抽取 的方法抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的 概率 相等。

称这样的抽样为简单随机抽样。

其体现了抽样的 客观 性和 公平 性。

3．简单随机抽样的方法主要有 抽签 法和 随机数表 法。

4．一般的，如果用简单随机抽样从个体数为N 的总体中抽取一个容量为n 的样本，那么每个个体被抽到的概率为 N n 。

5．抽签有先后，对谁都公平。

易得到：第k 次与第1次抽到的概率相等。

二．典型例题
例1．为了检验某种产品的质量，决定从50件产品中抽取10件进行检验，试用抽签法和随机数表法写出抽取样本的过程。

【解】抽签法：①编号1-50；②写好签（可用纸条、卡片、小球等）；③放入箱中均匀搅拌；④每次抽一个，连抽10次。

随机数表法：①编号：00-49；②人选一个数字位开始数字；③从开始数字向右读，一次得到所抽号码。

例2．要用简单随机抽样从含有25个个体的总体中抽取一个容量为5的样本。

问（1）每次抽取一个个体时任一个体a 被抽到的概率为多少？（2）在整个抽样过程中任一个体a 被抽到的概率为多少？
【解】（1）251=P ；（2）51
=P 。

三．巩固提高
1．为了了解某校高三年级的毕业会考情况，要从该年级500名学生中抽取100名进行数据分析，则在这次考查中，考查总体数为 ，样本容量为 。

2．对总数为N 的一批零件中抽取一个容量为20的样本，若每个样本被抽取的概率为1.0，则=N 。

3．为了了解某次数学竞赛中1000名学生的成绩，从中抽取一个容量为100的样本，则每个个体被抽到的概率是 。

4.一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一容量为3的样本，则某特定个体入样的概率是（ C ）
43.
A
89103.⨯⨯B 103.C 101
.D
5．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（ ）
.A 与第n 次有关，第一次可能性最大 .B 与第n 次有关，第一次可能性最小
.C 与第n 次无关，与抽取的第n 个样本有关 .D 与第n 次无关，每次可能性相等
6．一个年级有12个班，每个班从1-50排学号，为了交流学习经验，要求每班的14号参加交流活动，这里运用的抽样方法是（ ）
.A 简单随机抽样 .B 抽签法 .C 随机数表法 .D 以上都不对
7．为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是（ ）
.A 总体 .B 个体 .C 总体的一个样本 .D 样本容量
8．为了分析高三年级的8个班400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩，决定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析，这个问题中样本容量是（ ）
.A 8 .B 400 .C 96 .D 96名学生的成绩
9．从鱼塘打一网鱼，共m 条，都做上记号再放入鱼塘中，数天后再打一网鱼共有n 条，其中k 条有记号，估计鱼塘中有鱼多少条？ 【解】共有
k
mn
条。

第二课时 系统抽样
一．知识归纳
1．系统抽样：当总体中的个数较多时，采用简单随机抽样显得较为费事，可将总体分成平均的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样。

2．系统抽样的步骤：（1）将总体中的N 个个体随机编号；（2）确定分段间隔k ，将编号分
段，当
n N 取整数时，取n
N
k =；（3）在第一段中用简单随机抽样确定起始编号)(k l l ≤；（4）按一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k 得到第二个个体编号)(k l +，第n 个个体的编号为k n l )1(-+，以此类推，直到获取整个样本。

3．分层抽样：当已知总体由 差异明显的几部分 组成时，为了使样本更充分的反映总体的情况，常将总体分成 几部分 ，然后按照各部分所占的 比 进行抽样，这种抽样叫分层抽样。

二．典例选讲 例1．从103=N 的总体中采用系统抽样，抽取一个容量10=n 的样本，写出你的抽取过程。

例1．某市的三个区共有高中学生20000人，且3个区的高中学生人数之比为2：3：5，现要用分层抽样方法从所有学生中抽取一个容量为200的样本，这三个区分别应抽取多少人？ 【解】分别抽取：40，60，100人。

例2．某工厂生产C B A ,,三种产品，产品数量之比依次是5:3:2
现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件，求此样本的容量n 。

【解】80=n 。

三．巩固提高 1．为了了解1200名学生对学校某项课改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为（ ）
.A 40 .B 30 .C 20 .D 12
2．某年级有10个班，每个班同学按1-50编号，为了了解班上某方面情况，要求每班编号为10号的同学去开一个座谈会，这里应用的抽样方法是（ ）
.A 抽签法 .B 系统抽样 .C 简单随机抽样 .D 随机数表法
3．要从已编号（1-50）的50部新生产的赛车中随机抽取5部进行检验，用每部分选区的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5部赛车的编号可能是（ ） .A 5，10，15，20，25 .B 3，13，23，33，43 .C 5，8，11，14，17 .D 4，8，12，16，20
4．在180个零件中，有一级品36个，二级品54个，三级品90个，从中抽取容量为30的一个样本。

若采取简单随机抽样（抽签法），则每个个体被抽到的概率为6
1；
若采用分层抽样，一、二、三级品个数之比为5:3:2，则分别从一、二、三级品中抽取零件的个数分别为 6、9、15 ，每个个体被抽到的概率为6
1。

5．某村有旱地与水田若干，现在需要估计平均亩产量，用按5%比例分层抽样的方法抽取了15亩旱地和45亩水田进行调查，则这个村的旱地与水田的亩数分别为（ B ） 450,150.A 900,300.B 600,600.C 225,75.D
6．一个工厂有若干个车间，仅采用分层抽样的方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容
量为128的样本进行质量检验。

若某车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为 16 。

7．某市为了了解职工的家庭生产状况，先将职工所在的国民经济行业分成13类，然后每个
行业抽
100
1
的职工家庭进行调查，这种抽样方法是 分层抽样 。

8．在某班元旦晚会上，现场的一个游戏要求从观众中选取5人参与，宜采用（ ） .A 抽签法 .B 系统抽样 .C 分层抽样 .D 随机数表法
9．某校有30个班，其中小学部有6个班，初中部有12班，现要从中抽取5个班进行调查，那么应在小学部抽 班，初中部抽 班。

10．老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学（其中男同学30名，女同学20名）采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，求女同学甲被抽到的概率为（ ）
.
A 50
1 .B 101 .C 51 .D 41
11．一个单位有职工80人，其中业务人员56人，管理人员8人，服务人员16人，为了了
解职工的某些情况，决定采用分层抽样的方法，抽取一个容量为10的样本，每个管理人员被抽到的概率为（ ）
.
A 80
1 .B 241 .C 81 .D 41
12．某单位有职工180人，其中有业务人员130人，管理人员20人，后勤人员30人，为了
了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为18的样本。

若采用分层抽样方法，则业务人员、管理人员、后勤人员的人数分别为多少？ 【解】分别为：3,2,13人。

第二节 总体分布的估计
考纲要求：会用样本频率分布估计总体分布。

第一课时 用样本的频率分布估计总体分布
一．知识归纳
1．获得样本的频率分布的步骤：
（1）求极差：即求样本 最大值 和 最小值 的差；（2）确定 组距 和 组数 ；（3）将数据分组；（4）列 频率分布表 ；（5）画频率分布 直方 图 。

2．频率分布直方图中各小长方形的面积表示 相应各组的频率 。

各小长方形的面积的总和为 1 。

3．概率分布直方图与条形图的区别与联系：两者是不同的概念，其横轴表示的内容相同（数据），但直方图的纵轴（矩形的高）表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组距上的矩形的面积；频率分布条形图的纵轴表示频率。

4．频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点而得到。

5．总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，叫做总体密度曲线。

二．典型例题
例1．为了了解某年级数学学习情况，从全年级数学考卷中随意的抽取40份，成绩如下（单位：分）:
70 92 85 89 86 72 95 63 84 79 87 93 60 79 76 55 67 99 93 66 65 89 83 82 88 59 73 99 84 65 97 81 100 98 60 78 77 74 77 79。

（1）列出频率分布表；（2）并画出频率分布直方图；（3）估计成绩小于93.5分的概率。

【解】第一步 找出最大值与最小值的差，即全距= 100-55=45第二步 确定组距和分组数
目。

本题中有40个数据，可分成6组。

所以组距=5.76
45==分组数
全距，取整数，组距可定为8
分。

第三步
例2．一个容量为50的样本数据，分组后，组距与各组的频数是个，，个；（4]0156],5,0(；
个；，，（3]5110个；7],20,15(个；，5],2520(个，（6],0325；个，，个；（，，（5]40352]5330；个，，（4]5440
个，，（
8]0545，则样本在区间
]3015，（上的频率为（ A ） .A 36% .B 18% .C 42% .D 21%
例3．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：
甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；
以运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39。

使用茎叶图表示两名运动员的得分情况，说明谁发挥得最稳定。

三．巩固提高 1．一个容量为n 的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别为60和0.375，则n = 160 。

2．在已分组的数据中，每组的频数是指 落入该组的数据的个数 ，每组的频率是指 落入该组数据个数与数据总数的比值 。

3．用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法正确的是（ ）
.A 总体容量越大，估计约精确 .B 总体容量越小，估计约精确 .C 样本容量越大，估计约精确 .D 样本容量越小，估计约精确
4．一个容量为32的样本，已知某组样本的频数为8，则该组样本的频率为（ ）
0.1
0.2
.
A 21 .
B 41 .
C 61 .
D 8
1 5．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为125.0，则该组样本的频数为（ ） .A
2 .B 4 .C 6 .D 8 6．关于频率分布直方图中的有关数据，下列说法正确的是（ ）
.A 直方图的高表示某数的频率 .B 直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率 .C 直方图的高表示该组上的个体数与组距的比值
.D 直方图的高表示该组上个体在样本中出现的频率与组距的比值。

7．已知样本：10，8，6，10，8，13，11，10，12，7，8，9，12，9，11，10，9，10，11，12，那么频率为2.0的范围是（ ）
.A 5.7~5.5 .B 5.9~5.7 .C 5.11~5.9 .D 5.13~5.11
8
(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)根据频率分布估计该校毕业生起始
月薪低于2000元的概率。

【解】（1） （2）
（3）起始月薪低于2000元的频率为0.94。

第二课时 用样本的数字特征估计总体的数字特征
一．知识归纳 1．样本平均数：x =
)(1
21n x x x n
+⋅⋅⋅++， 可利用两个样本平均数的大小去近似的比较相应总体平均数的大小。

2．样本方差：])()()[(1
222212
x x x x x x n
s n -++-+-=
标准差：s =
22221)()()[(1
x x x x x x n
n -+⋅⋅⋅+-+-。

方差、标准差是描述一个样本和总体的 波动大小 的特征数。

3．若乙甲x x =且乙甲s s <，则甲比较稳定。

4．若n 个数据),,2,1(n i x i ⋅⋅⋅=，另一组数据b ax y i i +=，则
它们的平均数的关系为：b x a y +=；它们的标准差的关系为：2
22
x y s a s =。

二．典型例题
例1．某化肥厂甲、乙车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一袋称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102 101 99 98 103 98 99
乙：110 115 90 75 115 85 110
估计甲、乙两车间所包装化肥每袋的重量，并说明哪个车间的技术好？
【解】100==乙甲x x ，而乙甲22724
s s <=，则甲车间的技术好。

例2．若样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的平均数为5，标准差为3，求样本数据331+x ，
33,,332+⋅⋅⋅+n x x 的平均数和方差。

【解】平均数为12333=+⨯=x ；方差为27=S 。

例3．已知样本1921,,,a a a ⋅⋅⋅的平均数为a ，标准差为2.0=s ，求样本a a a a ,,,,1921⋅⋅⋅的平均数与方差。

【解】由于)(19
11921a a a a +⋅⋅⋅++=
，所以 a a a a a a =+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=)](191(11911911911且
])()()()[(20
1
2219222121a a a a a a a a S -⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅+-+-=
=
19.020
19
])()()[(191201922192221==-⋅⋅⋅+-+-⋅S a a a a a a 。

故19.0=S 。

三．巩固提高
1．一工厂生产了一批电阻，从中抽检了5只，电阻值分别为1.05,0.98,0.99,0.96,1.01,则
998.0)01.196.099.098.005.1(5
1
=++++表示这批电阻的电阻值的（ A ） .A 平均数的估计值 .B 平均数 .C 中位数 .D 标准差
2．设一组数据的标准差是S ,将这组数据的每个数据都乘以10,所得到的一组新数据的标准差是( D )
S A 1.0. S B . S C 10. S D 100.
3．某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分，标准差是S ，后来发现登录有误，某甲的70分却记为40分，某乙50分误记为80分，更正后重新计算的
标准差为1S ，则S 与1S 之间的大小关系是（ C ）
1.S S A = 1.S S B < 1.S S C > .D 不能确定
4．为了检验某自来水消毒设备的效果,先从消毒后的水中随机抽取50升,化验每升水中大肠杆菌的个数,化验结果如下：
则所取50升水中平均含有大肠杆菌 1 个/升,估计全部消毒过的自来水中平均每升水的大肠杆菌的含量为 1 个。

5．假定下述数据是甲、乙两个供货商的交货天数为：甲10,9,10,10,11,11,9,11,10,10；
乙8,10,14,7,10,11,10,8,15,12。

估计两个供货商的交货情况,并问哪个供货商交货时间短一些,哪个供货商交货时间较具一致性与可靠性。

【解】2
2205.6,5.10;49.0,1.10甲
乙乙甲甲S S x S x >====，所以甲供货天数短，甲供货较稳定。