【数学】浙江省宁波市象山中学2016-2017学年高一(下)期中试卷(解析版)

浙江省宁波市象山中学2016-2017学年高一（下）期中
数学试卷
一.选择题：（每题4分，共48分）
1．（4分）集合M={x|x=k•90°+45°，k∈Z}，N={x|x=k•45°+90°，k∈Z}，则有（）A．M=N B．N⊊M C．M⊊N D．M∩N=∅
2．（4分）sin（﹣）的值等于（）
A．B．﹣C．D．﹣
3．（4分）若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（4分）tan40°+tan80°﹣tan40°tan80°的值是（）
A．B． C．D．
5．（4分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14
6．（4分）若函数f（x）=cos（3x﹣θ）﹣sin（3x﹣θ）为奇函数，则θ等于（）A．kπ（k∈Z）B．C．D．
7．（4分）如果函数y=sin2x+a cos2x的图象关于直线x=﹣对称，那么a等于（）A．B．1 C． D．﹣1
8．（4分）锐角三角形ABC中，a b c分别是三内角A B C的对边设B=2A，则的取值范围是（）
A．（﹣2，2）B．（0，2）C．（，2）D．（，）
9．（4分）下列关于正弦定理的叙述中错误的是（）
A．在△ABC中，a：b：c=sin A：sin B：sin C
B．在△ABC中，若sin2A=sin2B，则A=B
C．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B；若A＞B，则sin A＞sin B
D．在△ABC中，=
10．（4分）已知cos（θ+）•cos（θ﹣）=，θ∈（，π），则sinθ+cosθ的值为（）
A．B．C．D．
11．（4分）已知向量，，则向量夹角为（）
A． B．C．D．θ
12．（4分）在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B等于（）
A．B=45°或135°B．B=135°
C．B=45°D．以上答案都不对
二.填空题（每题4分，共16分）
13．（4分）已知A，B均为钝角，且sin A=，求A+B的值为．14．（4分）sin10°sin30°sin50°sin70°=．
15．（4分）若=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的投影为．
16．（4分）如图茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为．
三.简答题：
17．（8分）已知，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=．求sin2α的值．
18．（8分）如图所示，在地面上有一旗杆OP，为测得它的高度h，在地面上取一线段AB，AB=20m，在A处测得P点的仰角∠OAP=30°，在B点测得P点的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=30°，求旗杆的高度．
19．（10分）已知向量=（1，﹣），=（sin x，cos x），f（x）=•，若f（θ）=0，
求的值．
20．（10分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，其中M（，2），N（，0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=，c=3，f（）=，求△ABC的面积．
21．（8分）求证：﹣2cos（α+β）=．
22．（12分）已知△ABC中，BC=1，A=120°，∠B=θ，记f（θ）=，
①求f（θ）关于θ的表达式．
②求f（θ）的值域．
【参考答案】
一.选择题：（每题4分，共48分）
1．C
【解析】对于集合N，k=2n，或k=2n+1，n∈Z；
k=2n+1时，x=n•90°+45°+90°=（n+1）•90°+45°，n+1∈Z；
又M的元素x=k•90°+45°，k∈Z；
∴M的元素都是N的元素；
而k=2n时，x=k•90°+90°；
∴N中存在元素x∉M；
∴M⊊N．
2．C
【解析】sin（﹣）=sin（﹣4π+）=sin =sin=，
3．D
【解析】由sin2θ=2sinθcosθ，因为cosθ＞0，所以sinθ＜0，可以判定角θ的终边所在象限第四象限．
4．B
【解析】由两角和差的正切公式得tan40°+tan80°﹣tan40°tan80°=tan（40°+80°）（1﹣tan40°tan80°）﹣tan40°tan80°
=tan120°（1﹣tan40°tan80°）﹣tan40°tan80°
=﹣+tan40°tan80°﹣tan40°tan80°
=﹣，
5．B
【解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．
所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取
=12人．
6．D
【解析】∵函数f（x）=cos（3x﹣θ）﹣sin（3x﹣θ）=﹣2sin（3x﹣﹣θ）
若函数f（x）=cos（3x﹣θ）﹣sin（3x﹣θ）为奇函数，
则sin（﹣﹣θ）=0，
即+θ=kπ，k∈Z．
∴θ=
7．D
【解析】由题意知
y=sin2x+a cos2x=sin（2x+φ）
当时函数y=sin2x+a cos2x取到最值±
将代入可得：sin[2×（）]+a cos[2×（）]=
解得a=﹣1
8．D
【解析】根据正弦定理得：=；
则由B=2A，
得：====2cos A，
而三角形为锐角三角形，所以A∈（，）
所以cos A∈（，）即得2cos A∈（，）．
9．B
【解析】A.在△ABC中，由正弦定理可得a=2R sin A，b=2R sin gB，c=2R sin C，
故有a：b：c=sin A：sin B：sin C，故A成立；
B.若sin2A=sin2B，等价于2A=2B，或2A+2B=π，
可得：A=B，或A+B=，故B不成立；
C.∵若sin A＞sin B，则sin A﹣sin B=2cos sin＞0，
∵0＜A+B＜π，∴0＜＜，∴cos＞0，∴sin＞0，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴﹣＜＜，又sin＞0，∴＞0，∴A＞B．若A＞B成立则有a＞b，
∵a=2R sin A，b=2R sin B，
∴sin A＞sin B成立；
故C正确；
D.由，再根据比例式的性质可得D成立．
10．C
【解析】∵已知，
∴（cos﹣sinθ）•（cos+sinθ）=cos2θ=，
∴cos2θ=，∴sin2θ=﹣=﹣，
∴sinθ+cosθ=﹣=﹣=﹣，
11．A
【解析】cos＜，＞==﹣sinθ=cos（+θ）=cos（﹣﹣θ）
=cos（2π﹣﹣θ）=cos（）
∵θ∈（，π），∴∈（，π），
∴向量夹角为，
12．C
【解析】∵A=60°，a=4，b=4，
∴由正弦定理=得：sin B===，
∵b＜a，∴B＜A，
则B=45°．
二.填空题（每题4分，共16分）
13．
【解析】∵A.B均为钝角且sin A=，
∴cos A=﹣=﹣，
cos B=﹣=﹣，
∴cos（A+B）=cos A cos B﹣sin A sin B=（﹣）×（﹣）﹣×=，
∵＜A＜π，＜B＜π，
∴π＜A+B＜2π
∴A+B=．
故答案为：．
14．
【解析】sin10°sin30°sin50°sin70°
=sin30°cos20°cos40°cos80°
=
=
=．
故答案为：．
15．
【解析】∵=（2，3），=（﹣4，7），
∴在方向上的投影||cosθ====故答案为：
16． 5.8
【解析】根据茎叶图知，
甲的中位数是
10+x=15，
解得x=5；
乙的平均数为
=16.8，
解得y=8；
∴x，y的值分别为5.8．
故答案为：5.8．
三.简答题：
17．解：由题设知α﹣β为第一象限的角，
∴sin（α﹣β）==．
由题设知α+β为第三象限的角，
∴cos（α+β）==，
∴sin2α=sin[（α﹣β）+（α+β）]，
=sin（α﹣β）cos（α+β）+cos（α﹣β）sin（α+β）
=．
18．解：在Rt△OAP中，由tan∠OAP==，得OA==，在Rt△OBP中，由tan∠OBP==1，得OB=OP=h，
在△AOB中，由余弦定理得cos∠AOB==，
即=，解得h=20．
即旗杆的高度为20m．
19．解：向量=（1，﹣），=（sin x，cos x），
f（x）=•=sin x﹣cos x，
∴f（θ）=sinθ﹣cosθ=0，
∴=tanθ=；
∴=
=
=
=
=
=﹣2．
20．解：（Ⅰ）由图象可知：函数f（x）的周期T=4×（﹣）=π，∴ω==2．
又f（x）过点（，2），
∴f（）=2sin（+φ）=2，sin（+φ）=1，
∵|φ|＜，+φ∈（﹣，），
∴+φ=，即φ=．
∴f（x）=2sin（2x+）．
（Ⅱ）∵f（）=2sin（A+）=，即sin（A+）=，
又A∈（0，π），A+∈（，），
∴A+=，即A=．
在△ABC中，A=，a=，c=3，
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bc cos A，
∴13=b2+9﹣3b，即b2﹣3b﹣4=0，
解得b=4或b=﹣1（舍去）．
∴S△ABC=bc sin A==3．
21．证明：∵sin（2α+β）﹣2cos（α+β）sinα
=sin[（α+β）+α]﹣2cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα﹣2cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin[（α+β）﹣α]=sinβ．
两边同除以sinα得﹣2cos（α+β）=．
∴原式得证
22．解：①如图所示，
△ABC中，BC=1，A=120°，∠B=θ，
由正弦定理得，===
∴AC=
∴f（θ）=
=1××cos（180°﹣120°﹣θ）
=×（cos60°cosθ+sin60°sinθ）
=sinθcosθ+sin2θ
=sin2θ﹣cos2θ+
=（sin2θ﹣cos2θ）+
=sin（2θ﹣60°）+，其中θ∈（0°，60°）；
②由①知，θ∈（0°，60°），
∴2θ∈（0°，120°），
∴2θ﹣60°∈（﹣60°，60°），
∴sin（2θ﹣60°）∈（﹣，）
∴sin（2θ﹣60°）+∈（0，1）；
即f（θ）的值域是（0，1）．。