2016高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题五 解析几何 第16讲 圆锥曲线的概念与性质课件 文

解：(1)由题意知直线 PA 的斜率存在，故可设直线 PA 的方
y＝kx－t，
程为 y＝k(x－t)．由y＝14x2
消去 y，整理得 x2－4kx＋4kt
＝0，由于直线 PA 与抛物线相切，得 k＝t.因此，点 A 的坐标为 (2t，t2)．
设圆 C2 的圆心为 D(0,1)，点 B 的坐标为(x0，y0)．由题意知，
若圆 C1，C2 都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.12，1
B.0，12
C. 22，1
D.0，
2 2
答案：B
解析：圆 C1，C2 都在椭圆内等价于圆 C2 与 x 轴的右交点 2c≤a，
(2c,0)，最高点(c，c)在椭圆内部，∴只需ac22＋bc22≤1， 可得
e≤12， e4－3e2＋1≥0，
∵ 点 A，B 在抛物线上，过 A，B 分别作 AK，BH 与准线垂 直，垂足分别为点 K，H，且与 y 轴分别交于点 N，M.由抛物线 定义，得
|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1. 在△CAN 中，BM∥AN， ∴ ||BACC||＝||BAMN||＝||ABFF||－－11.
标准 方程
ax22＋by22＝1 (a>b>0)
ax22－by22＝1 (a>0，b>0)
y2＝2px (p>0)
名称
椭圆
双曲线
图象
几 离心 何率 性 质 渐近
线
e＝ac ＝ 1－ba22
(0<e<1)
e＝ac ＝ 1＋ba22
(e>1)
y＝±bax
抛物线 e＝1
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长 设而不求，根据韦达定理，进行整体代入，即当直线与圆锥
点 B，O 关于直线 PD 对称，故y20＝－x20t＋1， x0t－y0＝0，
解得xy00＝＝11＋ 2＋2tt2tt22， ，
因此，点 B 的坐标为（1＋2tt2，12＋t2t2）
(2)由(1)知|AP|＝t· 1＋t2，
直线 PA 的方程为 tx－y－t2＝0.
点 B 到直线 PA 的距离是 d＝
∴ a2＞b2，∴ 0＜ba22＜1. ∴ 0＜ab＜1 或－1＜ba＜0. (2)答案：A
解析：
由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点 F，且 A，B， C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于||BACC||.由抛物 线方程知焦点 F(1,0)，作准线 l，则 l 的方程为 x＝－1.
答案：D
解析：由双曲线的渐近线 y＝bax 过点(2, 3)，可得 3＝ba×2. ①
由双曲线的焦点(－ a2＋b2，0)在抛物线 y2＝4 7x 的准线 x ＝－ 7上，可得 a2＋b2＝ 7.②
由①②解得 a＝2，b＝ 3， 所以双曲线的方程为x42－y32＝1.
考向二 圆锥曲线的性质 [典例 2] (1)(2015·重庆卷)设双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0) 的右焦点为 F，右顶点为 A，过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B， C 两点，过 B，C 分别作 AC，AB 的垂线，两垂线交于点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于 a＋ a2＋b2，则该双曲线的渐近线斜率的 取值范围是( )
规律方法 1．对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部 分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，双曲线的定义中 要求||PF1|－|PF2||<|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的 距离相等的转化． 2．注意数形结合，画出合理草图．
[变式训练]
1．(2015·河北唐山一模)已知圆 C1：x2＋2cx＋y2＝0，圆 C2： x2－2cx＋y2＝0，椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)，c>0，且 c2＝a2－b2.
C.[ 23，1 ) 答案：A
D. [43，1)
解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义，可得 A，B 两点到 椭圆左、右焦点的距离为 4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以 a＝2.又 d ＝|3×320＋－－4×4b2|≥54，所以 1≤b<2，所以 e＝ac＝ 1－ba22＝ 1－b42. 因为 1≤b<2，所以 0<e≤ 23，故选 A.
答案：2＋ 3
解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率为ab， 又直线 l 过右焦点 F(c,0)，则直线 l 的方程为 y＝ba(x－c)．因为点 P 的横坐标为 2a，代入双曲线方程得4aa22－by22＝1，化简得 y＝－ 3 b 或 y＝ 3b(点 P 在 x 轴下方，故舍去)，故点 P 坐标为(2a，－ 3 b)，代入直线方程得－ 3b＝ab(2a－c)，化简可得离心率 e＝ac＝2 ＋ 3.
所以由不等式的性质依次可得ba＋＋mm2>ba2,1＋ba＋＋mm2>1＋
ba2，
所以
1＋ba＋ ＋mm2>
1＋ba2，即 e2>e1；
同理，当 a<b 时，maaa＋－mb<0，可推得 e2<e1. 综上，当 a>b 时，e1<e2；当 a<b 时，e1>e2.
4．(2015·山东卷)过双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦 点作一条与其渐近线平行的直线，交 C 于点 P.若点 P 的横坐标 为 2a，则 C 的离心率为________．
一个焦点重合，且在抛物线上有一动点 P 到 x 轴的距离为 m，P
到直线 l：2x－y－4＝0 的距离为 n，则 m＋n 的最小值为________．
[审题突破] (1)由椭圆定义，求出|PF1|，再由余弦定理求出 ∠F1PF2；
(2)抓住抛物线的定义．
(1)答案：C 解析：由题意得 a＝3，c＝ 7，所以|PF1|在△F2PF1 中， 由余弦定理可得 cos ∠F1PF2＝42＋22×2－4×22 72＝－12. 又因为 cos∠F1PF2∈(0°，180°)， 所以∠F1PF2＝120°.
热点考向突破
考向一 圆锥曲线的定义、方程
[典例 1] (1)(2015·长春一模)若椭圆 C：x92＋y22＝1 的焦点为
F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，且|PF2|＝4，则∠F1PF2 等于( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
(2)已知抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点与双曲线 x2－y2＝－21的
结合 e∈(0,1)，可得 0<e≤12.
2．(2015·天津卷)已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的一条渐 近线过点(2， 3)，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2＝4 7x 的准 线上，则双曲线的方程为( )
A.2x12 －2y82 ＝1 B.2x82 －2y12 ＝1 C.x32－y42＝1 D.x42－y32＝1
⊳第一部分 专题突破篇
专题五 解析几何
第16讲 圆锥曲线的概念与性质
高考真题体验
[主干整合]
1．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF|＝|PM|点 F |PE1|＋|PF2| ||PF1|－|PF2||＝ 不在直线 l 上， ＝2a(2a>|F1F2|) 2a(2a<|F1F2|) PM⊥l 于 M
(2)答案： 5－1 解析：易知 x2＝2py(p>0)的焦点为 F(0,1)，故 p＝2， 因此抛物线方程为 x2＝4y. 根据抛物线的定义可知 m＝|PF|－1， 设|PH|＝n(H 为点 P 到直线 l 所作垂线的垂足)， 因此 m＋n＝|PF|－1＋|PH|. 易知当 F，P，H 三点共线时 m＋n 最小． 因此其最小值|FH|－1＝|－1－5 4|－1＝ 5－1.
答案：B
解析：由题意 e1＝
a2＋a2 b2＝
1＋ba2， 双曲线 C2 的
实半轴长为 a＋m，虚半轴长为 b＋m,
离心率 e2＝
a＋ma2＋＋mb2＋m2＝
1＋ba＋＋mm2.
因为ba＋＋mm－ab＝amaa＋－mb，且 a>0，b>0，m>0，a≠b， 所以当 a>b 时，maaa＋－mb>0，即ba＋＋mm>ab. 又ba＋＋mm>0，ba>0，
∴ kCD＝aab－2 c. b2
∵ kAC＝a－a c＝aab－2 c，∴ kBD＝－aab－2 c.
∴ lBD：y－ba2＝－aab－2 c(x－c)，
即 y＝－aab－2 cx＋aa－b2c·c＋ba2，
lCD：y＋ba2＝aab－2 c(x－c)， 即 y＝aab－2 cx－acab－2 c－ba2. ∴ xD＝c＋a2ab－4 c. ∴ 点 D 到 BC 的距离为a2ab－4 c. ∴ a2cb－4 a＜a＋ a2＋b2＝a＋c， ∴ b4＜a2(c2－a2)＝a2b2，
2.(2015·福建卷)已知椭圆 E：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的右焦点为
F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x－4y＝0 交椭圆 E 于 A，B
两点．若|AF|＋|BF|＝4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆 E
的离心率的取值范围是( )
A．(0，
3 2
B．(0，34 ]
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－ 2，0)∪(0， 2) D．(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞)
(2)(2015·浙江卷)如图，设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，不经过 焦点的直线上有三个不同的点 A，B，C，其中点 A，B 在抛物线 上，点 C 在 y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )
[真题再现]
1．(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率
为12，E 的右焦点与抛物线 C：y2＝8x 的焦点重合，A，B 是 C 的
准线与 E 的两个交点，则|AB|＝( )
A．3
B．6
C．9
D．12
答案：B
解析：抛物线 y2＝8x 的焦点为(2,0)，∴ 椭圆中 c＝2， 又ac＝12，∴ a＝4，b2＝a2－c2＝12， 从而椭圆方程为1x62 ＋1y22 ＝1. ∵ 抛物线 y2＝8x 的准线为 x＝－2， ∴ xA＝xB＝－2， 将 xA＝－2 代入椭圆方程可得|yA|＝3， 由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.故选 B.
3．(2015·湖北卷)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和 虚半轴长 b(a≠b)同时增加 m(m>0)个单位长度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2，则( )
A．对任意的 a，b，e1<e2 B．当 a>b 时，e1<e2；当 a<b 时，e1>e2 C．对任意的 a，b，e1>e2 D．当 a>b 时，e1>e2；当 a<b 时，e1<e2
t2 1＋t2.
设△PAB 的面积为 S(t)，则 S(t)＝21|AP|·d＝t23.
[感悟高考] 高考对本节内容的考查以圆锥曲线的定义、方程、几何性质 为主，同时也会以直线与椭圆相交为背景，着重考查综合运用， 以解答题的形式出现. 2016 年高考仍要重视数形结合思想、方程思想、函数思想和 化归思想在解题中的指导作用，对运算能力的培养也应予以足够 知抛物线 C1：y＝14x2，圆 C2：x2 ＋(y－1)2＝1，过点 P(t,0)(t>0)作不过原点 O 的直线 PA，PB 分别 与抛物线 C1 和圆 C2 相切，A，B 为切点．
(1)求点 A，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积． 注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称 轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．
曲线交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)时， |AB|＝ 1＋k2·|x1－x2|＝ 1＋k12 |y1－y2|，而|x1－x2|＝ x1＋x22－4x1x2 .
3．抛物线的过焦点的弦长 B(x2，抛y物2)，线则y2＝x21pxx2(＝p>p402，)的y过1y2焦＝点－pF2p2，，弦0的长弦|AABB|，＝若x1＋A(xx21＋，yp1)，. 同样可得抛物线 y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py 类似的性质．
|BF|－1 |BF|2－1 A.|AF|－1 B.|AF|2－1
|BF|＋1 |BF|2＋1 C.|AF|＋1 D.|AF|2＋1
(1)答案：A 解析：由ax22－by22＝1 可知 A(a,0)，F(c,0)．
易得 Bc，ba2，Cc，－ba2.
b2 ∵ kAB＝c－a a＝acb－2 a，