山西省大同市铁路职工第一中学高三数学文月考试题含解析

山西省大同市铁路职工第一中学高三数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 由9个互不相等的正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且
、、成等比数列，下列三个判断正确的有……………………（）
①第2列必成等比数列
②第1列不一定成等比数列
③
（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个
参考答案：
A
2. 已知定义在R上的函数对任意的都满足，当时，
，若函数至少6个零点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
3. 对于原命题：“已知，若，则”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，
在这4个命题中，真命题的个数为（）
A．0个 B．1个
C．2个 D．4个
参考答案：C
4. 已知，且7，则（）
A． B． C．
D．
参考答案：
A
略
5. 设全集U＝R，，则（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
6. 已知，则的最小值为（）
A．8 B．16 C．20 D．25
参考答案：
7. 设是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若且则∥”为真命题的是 ( )
A. 为直线,为平面
B.为平面
C. 为直线,为平面
D.为直线
参考答案：
C
8. 某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信
息”，由题意P（A）=P（B）=，p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B），能求出甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率．
【解答】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，
由题意P（A）==，P（B）=，
∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：
p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）
==．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意事件概率加法公式的合理运用．
9. 已知函数的反函数
，则的图象（）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于点对称 D．关于点对称
参考答案：
B
10. 命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是（）
A．所有奇数的立方都不是奇数 B．不存在一个奇数，它的立方是偶数
C．存在一个奇数，它的立方是偶数 D．不存在一个奇数，它的立方是奇数C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为______．
参考答案：
略
12. 在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.
参考答案：
-16
略
13. 已知等差数列的前项和为，若，则_____________.
参考答案：
28
略
14. 已知是等差数列的前项和，且，则满足的最大的正整数的值为
.
参考答案：
12
15. 已知向量满足,且,则向量与
的夹角为
.
参考答案：
由题cos,
,所以
12、已知
是等差数列，
，公差
，
为其前项和，若
成等比数列，则
参考答案： ：
17. 在
中，若
，
，
，则
．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） A
、
B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2．根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为
（Ⅰ）在
两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差DY 1，DY 2； （Ⅱ）将
万元投资A 项目，
万元投资B 项目，
表示投资A 项目所
得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求的最小值，并指出x 为何值时，
取到最小值．（注：
）
（Ⅰ）由题设可知和
的分布列分别为
，
，
，
．
（Ⅱ）
，当时，为最小值．
19.
（13分） 如图，已知
为平面上的两个定点，为动点，，且
，
（
是
和
的交点） ⑴建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程； ⑵若点的轨迹上存在两个不同的点，且线段的中垂线与（或的延长线）相
交于一点
，证明：
（
为
的中点）
参考答案：
解析：⑴如图1，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系
由题设
，而
点是以为焦点、长轴长为的椭圆，故点的轨迹方程为（6分）
⑵如图2，设，，且，
即，又在轨迹上，
即
代入整理得：
，（10分）
≤≤，≤≤，≤≤
，
，即。

（13分）20. 某届奥运会上，中国队以26金18银26铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：
（2）若从一班至二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
参考答案：
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）因为在被抽取的50人中，持满意态度的学生共36人，即可得出持满意态度的频率．（2）ξ的所有可能取值为O，1，2，3．利用超几何分布列的概率计算公式与数学期望计算公式即可得出．
【解答】解：（1）因为在被抽取的50人中，持满意态度的学生共36人，
所以持满意态度的频率为，
据此估计高三年级全体学生持满意态度的概率为．
（2）ξ的所有可能取值为O，1，2，3.；；
；．
ξ的分布列为：
．
21. 已知，，分别是的三个内角，，的对边，若向量
∥，
（1）求角的大小；
（2）求函数的值域
参考答案：
略
22. 某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为万元时，销售量万件满足
（其中，为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品万件还
需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件.
（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.
参考答案：
（1）由题意知，利润y=t(5+）)﹣(10+2t）﹣x=3t+10－x 由销售量t万件满足t=5－（其中0≤x≤a，a为正常数）．代入化简可得：y=25－（+x），（0≤x≤a，a为正常数）（2）由（1）知y =28－（+x+3），
当且仅当= x +3，即x =3时，上式取等号．
当a ≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；
当0＜
a ＜3时，y 在0≤x≤a上单调递增，
x = a ，函数有最大值．促销费用投入x = a万元时，厂家的利润最大．综上述，当a≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；
当0＜a＜3时，促销费用投入x = a万元时，厂家的利润最大．……12分。