【人教A版高中数学精练及答案解析】选修1-2第一章1.1 回归分析的基本思想及其初步应用 复习练习

选修1-2第一章1．1 回归分析的基本思想及其初步应用
复习练习
[A 基础达标]
1．在画两个变量的散点图时，下列叙述正确的是( ) A ．预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B ．解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C ．可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D ．可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上
2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，求得回归直线方程，并分别得到以下四个结论：
①y 与x 负相关且y ^
＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^
＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^
＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^
＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④
D ．①④
3．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则下列说法中不正确的是( )
A ．由样本数据得到的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x －，y －
) B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2的值越小，说明模型的拟合效果越好
D ．若变量y 和x 之间的相关系数r ＝－0.936 2，则变量y 与x 之间具有线性相关关系
4．如图所示的是一组观测值的四个线性回归模型对应的残差图，则对应的线性回归模型的拟合效果最好的残差图是( )
5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表：
根据上表可得线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为( )
A ．63.6万元
B ．65.5万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元
6．如果散点图中的所有的点都在一条斜率不为0的直线上，则残差为________，相关指数R 2＝________.
7．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程是________． 8．若对于变量y 与x 的10组统计数据的回归模型，R 2
＝0.95，又知残差平方和为120.53，那么 i ＝1
10
(y i －y －
)2的值为________．
9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据：
(1)求线性回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；
(2)预计在今后的销售中，销售与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
[B 能力提升]
10．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A ．11.4万元
B ．11.8万元
C ．12.0万元
D ．12.2万元
11．关于x 与y 有如下数据：
为了对x ，y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲：y ＝6.5x ＋17.5，乙：y ^
＝7x ＋17，则________(填“甲”或“乙”)模型拟合的效果更好．
12．假定小麦基本苗数x 与成熟期有效穗数y 之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
(1)以x 为解释变量，y (2)求y 与x 之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗数； (3)计算各组残差，并计算残差平方和；
(4)求相关指数R 2，并说明残差变量对有效穗数的影响占百分之几．
13．(选做题)为了研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下：
(1)用时间x
(2)描述解释变量x与预报变量y之间的关系；
(3)计算R2.
选修1-2第一章1．1 回归分析的基本思想及其初步应用
复习练习
[A 基础达标]
1．在画两个变量的散点图时，下列叙述正确的是( ) A ．预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B ．解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C ．可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D ．可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上
解析：选B.结合线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e 可知，解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上． 2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，求得回归直线方程，并分别得到以下四个结论：
①y 与x 负相关且y ^
＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^
＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^
＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^
＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④
D ．①④
解析：选D.x 的系数符号决定变量x ，y 之间的正、负相关关系，x 的系数大于0为正相关，小于0为负相关，易知①④不正确．
3．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则下列说法中不正确的是( )
A ．由样本数据得到的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x －，y －
) B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2的值越小，说明模型的拟合效果越好
D ．若变量y 和x 之间的相关系数r ＝－0.936 2，则变量y 与x 之间具有线性相关关系 解析：选C.R 2的值越接近1，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．
4．如图所示的是一组观测值的四个线性回归模型对应的残差图，则对应的线性回归模型的拟合效果最好的残差图是( )
解析：选A.残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，所以选A. 5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表：
根据上表可得线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为( )
A ．63.6万元
B ．65.5万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元
解析：选B.由表可计算x －＝4＋2＋3＋54＝72，y －＝49＋26＋39＋54
4＝42，因为点⎝⎛⎭⎫72，42在回归直线y ^＝b ^x ＋a ^上，且b ^为9.4，所以42＝9.4×72＋a ^，解得a ^＝9.1，故线性回归方程为y ^
＝9.4x ＋9.1，令x ＝6，
得y ^
＝65.5.
6．如果散点图中的所有的点都在一条斜率不为0的直线上，则残差为________，相关指数R 2＝________.
解析：由题意知，y i ＝y ^i ，所以相应的残差e ^i ＝y i －y ^
i ＝0. 相关指数R 2＝1－
∑n
i ＝
1 （y i －y ^i ）2
∑n
i ＝
1
（y i －y －）2
＝1. 答案：0 1
7．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程是________． 解析：斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4，5)，可得y ^
－5＝1.23(x －4)，即y ^
＝1.23x ＋0.08.
答案：y ^
＝1.23x ＋0.08
8．若对于变量y 与x 的10组统计数据的回归模型，R 2
＝0.95，又知残差平方和为120.53，那么∑i ＝1
10
(y i －y －
)2的值为________．
解析：由R 2＝1－∑10
i ＝
1 （y i －y ^i ）2∑10i ＝1
（y i －y －）2得1－(120.53∑10i ＝
1
（y i －y －）2
=0.95,得 i ＝110 (y i －y －
)2＝2 410.6.
答案：2 410.6
9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据：
(1)求线性回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；
(2)预计在今后的销售中，销售与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解：(1)由于x －＝1
6(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
y －＝1
6(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，
又b ^
＝－20，
所以a ^＝y －－b ^x －
＝80＋20×8.5＝250， 从而线性回归直线方程为y ^
＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x(－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －8.25)2＋361.25.
当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
[B 能力提升]
10．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A ．11.4万元
B ．11.8万元
C ．12.0万元
D ．12.2万元
解析：选B.先求a ^
，再利用回归直线方程预测． 由题意知，
x －＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，
y －＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，
所以a ^
＝8－0.76×10＝0.4，
所以当x ＝15时，y ^
＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)． 11．关于x 与y 有如下数据：
为了对x ，y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲：y ＝6.5x ＋17.5，乙：y ^
＝7x ＋17，则________(填“甲”或“乙”)模型拟合的效果更好．
解析：设甲模型的相关指数为R 21，则R 2
1＝1－
∑5
i ＝
1
（y i －y ^i ）2
∑5
i ＝
1
（y i －y －
）2
＝1－155
1 000＝0.845；
设乙模型的相关指数为R 2
2，
则R 22＝1－180
1 000
＝0.82. 因为0.845＞0.82，即R 21＞R 22，所以甲模型拟合效果更好．
答案：甲
12．假定小麦基本苗数x 与成熟期有效穗数y 之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
(1)以x 为解释变量，y (2)求y 与x 之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗数； (3)计算各组残差，并计算残差平方和；
(4)求相关指数R 2，并说明残差变量对有效穗数的影响占百分之几． 解：(1)散点图如下．
(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．
设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，x －＝30.36，y －
＝43.5，
∑i ＝1
5
x 2i ＝5 101.56
x －y －＝1 320.66, y －2＝1 892.25，x －
2＝921.729 6, ∑i ＝1
5 x i y i ＝
6 746.76.
由b ^＝∑5
i ＝1x i y i －5x －y
－
∑5i ＝1
x 2i －5x －
2
≈0.29，a ^=y －－b ^x －≈34.70.
故所求的回归直线方程为y ^
=34.70＋0.29x. 当x ＝56.7时，y ^
=34.70＋0.29×56.7＝51.143. 因此估计成熟期的有效穗数为51.143.
（3）由e i ＝y i －y ^
i ，可分别求得e 1＝0.35，e 2＝0.718，e 3＝－0.50，e 4＝－2.214，e 5＝1.624， 残差平方和：∑i ＝15
(y i -y ^
i )2＝8.427 196.
（4）可得：∑i ＝1
5
(y i －y －
)2＝50.18，
所以R 2＝1－8.427 196
50.18
≈0.832.
所以解释变量(小麦基本苗数)对预报变量(成熟期有效穗数)约贡献了83.2%， 残差变量贡献了约1－83.2%＝16.8%.
13．(选做题)为了研究某种细菌随时间x 变化时，繁殖个数y 的变化，收集数据如下：
(1)用时间x (2)描述解释变量x 与预报变量y 之间的关系； (3)计算R 2.
解：(1)所作散点图如图所示．
(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y ＝c 1e c 2x 的周围，于是令z ＝ln y ，则
故z ^＝0.69x ＋1.115，则有y ＝e 0.69x ＋
1.115. (3)
∑i ＝1
n
e ^2i =∑i ＝1
n ( y i －y ^i )2=4.816 1
∑i ＝1
n (y i －y －
)2＝24 642.8，R 2＝1－4.816 124 642.8
≈0.999 8，
即解释变量时间对预报变量繁殖个数解释了99.98%.。