高三数学总复习导与练 第六篇第五节配套课件(教师用) 理

数列与其他知识的综合应用
【例 2】 (2010 年高考安徽卷)设 C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的 3 圆心都在 x 轴的正半轴上，且都与直线 y＝ x 相切．对每一个正整数 n，圆 Cn 都与圆 Cn＋ 3 1 相互外切，以 rn 表示圆 Cn 的半径，已知{rn}为递增数列． (1)证明：{rn}为等比数列； n (2)设 r1＝1，求数列{ }的前 n 项和． rn 3 思路点拨：(1)由一列圆的切线 y＝ x 的斜率，求出切线的倾斜角的正弦值，由正弦定 3 义及圆与圆的位置关系求证；(2)由错位相减法求和．

1 答案： 3
等差、等比数列的综合
【例1】 在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6， b1b3b5＝0.
(1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an；
(3)试比较an与Sn的大小．
思路点拨：(1)利用定义法即可解决，(2)先求{bn}的首项和公差，再求{an}的首项及公 比，(3)分情况讨论．
2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂 为 2 个，现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( B ) (A)6 秒钟 (B)7 秒钟 (C)8 秒钟 (D)9 秒钟 解析：设至少需要 n 秒钟，由题意得： n 2 －1 － 1＋2＋22＋…＋2n 1≥100，∴ ≥100， 2－1 ∴n≥7.故至少需要 7 秒钟． 3．(教材改编题)为支援西部文化教育发展，某教育书业公司于 2011 年 9 月向青海省捐 书 10 万册，计划以后每年比上一年多捐 5000 册，则 5 年共捐______万册． 解析：由题意知，每年向青海省捐的书成等差数列，记为{an}，其中 a1＝10，公差 d＝ 5×4 1 ，则 S5＝5a1＋ d＝55，故 5 年共捐 55 万册． 2 2 答案：55
(3)显然 an＝25 n>0， n9－n 当 n≥9 时，Sn＝ ≤0， 2 ∴n≥9 时，an>Sn.
－
1 1 ∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝ ，a7＝ ， 2 4 1 a8＝ ， 8 S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7， S8＝4， ∴当 n＝3,4,5,6,7,8 时，an<Sn； 当 n＝1,2 或 n≥9 时，an>Sn. 在解决等差数列和等比数列综合题时， 恰当地运用等差数列和等比数列的 性质可以减少运算量，提高解题速度和准确度，如本例中就合理地应用了等差中项．
(1)证明：∵bn＝log2an， an＋1 ∴bn＋1－bn＝log2 ＝log2q 为常数， an ∴数列{bn}为等差数列且公差 d＝log2q. 解：(2)∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2， ∵a1>1，∴b1＝log2a1>0， ∵b1b3b5＝0，∴b5＝0. b1＋2d＝2， b1＝4， ∴ 解得 b1＋4d＝0， d＝－1， nn－1 9n－n2 ∴Sn＝4n＋ ×(－1)＝ . 2 2 1 q＝2， log2q＝－1， － ∵ ∴ ∴an＝25 n(n∈N*)． log2a1＝4， a1＝16，
4．(2010年浙江五校一模)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an} 的公比为________．
解析：∵ S1,2S2,3S3 成等差数列， ∴4S2＝S1＋3S3， ∴4(a1＋a2)＝a1＋ 3(a1＋a2＋a3)， 1 ∴a2＝3a3，∴q＝ . 3
具体解题步骤如下框图：
质疑探究：银行储蓄单利和复利计算各是什么模型？ 提示：设本金为a元，每期利率为r，存期为n， 则按单利计算，本利和an＝a(1＋rn)，属于等差模型． 按复利计算，本利和an＝a(1＋r)n，属于等比模型．
1．数列{an}是公差不为 0 的等差数列且 a7、a10、a15 是等比数列{bn}的连续三项，若等 比数列{bn}的首项 b1＝3，则 b2 等于( B ) 24 9 (A) (B)5 (C)2 (D) 5 5 解析：由条件知 a102＝a7· a15， 2 ∴(a7＋3d) ＝a7×(a7＋8d)， a10 a7＋3d 5 ∴9d＝2a7，q＝ ＝ ＝ . a7 a7 3 ∵b1＝3， ∴b2＝b1· q＝5，故选 B.
1．数列知识的综合问题 (1)数列本身的综合
数列知识内部综合主要是指以等差数列和等比数列为中心的综合问题，通常 涉及到等差、等比数列的证明，基本计算、求和等．
(2)数列与其他章节知识的综合 与数列常联系在一起命题的知识主要有函数、不等式和解析几何，以及三角、 复数等．有时带有探索性，涉及到的方法有转化与化归、放缩、数学归纳法、 反证法、函数思想等
第5节 数列的综合应用
考纲展示 考纲解读 1.能在具体的问题情境中识别数 1.数列综合问题，在高考 列的等差关系或等比关系，并 中通常有以下三种呈现形 能用等差数列、等比数列的有 式： 关知识解决相应的问题. (1)等差、等比数列的内部综合； (2)数列与函数、不等式、解析 几何的交汇； (3)数列知识的实际应用．
②等比数列模型： 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数值，则该 模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比．
解答数列应用题的基本步骤． ①审题：仔细阅读材料，认真理解题意． ②建模：将已知条件翻译成数学 (数列)语言，将实际问题转化成数学问题．分 清该数列是等差数列还是等比数列，是求通项还是求前n项和． ③求解：求出该问题的数学解． ④还原：将所求结果还原到原实际问题中．
2．数列的实际应用 (1)数列应用常见范例： 生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人 口增长、工作效率、图形面积、曲线长度等实际问题，常常考虑用数列知 识求解． (2)数列应用题常见模型 ①等差数列模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差数 列模型，增加(或减少)的量就是公差．