2023-2024学年泉州市永春一中高二数学(下)期中考试卷附答案解析

2023-2024学年泉州市永春一中高二数学（下）期中考试卷
考试时间120分钟，试卷总分150分
一、单选题：
1．若函数()y f x =的导函数()()y x f x ϕ=='图象如图所示，则（
）
A ．()0x ϕ'<的解集为(),3∞--
B ．函数()y f x =有两个极值点
C ．函数()y f x =的单调递减区间为()
2,1-D ．3-是函数()y f x =的极小值点
2．为研究某地区疫情结束后一段时间内的复工率，用模型（1）和模型（2）模拟复工率y （%）与复工时间x （x 的取值为5，10，15，20，25，30天）的回归关系：模型（1）1)(ˆy
a bx =+，模型（2）)(2c dx y e +=，设两模型的决定系数依次为21R 和2
2R .若两模型的残差图分别如下，则（
）
A ．21R <2
2R B ．21R =2
2
R C ．2
1R >2
2
R D ．2
1R 、2
2R 关系不能确定
3．已知离散型随机变量X 的分布列如下表：若离散型随机变量21Y X =+，则(5)P Y ≥=（）
X 0123P a
1
3
5a
16
A ．
712
B ．
512
C ．
56
D ．
34
4．掷一枚骰子，记事件A 表示事件“出现奇数点”，事件B 表示事件“出现4点或5点”，事件C 表示事件“点数不超过3”，事件D 表示事件“点数大于4”，有下列四个结论：①事件A 与B 是独立事件；②事
件B 与C 是互斥事件；③事件C 与D 是对立事件；④D A B ⊆⋂.其中正确的结论是（）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
5．由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行.现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（）
A ．60种
B ．90种
C ．150种
D ．180种
6．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X ，则下列结论正确的是（）
A ．()4213E X -=
B ．()15
D X =
C ．()1
E X =D ．()8215
D X -=
7．已知()()()()9
2
9
01291212121x a a x a x a x +=+++++++ ，随机变量()~32,B p ξ，其中1p a =，则
()E ξ=（）
A ．
9
16
B ．
932
C ．
9512
D ．
9256
8．设集合{}1,0,1A =-，(){}12345,,,,,1,2,3,4,5i B x x x x x x A i =∈=，那么集合B 中满足
1234513x x x x x ≤++++≤的元素的个数为（）
A ．60
B ．100
C ．120
D ．130
二、多选题：
9．某种产品的价格x （单位：元/kg ）与需求量y （单位：kg ）之间的对应数据如下表所示：
x
1015202530y
11
10
8
6
5
数据表中的数据可得回归直线方程为ˆˆ14.4y
bx =+，则以下结论正确的是（）
A ．变量y 与x 呈负相关
B ．回归直线经过点(20,8)
C ．ˆ0.32b
=-D ．该产品价格为35元/kg 时，日需求量大约为3.4kg
10．下列对各事件发生的概率判断正确的是（）
A ．某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1
3，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
427
B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为111
,,534
，假设他们破译密码是彼此独立的，
则此密码被破译的概率为
35
C ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为1
,9
A 发生
B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则
事件A 发生的概率是
29
D ．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是13
11．对于函数()ln x
f x x
=
，下列说法正确的是（）
A ．()f x 在e x =处取得极大值1e
B ．()f x 有两个不同的零点
C ．()()()43f f f π<<
D ．π4
4π<三、填空题：
12．某市2022年高二数学联考学生成绩()
2
90,X N σ ，且()3
801005
P X ≤≤=
.现从参考的学生中随机抽查3名学生，则恰有1名学生的成绩超过100分的概率为.
13．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为
14．已知直线y ax b =+与曲线ln y x x =-相切，则a b +的最小值是．
四、解答题：
15．近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能．某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP ，得到如下数据：
青年人
中年人老年人
对短视频剪接成长视频的APP 有需求24a b
+200a
对短视频剪接成长视频的APP 无需求
a b
+150
4b
其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400．(1)求,a b 的值；
(2)根据小概率值0.001α=的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP 的需求，青年人与中老年人是否有差异？
参考公式：()()()()
2
2
()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．
临界值表：
α
0.10.050.010.0050.001x α
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥平面,ABCD E 是棱PC 的中点.
(1)证明：PA ∥平面BDE ；
(2)若1,PD AD BD AB ====且F 为棱
PB 上一点，DF 与平面BDE 所成角的大小为30 ，求:PF FB 的值.
17．据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值.现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览冰雪大世界，另外25%的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品.假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立
的，用频率估计概率.
(1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X ，求X 的分布列及数学期望；
(2)记n 个游客得到文旅纪念品的总个数恰为1n +个的概率为n a ，求{}n a 的前n 项和n S ；
(3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n 个的概率为n b ，当n b 取最大值时，求n 的值.
18．设12,F F 分别为椭圆22
22:1(0)x y
C a b a b +=>>的左､右焦点，P 是椭圆C 短轴的一个顶点，已知12
PF F △
121
3
F PF ∠=.如图，,,M N
G 是椭圆上不重合的三个点，原点O 是MNG 的重心.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求点M 到直线NG 的距离的最大值；(3)判断MNG 的面积是否为定值，并说明理由.
19．已知函数2()()e x f x x a =-．(1)讨论()f x 的单调性；
(2)设1x ，2x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，记()()11,A x f x ，()()22,B x f x ．（ⅰ）证明：直线AB 与曲线()y f x =交于另一点C ；
（ⅱ）在（i ）的条件下，判断是否存在常数()
*
(,1)n n n λ∈+∈N ，使得||||AB BC λ=．若存在，求n ；
若不存在，说明理由．
附：ln 20.693= ，ln 5 1.609= ．
1．D
【分析】根据导数与函数单调性和极值点的关系，即可判断选项.
【详解】A.()0x ϕ'<的解集为函数()y f x '=的单调递减区间，为()2,1--，故A 错误；B.函数()y f x '=只有1个变号零点3-，所以函数()y f x =有1个极值点，故B 错误；C.当(),3x ∈-∞-时，()0f x '<，所以函数()y f x =的单调递减区间为(),3-∞-，故C 错误；
D.当(),3x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()3,x ∈-+∞时，()0f x '≥，()f x 单调递增，所以3-是函数()y f x =的极小值点，故D 正确.故选：D 2．A
【分析】根据残差点图分析拟合效果，从而得到答案.
【详解】根据残差点图，模型（2）残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，带状区域宽度窄，拟合精度较高，所以2
1R <2
2R ，故选：A.3．A
【分析】由分布列中各概率之和为1求得参数a ，进一步将所求变形为()()(5)23P Y P X P X ≥==+=即可求解.
【详解】由题意115136
a a +++=，解得1
12a =，
而()()()()517
(5)21522312612
P Y P X P X P X P X ≥=+≥=≥==+==+=.故选：A.4．A
【分析】利用独立事件、互斥事件、对立事件的定义直接求解．
【详解】掷一枚骰子，记事件A 表示事件“出现奇数点”，事件B 表示事件“出现4点或5点”，事件C 表示事件“点数不超过3”，事件D 表示事件“点数大于4”，对于①，()3162P A =
=，()21
63P B ==，1()6
P AB =，()()()P AB P A P B =⋅ ，∴事件A 与B 是独立事件，故①正确；
对于②，事件B 与事件C 不能同时发生，∴事件B 与事件C 是互斥事件，故②正确；
对于③，事件C 与事件D 不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故③错误；对于④，D A B ⊇ ，故④错误．故选：A.5．B
【分析】由排列组合及简单计数问题求解即可.
【详解】要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有
223
53322
C C A 90A =种.故选：B.6．D
【分析】根据题意可知，X 可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可．
【详解】根据题意可知，X 可能取1，2，3，且服从超几何分布，
故2112
24243366C C C C 131),(2),C 5C 5(P X P X ======34
3
6C 1(3),C 5
P X ===所以131
()1232,
555
E X =⨯+⨯+⨯=2221312
()(12)(22)(32)5555
D X =-⨯+-⨯+-⨯=，
()()21212213E X E X -=⨯-=-=，
()8
214(),
5
D X D X -==故选：D ．7．A
【分析】令21x t +=，则原式可化为9
290129122t a a t a t a t ⎛⎫
+=++++ ⎪⎝⎭
，求出其通项公式，从而可求出1a ，
则可得p ，然后利用二项分布的期望公式可求得结果.【详解】令21x t +=，则1
2
t x -=
，所以由()()()(
)
9
2
9
01291212121x a a x a x a x +=+++++++ ，
得9
290129122t a a t a t a t ⎛⎫
+=++++ ⎪⎝⎭ ，则通项公式为99
919
911C C 222r
r r r r
r t T t --+⎛⎫
⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
，令91r -=，得8r =，
所以9
8
19
919C 22a ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，所以9192p a ==，
因为随机变量()~32,B p ξ，所以()9993232216
E p ξ==⨯=，故选：A 8．D
【分析】明确集合B 中满足1234513x x x x x ≤++++≤的含义，结合组合数的计算，即可求得答案.【详解】由题意知集合B 中满足1234513x x x x x ≤++++≤的元素的个数，即指12345,,,,x x x x x 中取值为-1或1的个数和为1或2或3，
故满足条件的元素的个数为12233
555C 2C 2C 2104080130⨯+⨯+⨯=++=（个），
故选：D 9．ABC
【分析】根据线性回归方程经过样本中心(20,8)，可解得ˆ0.32b
=-，可判断A,B,C.由回归方程做预测，即可判断D.【详解】1015202530
205x ++++=
=，111086585
y ++++=
=，∴回归直线经过点(20,8)，B 正确，
将x ，y 代入ˆˆ14.4y
bx =+得ˆ0.32b =-，∴变量y 与x 呈负相关，A 、C 正确，当产品价格为35元/kg 时，代入得ˆ 3.2y
=，∴日需求量大约为3.2kg ，D 错误，故选:ABC ．10．ABD
【分析】根据相互独立事件的概率公式，可判断A 、B 、C ，根据古典概型概率公式，可判断D.【详解】对A ：该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，
第3个路口是红灯，所以概率为2
114
13327
⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，故A 正确；
对B ：用A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码，则1()5P A =
，1()3P B =，1()4
P C =，“三个人都不能破译出密码”发生的概率为4232
5345
⨯⨯=，
所以此密码被破译的概率为23
155
-
=，故B 正确；对C ：由题意可得((P AB P BA =，即()(()()P A P B P B P A ⋅=，即[][]()1()()1()P A P B P B P A -=-，即()()P A P B =，又1()9P AB =
，故1()()3P A P B ==，∴2
()3
P A =，故C 错误；对D ：从1，2，3，4中任取2个不同的数，有()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4，共6个结果，其中取出的2个数之差的绝对值为2的包含()1,3和()2,4两个样本点，则概率21
63
P =
=，故D 正确；故选：ABD.11．AC
【分析】求出导函数，分析函数的单调性，求极值，判断选项A ，B ，由函数的单调性判断选项C ，由
()()4f f π<，判断选项D.
【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，且()2
1ln x
f x x -'=
.令()0f x '=，得()e.x f x =∴在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减，因此()f x 在e x =处取得极大值()1
e e
f =，故A 正确；
令()0f x =，解得1x =，故函数()f x 有且仅有一个零点，故B 错误；由()f x 在()e,∞+上单调递减，得()()()4π3f f f <<，故C 正确；因为()()4f f π<，即ln4lnπ
4π
<，所以π4ln4lnπ<，则π44π<，故D 错误.故选：AC.12．
48
125
##0.384.
【分析】根据正态分布的对称性求出成绩超过100分的概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出结果.
【详解】因为()
2
90,X N σ ，所以90μ=，
因为()3
801005P X ≤≤=
，所以3(8090)(90100)10
P X P X ≤<=<≤=，所以(100)(90)(90100)P X P X P X >=>-<≤131
2105
=-=，所以恰有1名学生的成绩超过100分的概率为1231
1C (155
⋅⋅-=48125=.
故答案为：48125
13．504
【分析】符合要求的排法可以分为两类：第一类“射”排在第五周的排法，第二类“射”不在第二和第五周且“乐”不在第五周的排法，利用分步乘法原理求出各类的方法数，再利用分类加法原理求总的方法数.【详解】“射”不在第二周且“乐”不在第五周的排法可以分为两类：第一类“射”排在第五周的排法，排法有5
5A 种，
第二类“射”不在第二和第五周且“乐”不在第五周的排法，
①若“乐”在第二周，则射有四种选法，然后剩余四项全排列，则共有1
4
44A A 种排法②若“乐”不在第二周，则“射”与乐共有24A 种选法，然后剩余四项全排列则共有24
44A A 种，
由分类加法原理可得总的排法数为4
514244454A A A A 504A ++=，
故答案为：504.14．1
-【分析】设出切点，得到方程组，得到()ln 11b a =-+-，故()ln 11a b a a +=-+-，构造
()()1ln 1,1g x x x x =--+>-，利用导函数求出最小值，得到答案.
【详解】直线y ax b =+与曲线ln y x x =-相切，设切点为()00,A x y ，
则1
1y x
'=-，所以011a x -=，
因为00x >，所以0
1
11a x =->-，
即011
x a =
+，
又00y ax b =+，000ln y x x =-，故000ln ax b x x +=-，将011x a =
+代入000ln ax b x x +=-得，1
ln 111
11a a a b a ⋅+-+++=，
解得()ln 11b a =-+-，故()ln 11a b a a +=-+-，令()()1ln 1,1g x x x x =--+>-，则()1111
x
g x x x '=-
=++，当()1,0x ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，
故()()1ln 1g x x x =--+在0x =处取得极小值，也时最小值，故()min 1g x =-，故a b +的最小值为-1.故答案为：-1
【点睛】当已知切点坐标为()00,x y 时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用()()()000y f x f x x x '-=-求出切线方程；
当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求解.
15．(1)50==a b (2)有差异
【分析】（1）根据题意列式求解即可；
（2）根据题意可得22⨯列联表，计算2χ，并与临界值对比分析.
【详解】（1）由题意可得：()()24400
4250
a b a b a b ⎧+++=⎨+=⎩，解得50==a b ．
（2）零假设为0H ：对短视频剪接成长视频APP 的需求，青年人与中老年人没有差异．由已知得，如下22⨯列联表：
青年人
中老年人合计对短视频剪接成长视频的APP 有需求
300
250
550
对短视频剪接成长视频的APP 无需求
100350450合计
400
600
1000
可得2
2
1000(300350100250)107.74410.828400600450550
χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
根据小概率值0.001α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，
所以对短视频剪接成长视频的APP 有需求，青年人与中老年人有差异．16．(1)证明见解析(2)1:1
【分析】（1）连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，即可得到//PA EM ，从而得证；
（2）依题意可得AD BD ⊥，如图建立空间直角坐标系，求出平面BDE 的法向量，设(01)PF PB λλ=<<
，
利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可得到方程，解得λ，即可得解；【详解】（1）证明：如图，连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，因为M 是AC 的中点，E 是PC 的中点，所以//PA EM 又ME ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE
（2）解：因为1,2PD AD BD AB ====所以222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥，故以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴建立空间直角坐标系，
则()()()()()1110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0,,,222D A B P C E ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
，
()111,,,0,1,0222DE DB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
，
设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n DE n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即1
110
2220
x y z y ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩，故取()1,0,1n =
，设(01)PF PB λλ=<< ，则()()
0,,1,0,,1F DF λλλλ-=- 因为直线DF 与平面BDE 所成角的大小为30 ，
所以1sin302DF n DF n ⋅==
12=解得1
2
λ=
，故此时:1:1PF FB =.17．(1)分布列见解析，
154
；(2)()3444n
n S n ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
；
(3)125.
【分析】（1）由题意确定X 的可能取值，求出每个对应的概率，即可得分布列。

由期望公式，即可求得数学期望；
（2）结合题意可知只有1人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，于是可得到334n
n n a ⎛⎫
=⋅ ⎪⎝⎭
，
利用错位相减法求和，即可求得答案；
（3）设只游览冰雪大世界的人数为x ，由此可得游客得到纪念品的总个数200n x =-，即可得到n b 的表达式，结合题意列出不等式组，利用组合数的计算，即可求得答案.【详解】（1）据题意，每位游客只游览冰雪大世界的概率为3
4
，得到1份文旅纪念品；既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的概率为1
4
，获得2份文旅纪念品，则X 的可能取值为3,4,5,6，其中()3
3273464P X ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭，
()213
1327
4C 4464
P X ⎛⎫==⋅⋅=
⎪⎝⎭，
()2
23
139
5C 4464
P X ⎛⎫==⋅⋅=
⎪⎝⎭，()3
116464P X ⎛⎫
===
⎪⎝⎭
，所以X 的分布列为X
3456P
27
64
2764
964
164
()272791153456646464644
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=.（2）因为n 个游客得到文旅纪念品的总个数恰为1n +个，则只有1人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，于是1
1133C 4434n n
n n
n a -⎛⎫
⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，则231333312334444n
n S n ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥
⎣⎦ ，
于是()2341313333312314344444n n n S n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，
两式相减，得231
11333334344444n n n S n +⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
()11331441313143343414n n n n n ++⎧⎫
⎡⎤⎛⎫-⎪⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⨯=-+⨯⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪-
⎪⎪
⎩⎭，所以()3444n
n S n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
.
（3）设只游览冰雪大世界的人数为x ，
则既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的人数为100x -，因此游客得到纪念品的总个数()2100200n x x x =+-=-，
此时100100
100100
311C C 3444x x
x x x
n b -⎛⎫⎛⎫==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，假定n b 取最大值，必有0100x <<，于是11100100100100
11100100100
10011C 3C 34411C 3C 344x x
x x x x x x ++--⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，
即()()()()()()100!100!3!100!1!99!100!100!3!100!1!101!
x x x x x x x x ⎧
≥⋅⎪-+-⎪⎨⎪⋅≥
⎪---⎩，整理得()
()131003101x x x x ⎧+≥-⎪⎨-≥⎪⎩，
解得
299303
44
x ≤≤，而N x ∈，则75x =，则20075125n =-=，所以当n b 取最大值时，125n =.
18．(1)22
1
32
x y +=
(3)为定值
924
【分析】（1）根据已知列出关于,,a b c 的方程组，结合222a b c =+解出椭圆方程.（2）当直线NG 斜率不存在时，易求得M 到直线NG
当直线NG 斜率存在时设NG 的方程，与椭圆联立，结合根与系数关系，重心坐标表示出M 的坐标，代入椭圆得到一个关系式，利用点到直线距离公式表示点M 到直线NG 的距离并化简即可求解；
（3）当直线NG 斜率存在时，利用弦长公式化简计算表示出NG ，结合（2）可得点M 到直线NG 的距
离为d =12S d NG =化简计算即可下结论.
【详解】（1
）由题意得()12222122
222
12221cos 23PF F S c b bc a a c F PF a a b c ⎧=⋅⋅==⎪⎪⎪+-∠==⎨⎪=+⎪⎪⎩
，整理得222bc a a b c ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎩
，
解得1
a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
22
132x y +=；
（2）当直线NG 斜率不存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，根据题意有()22,G x y -.因为原点O 是MNG 的重心，所以122122
0,033
x x x y y y +++-==，解得122x x =-，10y =.将10y =，代入
22
132x y +=
，解得1x =122x x =-知(
)12,2x x ⎫=⎪⎪⎭
或2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭.所以M 到直线NG 的距离为1233
2
x x -=
.即直线NG 斜率不存在时，M 到直线NG
的距离为
2
.当NG 斜率存在时，设NG 所在直线方程为y kx m =+，()()()112233,,,,,M x y N x y G x y .由22
132x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()
222
236360k x kmx m +++-=，且()22
Δ24320k m =+->，即2232m k <+.
所以232323
22
64,2323km m
x x y y kx m kx m k k +=-
+=+++=++.因为原点O 是MNG 的重心，所以123123
0,033
x x x y y y ++++==，所以112264,2323km m x y k k -=
=++，即2264,2323km m M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
.
将点M 代入椭圆方程得并整理可得2
2
234
k m +=232k <+，
所以点M 到直线NG
的距离为
d =
==
2
===<.综上所述，当NG 与x 轴垂直时点M 到直线NG
（3）MNG 的面积为定值
92
4
，理由如下：当直线NG 斜率存在时，由（2）知2232322
636
,2323km m x x x x k k -+=-=
++，2
2
423m k =+且点M 到直线NG
的距离为d =
NG
=，
所以MNG
的面积为11
22
S d NG
==⋅
当直线NG斜率不存在时，由（2）知
MNG
的面积为
232
11
()2
22
S x x NG y
=+=⋅
综上，MNG
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
19．(1)()
f x在(,2)
a
-∞-，(,)
a+∞单调递增，在(2,)
a a
-单调递减
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在，4
n=
【分析】（1）对()
f x求导后利用导数从而可求解；
（2）（ⅰ）求出直线AB的方程()
2
2e a
y x a
-
=--，然后与()
f x联立得()()2
e2e0
x a
x a x a-
⎡⎤
--+=
⎣⎦，构造函数()()2
e2e
x a
g x x a-
=-+，再利用导数求解()
g x有2个零点即可求解；（ⅱ）中由（ⅰ）可得
()()
00
ln ln22
a x a x
---=-，假设存在AB BC
λ
=，则
2
a x
λ=
-
，从而可求得
2
ln20
λ
λ
+-=，再构造函数()
2
ln2
h x x
x
=+-，再利用导数求出()
h x的零点，从而可求解.
【详解】（1）因为2
()()e x
f x x a
=-，
则2
()2()e()e(2)()e
x x x
f x x a x a x a x a
'=-+-=-+-，
令()0
f x'=得2
=-
x a或x a=，
当()
,2
x a
∞
∈--与()
,a+∞时，()0
f x
'>；
当(2,)
x a a
∈-时，()0
f x'<；
所以()
f x在(,2)
a
-∞-，(,)
a+∞单调递增，在(2,)
a a
-单调递减．
（2）由（1）得12
x a=-，
2
x a=，
（ⅰ）直线AB的方程为
()(2)
()()
(2)
f a f a
y f a x a
a a
--
-=-
--
，即()
2
2e a
y x a
-
=--，
由()22()()e 2e x
a y f x x a y x a -⎧==-⎪⎨=--⎪⎩，得()()2
e 2e 0x a x a x a -⎡⎤--+=⎣⎦，设()()2
e 2e x a g x x a -=-+，则()e ()e (1)e x x x g x x a x a '=+-=-+，
令()0g x '=得1x a =-，
当(,1)x a ∈-∞-时，()0g x '<；当(1,)x a ∈-+∞时，()0g x '>；所以()g x 在(,1)a -∞-单调递减，在(1,)a -+∞单调递增，因为(2)0g a -=，2(1)(2e)e 0a g a --=-<，2()2e 0a g a -=>，所以()g x 有且仅有2个零点2a -，0x ，其中0(1,)x a a ∈-，
这表明方程2
()()e 2e 0x a x a x a -⎡⎤--+=⎣⎦的解集为{}02,,a x a -，
即直线AB 与曲线()y f x =交于另一点C ，且C 的横坐标为0x ，
（ⅱ）由（ⅰ）得()02
0e 2e x a a x --=，即()()00ln ln 22a x a x ---=-，
假设存在常数()*
(,1)n n n λ∈+∈N ，使得AB BC λ=，则()0
22
a a a x a x λ--=
=
--，所以02
x a λ
=-
，代入可得2
ln 20λλ
+
-=．
设()2ln 2h x x x
=+
-，则22
()x h x x -'=．令()0h x '=得2x =．
当(1,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>．所以()h x 在(1,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．因为(1)0h =，3(4)2ln 220.7 1.502h =-
<⨯-<，8
(5)ln 5 1.6 1.605
h =->-=，所以存在唯一的(4,5)λ∈，使得()0h λ=．此时()()0
2
2
2002
e 2e
e
2e a x a a g x x a λ
λ
-
--=-+=-+ln 22222e e
2e e 20a a λλλλ---⎛⎫⎛⎫=-+=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．因此，存在常数()
*
(,1)n n n λ∈+∈N ，使得||||AB BC λ=，且4n =．
【点睛】关键点点睛：（2）问中先求出直线AB 的方程，然后将方程与函数()f x 联立后求得关于x 等式，然后构造函数，再利用导数求得构造函数的单调性及函数的零点，从而可求解.。