福建省南平市建瓯市芝华中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题(B卷)(含解析)

福建省南平市建瓯市芝华中学2019-2020学年高一数学上学期期中试
题（B 卷）（含解析）
一、选择题：
1.设合集{}2,1,0,2M =--，{}
2|N x x x ==，则M C N =（ ） A. {}01， B. {}2,1,2-- C. {}2,1,0,2-- D. 2,0,2
【答案】B
【解析】
设合集{}2,1,0,2M =--，{}2|N x x x =={}0,1=，根据集合的补集的概念得到{}2,1,2M C N =--
故答案为：B 。

2.函数lg(2)y x =-的定义域是 （ ）
A. [1，+∞)
B. (1,+∞)
C. (2，+∞)
D. [2，+∞) 【答案】C
【解析】
本题考查函数的定义域.
根据解析式确定函数定义域，使函数解析式有意义的自变量的取值范围.
要使函数lg(2)y x =-有意义，需使20,2;x x ->>即所以函数的定义域是(2,).+∞ 故选C
3.若m n 、为两条不同的直线，αβ、为两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ）
A. 若//m n αα⊂，，则//m n
B. 若m m n αβ⋂=⊥，，则n α⊥
C. 若////m n αα，，则//m n
D. 若//m m n αβαβ⊂⋂=，，，则//m n
【答案】D
试题分析：由题意得，A 中，若//m n αα⊂，，则m 与n 平行或异面，所以不真确；B 中，若m m n αβ⋂=⊥，，则n 与α也可能是平行的，所以不正确；C 中，若////m n αα，，则m 与n 平行或异面、相交，所以不正确；根据直线与平面平行的性质定理可知，D 是正确，故选D ．
考点：线面位置关系的判定．
4.下列函数中，既是偶函数又在()0+∞，
上单调递增的函数是（ ） A. 21y x =- B. 3y x = C. ln y x = D. +1=y x
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的函数．
【详解】对于A ．24y x =-+，有()()f x f x -=，是偶函数，但0x >时为减函数，故排除
A ；
对于B .3y x =，由3()()f x x f x -=-=-，为奇函数，故排除B ；
对于C .ln y x =，由于定义域
()0,x ∈+∞，不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故排
除C ； 对于D .||1y x =+，由()||1()f x x f x -=-+=，为偶函数，当0x >时，1y x =+，是增函数，故D 正确；
故选：D ．
【点睛】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．
5.函数()33log f x x x =-+的零点所在区间是( )
A. ()0,1
B. ()1,2
C. ()2,3
D. ()3,+∞
【解析】
【分析】
计算各区间端点的函数值，根据零点的存在性定理判断．
【详解】()f x 在()0,+∞上为增函数，
且()120f =-<，()3321log 21log 30f =-+<-+=，()33log 310f ==>， ()()230f f ∴<，
()f x ∴的零点所在区间为()2,3．
故选：C ．
【点睛】本题考查了函数零点的存在性定理，对数运算，属于基础题.
6.一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 1
B. 3
C. 6
D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】 几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.
【详解】由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，
直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，
一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.
∴四棱锥的体积是()12212232
+⨯⨯⨯=. 故选D.
【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图求几何体的体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．
7.函数()21log f x x =+与()12x g x -=在同一坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
结合函数的解析式，判断函数2()1log f x x =+的图象，然后判断1()2x g x -=的形状即可．
【详解】解：因为函数()21log f x x =+过1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
，排除A ； ()12x g x -=是减函数，且与y 轴的交点为()0,2，排除B 和D ，故选C ．
【点睛】本题考查函数的图象的判断，注意常见函数的性质的应用，是基础题．
8.如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】B
【解析】 试题分析：如图所示斜二测画法下的三角形的面积为
，那么原来平面图形的面积,故选B.
考点：斜二测画法
9.已知函数7(13)10,(7)(),(7)x a x a x f x a x --+≤⎧=⎨
>⎩是定义域R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. 11(,)32 B. 1
6(,]311 C. 12[,)23 D. 16(,]211
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解.
【详解】若f （x ）是定义域（-∞，+∞）上的减函数， 则满足 ()7701130713101a a a a a -⎧⎪-⎨⎪-+≥⎩
＜＜＜＝
即0113611a a a ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪≤⎪⎩
＜＜＞ ，整理得16311a <≤.故选：B 【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用，根据分段函数的性质建立不等式是解决本题的关键.
10.某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中（ ）
A. NC 与DE 相交
B. CM 与ED 平行
C. AF 与CN 平行
D. AF 与CM 异面
【答案】B
【解析】
根据题意得到立体图如图所示：
A NC 与DE 是异面直线，故不相交；
B C M 与ED 平行，由立体图知是正确的；
C AF 与CN 位于两个平行平面内，故不正确；
D AF 与CM 是相交的。

故答案为：B 。

11.函数()1124x
f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A. ()0,1
B. ()()0,11,+∞
C. ()1,+∞
D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】
【分析】 函数1()|()1|24x f x a =--有两个零点，⇔函数1|()1|4
x y =-的图象与直线2y a =有两个交点，画出函数1|()1|4
x y =-的图象，根据图象可得a 的取值范围． 【详解】解：函数1()|()1|24x f x a =--有两个零点，⇔函数1|()1|4
x y =-的图象与直线2y a =有两个交点点， 函数1|()1|4x y =-的图象如下：根据图象可得021a <<，102a ⇒<< 故选：D ．
【点睛】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，数形结合思想，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键．属于中档题．
12.若直角坐标平面内的两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()y f x =的图象上；②,P Q 关于原点对称．则称点对[],P Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”(点对[],P Q 与[]，Q P 看
作同一对“友好点对”)．已知函数()log 3a x f x
x ⎧
=⎨+⎩
()()040>-≤<x x ()01a a >≠且，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则a 的取值范围是( )
A . ()()011+，
，∞ B. ()111+4，，⎛⎫∞ ⎪⎝⎭ C. 114，⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. ()01，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可作出函数图象，结合图象分析；
【详解】①当1a >时，作()log 3a x f x x ⎧=⎨+⎩
()()040>-≤<x x 的图象(图1)，再作y 轴右边的图象的中心对称图形，
与y 轴左边图象只有一个交点，符合题意.
01a <<时，作()log 3a x f x x ⎧=⎨+⎩ ()()
040>-≤<x x 的图象(图2)，再作y 轴右边的图象的中心对称图形，
若对称的图象过点()4,1-,则14
a =，所以要满足与y 轴左边的图象只有一个交点，则有114
<<a . 故选：B
【点睛】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解。

二、填空题
13.31log 43321ln 83log 4
+--=e _______. 【答案】π
【解析】
【分析】
根据指对数的运算性质计算，()log 0,1n a
a n a a =>≠，()log 0,1N a a
N a a =>≠
【详解】原式3324(2)π=-++--- 33242π=-++-+
π=
【点睛】本题考查利用指数幂运算、对数运算法则化简求值的问题，属于基础题。

14.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线1B C 与EF 所成的角大小为______．
【答案】60︒
【解析】
【分析】
连接1A D 、BD 、1A B ，可得1A DB ∠为异面直线1B C 与EF 所成的角，利用三角形的性质可求．
【详解】解： 如图，连接1A D 、BD 、1A B ，E ，F 分别是AB ，AD 的中点 //EF BD ∴ 11//A B DC 且11A B DC =
故四边形11A B CD 为平行四边形
11//A D B C ∴
故1A DB ∠为异面直线1B C 与EF 所成的角
又因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11A D A B BD ==
即三角形1A DB ∆为等边三角形，所以160A DB ∠=︒
故答案为：60︒
【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，涉及到正方体的结构特征、三角形等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．
15.棱长为2的正方体外接球的体积是______． 【答案】43π
【解析】
【分析】
求出外接球的半径，然后求解球的体积． 【详解】解：正方体的外接球直径为正方体的体对角线，2323R a ∴=
3R ∴=．∴3
4433
R V ππ==球． 故答案为：43π
【点睛】本题考查正方体的外接球的体积的求法，考查计算能力，属于基础题。

16.已知2log 33a =22log 3log 3b =-， 1.90.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是______．
【答案】a b c >>
【解析】
【分析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【详解】
解：2log a =
，222211log 3log log log 322
b =-==
>，根据2log y x =的单调性可知a b >， 1.9 1.91110.522c ==<故102
c << b c ∴>
a b c ∴>>．
故答案为：a b c >>
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
三．解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆，求实数m 的取值范围．
【答案】3m ≤
【解析】
【分析】
分B =∅和B ≠∅两种情况分类讨论，能求出实数m 的范围． 【详解】由已知得{}25A x x =-≤≤，{}
121B x m x m =+≤≤-
∵B A ⊆，∴①若B =∅，则211m m -<+，此时2m <． ②若B ≠∅，则21112215m m m m -≥+⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩
．解得23m ≤≤．
由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为3m ≤．
【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义及性质的合理运用．
18.已知函数()21()f x x ax a R =+-∈的两零点为12,x x .
(Ⅰ)当1a =时，求12x x -的值；
(Ⅱ)[]0,2,()0x f x ∈≤恒成立，求a 的取值范围．
【答案】(I) 12x x -=(II) 32
a ≤-
【解析】
试题分析：（1）令()0f x =，得210x x +-=，可求出两根，进而求得12x x -=；（2）()f x 图象是开口向上，对称轴为2
a x =-为抛物线，讨论轴和区间的关系，得到函数的最值即可。

解析：
(I)令()0f x =，得210x x +-=，
不妨设12x x <，解得1x =，
212
x -+=，
所以12x x -=.
(II)()f x 图象是开口向上，对称轴为2a x =-
为抛物线， (1)当12
a -≥即2a ≤-时，()()max 010f x f ==-≤，符合题意； (2)当12
a -<，即2a >-时， ()()max 2230f x f a ==+≤，故322
a -<≤-； 综合(1)(2)得32
a ≤-. 19.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E F G ，，分别是BC ，DC 和SC 的中点，求证：
（1）直线//EG 平面11BDD B ；
（2）平面//EFG 平面11BDD B ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）连接SB ，由已知得//EG SB ，再由线面平行的判定定理可得直线//EG 平面11BDD B ；（2）连接SD ，由已知得//FG SD ，从而得//FG 平面11BDD B ，又//EG 平面11BDD B ，由此可证明平面//EFG 平面11BDD B ．
试题解析：（1）如图所示，连接SB ．∵E G ，分别是BC SC ，的中点，
∴//EG SB ．
又∵SB ⊂平面11BDD B ，EG ⊄平面11BDD B ，
∴直线//EG 平面11BDD B ．
（2）连接SD ．∵F G ，分别是DC SC ，的中点，∴//FG SD ．
又∵SD ⊂平面11BDD B ，FG ⊄平面11BDD B ，
∴//FG 平面11BDD B ．
又//EG 平面11BDD B ，且EG ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EG FG G ⋂=， ∴平面//EFG 平面11BDD B ．
考点：1、直线与平面平行的判定；2、平面与平面平行的判定．
20.已知函数()()1αα=
-∈f x x R x ，且()322=-f . （Ⅰ）求α的值.
（Ⅱ）判断()f x 的奇偶性并证明.
（Ⅲ）判断()f x 在(),0-∞上的单调性，并给予证明．
【答案】（Ⅰ）=1α；（Ⅱ）()f x 为奇函数，见解析；（Ⅲ）见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意()322
=-f ，即可求出α的值； （Ⅱ）判断函数的奇偶性分为两步，第一步：求定义域；第二步：计算()f x -并与()f x 比较；
（Ⅲ）用定义法证明函数的单调性；
【详解】（Ⅰ）由()322=-
f 得13222α-=-， 解得=1α； （Ⅱ）由（Ⅰ）得()1f x x x
=-，定义域为()(),00,-∞⋃+∞关于原点对称 ()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭
，∴()f x 为奇函数 ； （Ⅲ）函数()1f x x x
=-在(),0-∞上是单调减函数 ，证明如下：设()12,,0x x ∈-∞，且
12x x < ()()()()1
212122*********
(1+)1111=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x f x f x x x x x x x x x x x x x 因为120x x <<，所以2112120,01+0，
->>>x x x x x x ，∴ ()122112(1+)0->x x x x x x 所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x > ，所以()1f x x x
=
-在(),0-∞上是单调减函数。

【点睛】判断函数的奇偶性分为两步，第一步：求定义域；第二步：计算()f x -并与()f x 比较；利用定义法证明函数的单调性分为五步，第一步：设元；第二步：作差；第三步：变形；第四步：判断符号；第五步：下结论。

其中第三步主要采用通分，因式分解的方法。

21.如图，四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，2AB CD =，E 为PB 的中点．
（1）求证：CE 平面PAD ；
（2）在线段AB 上是否存在一点F ，使得平面PAD 平面CEF ？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析 （2）存在AB 的中点F 满足要求，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）取PA 的中点H ，连接EH ，DH ，证明四边形DCEH 是平行四边形，即可证明//CE 平面PAD ．
（2）取AB 的中点F ，连接CF ，EF ，证明四边形AFCD 为平行四边形，可得CF//AD ．又CF ⊂/平面PAD ，所以//CF 平面PAD ，结合（1）
，即可证明平面//PAD 平面CEF ． 【详解】（1）证明：取PA 的中点H ，连接EH ，DH ，
因为E 为PB 的中点，所以EH
AB ，12EH AB =， 又AB CD ∥，12CD AB =．所以EH CD ，EH CD =，
因此四边形DCEH 是平行四边形，所以CE DH ，
又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，
所以CE 平面PAD ． （2）取AB 的中点F ，连接CF ，EF ，所以12AF AB =
， 又12
CD AB =，所以AF CD =， 又AF CD ∥，所以四边形AFCD 为平行四边形，
所以CF AD ，
又CF ⊄平面PAD ，所以CF
平面PAD ， 由（1）可知CE
平面PAD ， 又CE CF C =，故平面CEF
平面PAD ， 故存在AB 的中点F 满足要求．
【点睛】此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面平行的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确证明直线与平面平行是关键．
22.定义在R 上的函数()f x 对任意a ，b R ∈都有()()()f a b f a f b k +=++（k 为常数）.
（1）判断k 为何值时，()f x 为奇函数，并证明；
（2）在（1）的条件下，设集合2{(,)|(61)()0}A x y f x x f y =-+-+=，{(,)|}B x y y a ==，
且A B =∅，求实数a 的取值范围；
（3）设1k =-，()f x 是R 上的增函数，且(4)5f =，解不等式2(34)3f m m -+>.
【答案】(1) 0k =，证明见解析；（2）8a <-；（3）1m <或2m >.
【解析】
【分析】
⑴0k =时，()f x 为奇函数，然后对抽象函数进行证明
⑵根据已知条件解出集合A ，结合A B ⋂=∅求出a 的取值范围
⑶将其转化为()
()2342f m m f -+>利用单调性求解 【详解】（1）当0k =时，()f x 为奇函数，
证明：当0a b ==时，()()()000f f f =+，所以()00f =, 所以()()()00f f x f x =+-=,
∴()()f x f x =--∴()f x 是奇函数.
（2）∵()()()2
{,|610}A x y f x x f y =-+-+=, ∴()
()()261f x x f y f y -+-=-=-∴261x x y -+-=-, ∴261x x y -+=∴8y ≥-∴8a <-.
（3）∵1k =-，()45f =∴()()()4221f f f =+-∴()23f =, ∵()2343f m m -+>∴()
()2342f m m f -+>, ∵()f x 是增函数∴2342m m -+>∴1m <或2m >.
【点睛】本题考查了抽象函数的综合题目，关键在运用已知条件中的()()()f a b f a f b +=+来进行化简，然后按照函数的奇偶性和单调性的概念和性质进行解题。