高考数学 简单几何体模块跟踪训练11

2014高考数学模块跟踪训练简单几何体
一、选择题(8×5＝40分)
1．(2009·山东，5)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的
( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由面面垂直的判定定理可知必要性成立，而当两平面α、β垂直时，α内的直线m只有在垂直于两平面的交线时才垂直于另一个平面β，∴充分性不成立，故选B.
2．(2009·北京宣武一模)若a，b是空间两条不同的直线，α，β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分不必要条件是
( )
[ A．a∥β，α⊥βB．a⊂β，α⊥β
C．a⊥b，b∥αD．a⊥β，α∥β
答案：D
解析：选项A中，若a∥β，α⊥β，直线a与平面α可能平行，如图①，所以A不正确；选项B中，若a⊂β，α⊥β，直线a与α可能平行，可能相交，可能为包含关系，如图②，所以B不正确；选项C中，a⊥b，b∥α，直线a与α可能平行，如图③，所以C不正确，故选D.
3．(2009·北京海淀一模)已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中真命题的是
( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若l∥α，α∥β，则l∥β
答案：C
解析：选项A中，如图①，α与β可能相交，所以A不正确；选项B中，如图②，l与β可能平行，所以B不正确；选项D中，如图③，可能有l⊂β，所以D不正确，故选C.
4．(2009·东北三省十校一模)三棱锥P－ABC中∠ABC＝90°，PA＝PB＝PC，则下列说法正确的是( ) A．平面PAC⊥平面ABC B．平面PAB⊥平面PBC
C．PB⊥平面ABC D．BC⊥平面PAB
答案：A
解析：如图，因为∠ABC＝90°，PA＝PB＝PC，所以点P在底面的射影落在△ABC的斜边的中点O处，连结OB、OP，则PO⊥OB.又∵PA＝PC，所以PO⊥AC，且AC∩OB＝O，所以PO⊥平面ABC.
又∵PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC，故选A.
5．给出下列四个命题：
①直线垂直于一个平面内的无数条直线是这条直线与这个平面垂直的充要条件；
②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；
③不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行是这条直线和这个平面平行的充分条件；
④一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等或互补．
其中真命题为 ( )
A．①③ B．②④ C．②③ D．③④
答案：C
解析：①是必要条件，④相等或互补或不确定，如图．
面ABCD⊥面BEFC，面ECDG⊥面BEFC.
此时二面角A－BC－F与二面角G－EC－B的大小关系不确定，
故选C.
6．已知二面角α—l—β的大小为30°，m、n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则m、n所成的角为
( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案：A
解析：∵m⊥α，n⊥β，∴m，n所成的夹角与二面角α—l—β所成的角相等或互补．∵二面角α—l—β为30°，故异面直线m，n所成的夹角为30°，故选A.
7．(2010·湖北八校联考)在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是
( )
答案：A
解析：∵CD在平面BCD内，AB是平面BCD的斜线，由三垂线定理可得A.
8．(2009·四川，5)如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( ) A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
答案：D
解析：∵PB在底面的射影为AB，AB与AD不垂直，∴PB与AD不垂
直，排除A.又BD⊥AB，BD⊥PA，∴BD⊥面PAB.但BD不在面PBC内，排
除B.∵BD∥AE，∴BD∥面PAE，∴BC与面PAE不平行，排除C.又∵PD
与面ABC所成的角为∠PDA，∵AD＝2AB＝PA，∴∠PDA＝45°，故答案
选D.
二、填空题(4×5＝20分)
9．如右图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，那么以P、A、B、C、
D五个点中的三点为顶点的直角三角形的个数是________．
答案：9个
解析：C35－1＝10－1＝9，(包括△PBD，为什么说△PBD不为Rt△)
易判断∠PDB≠90°.
∠PBD≠90°，只须判断∠BPD≠90°.
假设∠BPD＝90°，设PA＝a，AD＝b，AB＝c.
∴PB2＝a2＋c2，PD2＝a2＋b2
∵∠BPD＝90°，∴BD2＝b2＋c2＋2a2
而由Rt△ABD得：BD2＝b2＋c2.
这显然不成立．∴∠BPD≠90°.
综合而得：△PBD不是Rt△，共有9个．
10．在三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，又PA＝PB＝PC＝AC，则点P到平面ABC的距离是________．
答案：5 3
解析：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，
∴AC＝10.
又PA＝PB＝PC＝AC＝10，
∴P在平面ABC内的射影是△ABC的外心，
即斜边AC中点，设为O，显然PO＝5 3.
11．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：
①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；
②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.
其中真命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)
答案：①④
解析：本题考查四面体的性质，取BC的中点E，则BC⊥AE，BC⊥DE，∴BC⊥面ADE，∴BC⊥AD，故①正确．设O为A在面BCD上的射影，依题意OB⊥CD，OC⊥BD，∴O为垂心，∴OD⊥BC，∴BC⊥AD，故④正确，②③易排除，故答案为①④.
12．(2009·江苏，12)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题
．．．的序号是________(写出所有真命题的序号)．
答案：(1)(2)
解析：由面面平行的判定定理可知，(1)正确．
]
由线面平行的判定定理可知，(2)正确．
对于(3)来说，α内直线只垂直于α和β的交线l，得不到其是β的垂线，故也得不出α⊥β.
对于(4)来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α.
也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不一定垂直于α.
三、解答题(4×10＝40分)
13．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA ＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.[
而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∵AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，综上可得PD⊥平面ABE.
14．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝a，BC＝2a，M是AD中点，N是B1C1中点．
[
(1)求证：A1、M、C、N四点共面；
(2)求证：BD1⊥MC；
(3)求证：平面A1MCN⊥平面A1BD1；
(4)求A1B与平面A1MCN所成的角．
解析：(1)取A1D1中点E，连结ME、C1E，∴A1N綊EC1，MC綊EC1.
∴A1N綊MC.
∴A1，M，C，N四点共面．
(2)连结BD，则BD是BD1在平面ABCD内的射影．
∵MD
CD
＝
CD
BC
＝
1
2
＝
2
2
，
∴Rt△CDM∽Rt△BCD，
∠DCM＝∠CBD.
∴∠CBD＋∠BCM＝90°.
∴MC⊥BD.∴BD1⊥MC.
(3) 连结A1C，由A1BCD1是正方形，知BD1⊥A1C.
∵BD1⊥MC，∴BD1⊥平面A1MCN.
∴平面A1MCN⊥平面A1BD1.
(4)∠BA1C是A1B与平面A1MCN所成的角且等于45°.
15．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为棱CC1上的
动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)当点E恰为棱CC1上的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD；
(3)在棱CC1上是否存在一个点E，使二面角A1－BD－E的大小为
45°？如果存在，试确定点E在棱CC1上的位置；如果不存在，请说
明理由．
解析：(1)证明：连结AC，则BD⊥AC
又∵EC⊥平面ABCD，[
AA1⊥平面ABCD，
∴AC是A1E在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理知：A1E⊥BD.
(2)证明：设AC∩BD＝O，连结A1O、EO.
∵A1D＝A1B，∴A1O⊥BD，同理可证EO⊥BD，
∴∠A1OE是二面角A1－BD－E的平面角．
设正方体的棱长为2a，由平面几何知识，得
A1O＝6a，EO＝3a，A1E＝3a，
∴A1E2＝A1O2＋EO2，
∴∠A1OE＝90°，
即：平面A1BD⊥平面EBD.
(3)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，假设棱CC1上存在点E，
使二面角A1－BD－E的大小为45°，
由(2)知∠A1OE＝45°.
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2a，EC＝x，
由平面几何知识，得：EO＝2a2＋x2，A1O＝6a，
A1E＝8a2＋(2a－x)2，
∴在△A1OE中，由余弦定理得：
A1E2＝A1O2＋EO2－2A1O·EO·cos∠A1OE
即：x2－8ax－2a2＝0(0≤x≤2a)，解得：x＝(4±32)a.
∵(4＋32)a>2a，(4－32)a<0，
∴棱CC1上不存在满足条件的点E.
16．(2009·浙江)如图所示，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.
(1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；
(2)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．
命题意图：本题主要考查空间线线、线面、面面的位置关系，空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力．
解答：解法一：(1)证明：如图，连结OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)．
由题意，得G (0,4,0)．
因为O B →＝(8,0,0)，O E →
＝(0，－4,3)， 所以平面BOE 的法向量n ＝(0,3,4)， 由F G →＝(－4,4，－3)，得n ·F G →
＝0. 又直线FG 不在平面BOE 内， 所以FG ∥平面BOE .
(2)设点M 的坐标为(x 0，y 0,0)， 则F M →
＝(x 0－4，y 0，－3)． 因为FM ⊥平面BOE ，所以F M →
∥n ，
因此x 0＝4，y 0＝－9
4
，
即点M 的坐标是(4，－9
4
，0)．
在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 的内部区域可表示为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0，y <0，
x －y <8.
经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，所以在△AOB 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE .
由点M 的坐标，得点M 到OA ，OB 的距离分别为4，9
4
.
解法二：(1)证明：如图，取PE 的中点为H ，连结HG 、HF . 因为点E ，O ，G ，H 分别是PA ，AC ，OC ，PE 的中点， 所以HG ∥OE ，HF ∥EB . 因此平面FGH ∥平面BOE . 因为FG 在平面FGH 内， 所以FG ∥平面BOE .
(2)在平面OAP 内，过点P 作PN ⊥OE ，交OA 于点N ，交OE 于点Q .连结BN ，过点F 作FM ∥PN ，交BN 于点M .
由题意，得 OB ⊥平面PAC ， 所以OB ⊥PN ， 又因为PN ⊥OE ， 所以PN ⊥平面BOE . 因此FM ⊥平面BOE . 在Rt△OAP 中，
OE ＝12
PA ＝5，PQ ＝245
，
cos∠NPO ＝PQ OP ＝4
5
，
ON ＝OP ·tan∠NPO ＝9
2
<OA ，
所以点N 在线段OA 上．
因为F 是PB 的中点，所以M 是BN 的中点．
因此点M 在△AOB 内，点M 到OA ，OB 的距离分别为 12OB ＝4，12ON ＝94.。