2019春八年级数学下册第十八章平行四边形小结与复习教学课件(新版)新人教版
人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形- 小结与复习-课件PPT
解：(1)证明：∵M、N、E分别是PD、PC、CD的
中点，
∴ME∥PC，EN∥PD. ∴四边形PMEN是平行四边形．
(2)解：当点P运动到AB的中点时，四边形PMEN是菱形．
理由如下：
∵P是AB中点，∴PA＝PB.
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC. ∴△PAD≌△PBC(SAS).∴PD＝PC.
1.两条平行线之间的距离： 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离 叫做两条平行线之间的距离.
2.三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
3.直角三角形斜边上的中线： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
考点讲练
考点一 平行四边形的性质与判定
例1 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°， AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG.
D．8cm
2.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个
条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选
两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( B )
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
3.如图是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图
．雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB=CD，且AD=BC，这样能使雨 刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结
∵CF= 12BC， 2
2
∴DE∥FC，DE=FC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF， ∴EF= 1 AB=6．
2
针对训练
4.如图，等边三角形ABC中，点D，E分别为AB，AC 的中点，则∠DEC的度数为（ B ）
最新人教版初中数学八年级下册第十八章小结与复习优质课课件
（3）当如图①的情况，DF=AC-DE=6-4=2； 当如图②的情况，DF=AC+DE=6+4=10．
针对训练
1.如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，
BD=6cm，则AD的长为
（A ）
A．4cm B．5cm
C．6cm D．8cm
互相垂直平分且相等，每 轴对称图形 一条对角线平分一组对角
二、几种特殊四边形的常用判定方法：
四边形
条件
平行 四边形
1.定义：两组对边分别平行 2.两组对边分别相等
3.两组对角分别相等
4.对角线互相平分
5.一组对边平行且相等
矩形
1.定义：有一个角是直角的平行四边形 2.对角线相等的平行四边形 3.有三个角是直角的四边形
证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴DE、EF都是△ABC的中位线， ∴EF∥AB，DE∥AC， ∴四边形ADEF是平行四边形.
（2）∵四边形ADEF是平行四边形， ∴∠DEF=∠BAC， ∵D，F分别是AB，CA的中点，
AH是边BC上的高， ∴DH=AD，FH=AF， ∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA， ∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，
四边形AGCD的面积．
解：(1)∵AG∥DC，AD∥BC， ∴四边形AGCD是平行四边形， ∴AG＝DC.
∵E、F分别为AG、DC的中点，
∴GE＝
1 2
AG，DF＝
1 2
DC，
即GE＝DF，GE∥DF，
∴四边形DEGF是平行四边形.
பைடு நூலகம்
(2)∵点G是BC的中点，BC＝12，
八年级数学下册第18章平行四边形本章整合pptx课件新版新人教版
二
一、四边形中的折叠问题
【例1】 如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.将矩形ABCD沿CE折
叠后,使点D恰好落在对角线AC上的点F处.
(1)求EF的长;
(2)求梯形ABCE的面积.
解:(1)设EF=x,由折叠可得,DE=EF=x,CF=CD=6.
∵在Rt△ADC中,AC= 62 + 82=10,
(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
关闭
B
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4.如图,在菱形ABCD中,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥BC于
点E,PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长为20,面积为24,则PE+PF的
值为(
)
关闭
连接 BP,如图,
24
A.4
B. 5
∵四边形 ABCD 为菱形,
∴∠MEH=∠DAH=∠EAH=45°,
∴EH=AH,∴△MEH≌△DAH(SAS),
∴∠MHE=∠DHA,MH=DH,
∴∠MHD=∠AHE=90°,△DHM是等腰直角三角形,
∴DM= 2HM,故②正确;
当∠DHC=60°时,∠ADH=60°-45°=15°,
∴∠ADM=45°-15°=30°,
1
∵E是线段AD的中点,∴AE=DE,
∵∠AEF=∠DEB,∴△BDE≌△FAE(AAS).
(2)∵△BDE≌△FAE,∴AF=BD.
∵D是线段BC的中点,∴BD=CD,∴AF=CD.
∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.
2019年春八年级数学下册第十八章平行四边形本章整合课件(新版)新人教版
10.(2018山东临沂中考)如图,在▱ABCD中,AB=10,AD=6,AC⊥BC,则
BD=
.
∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴BC=AD=6,OB=OD,OA=OC.
∵AC⊥BC,∴AC= ������������2-������������2=8.
∴OC=4,OB= ������������2 + ������������2=2 13.
故4 B1D3 =2OB=4 13.
关闭
关闭
解析 答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
11.(2018江苏泰州中考)如图,在四边形ABCD中,AC平分
∠BAD,∠ACD=∠ABC=90°,E,F分别为AC,CD的中点,∠D=α,则∠BE关F闭 的∵度∠数A为CD=90°,∠D=(α用, 含α的式子表示).
(2)解 四边形ACDF是矩形.
证明如下:∵AF=CD,AF∥CD,
过点O作OM⊥AC,交AD于点M.如果△CDM的周长为8,那么▱ABCD
的周长是
.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC. ∵OM⊥AC,∴AM=MC. ∴△CDM的周长为AD+CD=8, ▱ABCD的周长是2×8=16.
16
关闭
关闭
解析 答答案案
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
2019年八年级数学下册第十八章平行四边形章末知识复习课件(新版)新人教版
∴△AEF≌△CGF(AAS).∴AF=FC,AE=GC, 又∵BE=GC,∴AE=BE, 即 E,F 分别是 AB,AC 的中点.
考点二:矩形的性质与判定 【例2】 (2018遵义一模)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC=90°,对角线 AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交BC于点E,连接OE.
CE,CF,如图所示.
(1)求证:△ABE≌△ADF;
(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴AB=AD,∴∠ABD=∠ADB, ∴∠ABE=∠ADF,
AB AD, 在△ABE 与△ADF 中 ABE ADF , BE DF ,
章末知识复习
1.平行四边形的性质 四边形 ABCD 是平行四边形
1 两组对边分别平行 2 两组对边分别相等 3 两组对角分别相等 互相平分 4 对角线 5 邻角互补
2.平行四边形的判定
1 两组对边分别平行 从边看 2 一组对边 平行 且相等 相等 3 两组对边分别 从角看— 4 两组对角分别相等 从对角线看— 5 对角线互相 平分
平行,另一组对边相等且有一角为直角的四边形是矩形.其中,正确的个数是(C (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 )
2.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,过点B作BP∥AC,过点C作CP∥BD,BP与
CP相交于点P.
(1)判断四边形BPCO的形状,并说明理由; 解:(1)四边形BPCO为平行四边形. 理由如下: 因为BP∥AC,CP∥BD, 即BP∥OC,BO∥CP, 所以四边形BPCO为平行四边形.
(2)若将平行四边形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,得到的四边形BPCO是什么四边形,
【八下数学】人教版八年级数学下册第18章平行四边形章末小结ppt课件—精选资料
菱形面积=底×高=对角线乘积的一半
所有对角线垂直的四边 形都可以用此方法求面 积
知识点复习
题组二（判定应用）
已知：如图，E、F为 ABCD的对角线AC所在直线上的两点，AE=CF，
BE=DF．（用两种证法）
E
A
D
B
C
F
∴
知识点复习
题组三（综合应用）
四边形ABCD和四边形CEFH都是正方形，连接AF，M是AF中点，连接DM
ABCD的周长是( )．源自A.4B.8C.12
D.16
A
D
E
B
第1题图
C
第2题图
知识点复习
3. 如图，在周长为20cm的 ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O， OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（ ） A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
A
E
D
O
B
C
知识点复习
4．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别
和BC于点E、F，AB=2，BC=4，则图中阴影部分的面积为
.
5．如图，过正方形ABCD的顶点B作直线 l，过A、C作l
的垂线，垂足分别为E,F.若AE=1，CF=3，则AB的长度为
．
A
A
E
D
B F
El
O
D
B F
C
C
第4题图
第5题图
方法总结：利用全等三角形进行转化
知识点复习
6.如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=2.求 ∠ABC的度数；（2）对角线AC、BD的长；（3）菱形ABCD 积.
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
新人教版八年级初二数学下册第十八章平行四边形复习课课件
例 3 (内江中考)如图 18-F-6 所示,已知菱形 ABCD 的两条对角线分 别为 6 和 8,M、 N 分别是边 BC、 CD 的中点,P 是对角线 BD 上一点, 则 PM+PN 的最小值= .
图 18-F-6
分析:作 M 关于 BD 的对称点 Q,连接 NQ,交 BD 于 P,连接 MP,此时 MP+NP 的值最小,连接 AC,根据勾股定理求出 BC 长,证出 MP+NP=QN=BC,即可得出答案. 解:如图 18-F-7 所示, 作 M 关于 BD 的对称点 Q,连接 NQ,交 BD 于 P,连接 MP,
●跟踪训练 2.(新疆中考)如图 18-F-5 所示,在▱ABCD 中,点 O 是 AC 与 BD 的交 点,过点 O 的直线与 BA、DC 的延长线分别交于点 E、F.
图 18-F-5
(1)求证:△AOE≌△COF; (2)请连接 EC、AF,则 EF 与 AC 满足什么条件时,四边形 AECF 是 矩形,并说明理由.
10
.
图 18-F-8
例 4 (鞍山中考)如图 18-F-9 所示,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一 点,F 是 AD 延长线上一点,且 DF=BE.
图 18-F-9
(1)求证:CE=CF; (2)若点 G 在 AD 上,且∠GCE=45° ,则 GE=BE+GD 成立吗?为什么?
分析:(1)由 DF=BE,四边形 ABCD 为正方形可证△CEB≌△CFD,从 而证出 CE=CF. (2)由(1)得,CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD 即∠ECF=∠ BCD=90° 又∠GCE=45° ,所以可得∠GCE=∠GCF,故可证得△ECG ≌△FCG,即 EG=FG=GD+DF.又因为 DF=BE,所以可证出 GE=BE+GD 成立.
新人教版八年级数学下册第十八章平行四边形课件
2.已知 ABCD 的周长为28cm， AB∶BC=3∶4，求它的各边的长.
解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC. 又∵C ABCD=AB+BC+CD+AD=28cm， 且AB∶BC=3∶4， ∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm.
综合应用
3.如图，在 ABCD 中，已知AD=8cm， AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE 的长为___2_cm____.
A
D
B
C
∠C=140°
知识点 3 两条平行线之间的距离
例1 如图， ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD， 垂足分别为E，F．求证：AE=CF．
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A= ∠C，AD=CB.
又∠AED= ∠CFB=90°，
∴ △ADE≌△CBF，
∴AE=CF.
变式：DE=BF 吗？
误区 诊断
误区 一 不理解平行四边形的对角、邻角等概念
1.在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的 值可以是（ ）
A. 1:2:3:4
B. 1:2:2:1
C. 2:2:1:1
D. 2:1:2:1
错解：A、B或C
正解：D
错因分析：不理解平行四边形的对角、邻 角的概念，∠A与∠C，∠D与∠B是对角，平行 四边形的对角相等，∠A：∠C与∠D：∠B的比 值也应相等.
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）．
知识点 2 平行四边形的边角关系
由平行四边形的定义， A
我们知道平行四边形的两组
对边分别平行.
B
D C
想 一 想 平行四边形还有什么性质？
探究
人教版八年级数学下册第十八章平行四边形复习小结说课稿
2.平行四边形的性质：平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分。
3.平行四边形的判定：根据平行四边形的性质，可以判断一个四边形是否为平行四边形。
4.平行四边形的几何图形特征：平行四边形的对角线互相平分，对边相等且平行。
（二）教学目标
1.创设情境：通过生活实例引入平行四边形的概念，让学生感受到数学与实际的联系，激发他们的学习兴趣。
2.小组合作：组织学生进行小组讨论和合作探究，鼓励他们分享自己的想法，提高他们的参与度和积极性。
3.问题驱动：提出具有挑战性的问题，引导学生运用已有的知识去解决问题，培养他们的思考能力和解决问题的能力。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我会引导学生进行自我评价，并提供有效的反馈和建议。首先，我会让学生回顾本节课所学内容，总结自己的收获和感悟。然后，我会邀请学生分享他们的学习心得和困惑，针对性地给予反馈和建议。最后，我会对学生的表现进行点评，强调平行四边形在实际生活中的应用，鼓励他们积极运用所学知识解决实际问题。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习和实践活动：
1.课堂练习：设计一些具有代表性的练习题，让学生在课堂上完成，及时巩固所学知识。
2.小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同解决一些综合性问题，培养他们的合作能力和解决问题的能力。
3.几何画板操作：让学生利用几何画板绘制平行四边形，并探索平行四边形的性质，增强他们的动手操作能力和空间想象力。
（三）互动方式
在教学过程中，我将设计多样的师生互动和生生互动环节。例如，在导入新课时，我会提出与生活相关的问题，引导学生思考和讨论；在讲解平行四边形的性质时，我会邀请学生上台演示和解释，增强他们的参与度；在练习环节，我会组织学生进行小组讨论，鼓励他们分享解题思路；在总结环节，我会邀请学生代表分享他们的学习心得，促进生生互动。这些互动方式可以激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度和合作能力，培养他们的沟通能力和团队精神。
2019春八年级数学下册 18 平行四边形本章小结学案 (新版)新人教版
本章小结学习目标1.回顾平行四边形及各种特殊平行四边形的性质与判定,三角形的中位线及其性质,直角三角形斜边上的中线的性质.(重点)2.正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别,在反思和交流过程中,逐渐建立知识体系.(难点)3.总结本章的重要思想方法.学习过程一、合作探究阅读第十八章全章内容,回答下列问题:1.填写下表:总结平行四边形矩形菱形正方形边平行且相等平行且相等平行,相等平行,相等角相等都是直角相等都是直角互相互相互相,且每条对角线平分一组互相且,每条对角线平分一组判定1.两组对边分别;2.两组对边分别;3.一组对边且;4.两组对角分别;5.两条对角线互相.1.有角是直角的四边形;2.有角是直角的;3.相等的.1.四边的四边形;2.对角线互相的平行四边形;3.有一组邻边的平行四边形.4.每条对角线一组对角的四边形.1.有一个角是的菱形;2.对角线的菱形;3.有一组邻边的矩形;4.对角线互相的矩形;对称性只是图形既是图形,又是图形面积S=S=S=S=2.我们学习了一般的平行四边形和一些特殊的平行四边形,下图表示了在某种条件下它们之间的相互转化.请你对下图标上的5个数字序号写出相对应的条件.3.三角形的中位线及其性质是什么?4.直角三角形斜边上的中线有何性质?5.矩形被其一条对角线分成两个三角形,被其两条对角线分成四个三角形;菱形被其一条对角线分成两个三角形,被其两条对角线分成四三角形;正方形被其一条对角线分成两个三角形,被其两条对角线分成四个全等三角形.6.矩形有条对称轴,菱形有条对称轴,正方形有条对称轴.二、自主练习【例1】如图,E,F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点,给出下列三个条件:①BE=DF;②∠AEB=∠DFC;③AF∥EC.请你从中选择一个适当的条件,使四边形AECF是平行四边形,并证明你的结论.【例2】如图,点E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状,并证明你的结论.【例3】如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8 cm,BD=6 cm,DH⊥AB于H,求高DH 的长.【例4】如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O是正方形A'B'C'O的一个顶点,如果两个正方形的边长相等,那么正方形A'B'C'O绕点O无论怎样转动,两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一,你能说明理由吗?(提示:寻找全等三角形)【例5】如图,△ABC中,BD,CE为高,F是边BC的中点,判断△DEF的形状,并说明理由.三、跟踪练习1.已知▱ABCD的周长为36 cm,AB=15 cm,则AD= ()A.21 cmB.6 cmC.10.5 cmD.3 cm2.菱形的周长为40 cm,一条对角线长为16 cm,则其另一条对角线长()A.12 cmB.6 cmC.16 cmD.8 cm3.在△ABC中,D,E分别是BC,AC边的中点,若AB=4 cm,BC=5 cm,AC=6 cm,则DE= cm.4.矩形ABCD的边AB长5 cm,对角线AC长13 cm,则矩形的周长是cm.5.如图,直线AE∥BD,点C在BD上,若AE=5,BD=8,△ABD的面积为16,则△ACE的面积是.6.已知:如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,求以AC为边长的正方形ACEF的周长.四、变式演练1.如图,在四边形ABCD中,点H是边BC的中点,作射线AH,在线段AH及其延长线上分别取点E,F,连接BE,CF.(1)请你添加一个条件,使得△BEH≌△CFH,你添加的条件是,并证明;(2)在问题(1)中,当BH与EH满足什么关系时,四边形BFCE是矩形?请说明理由.2.现有一张矩形纸片ABCD,如图所示,其中AB=4 cm,BC=6 cm,E是BC的中点.实际操作:将纸片沿直线AE折叠,使点B落在四边形AECD内,记为点B'.(1)请用尺规在图中作出△AEB'(保留作图痕迹);(2)试求B',C两点之间的距离.五、达标检测(一)选择题1.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是()A.AC=BD,AB=CD,AB∥CDB.AD∥BC,∠A=∠CC.AO=BO=CO=DO,AC⊥BDD.AO=CO,BO=DO,AB=BC2.如图,将一个边长分别为4,8的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合,则折痕EF 的长是()A. B.2C. D.23.两个全等的三角形(不等边)可拼成不同的平行四边形的个数是()A.1B.2C.3D.44.已知点A(2,0),B,C(0,1),以A,B,C三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点不可能在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.如图,是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD,小明从顶点A沿着花坛间小路直到走到长边中点O,再从中点O走到正方形OCDF的中心O1,再从中心O1走到正方形O1GFH的中心O2,又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3,再从中心O3走到正方形O3KJP的中心O4,一共走了31m,则长方形花坛ABCD的周长是()A.36 mB.48 mC.96 mD.60 m(二)填空题6.如图,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于.7.平行四边形两邻边长分别为20和16,若两较长边之间的距离为4,则两较短边之间的距离为.8.如图,四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直,四边形A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形.如果AC=8,BD=10,那么四边形A1B1C1D1的面积为.9.如图,▱ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F,若△FDE的周长为10,△FCB的周长为22,则FC的长为.10.将一张长方形的纸对折,如图所示,可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到条折痕,如果对折n次,可以得到条折痕.(三)解答题11.如图,直线a,b相交于点A,C,E分别是直线b,a上两点且BC⊥a,DE⊥b,点M,N分别是EC,DB的中点.求证:(1)DM=BM;(2)MN⊥BD.12.已知:在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,CE=CD,点F为CE的中点,点G为CD上的一点,连接DF,EG,AG,∠1=∠2.(1)若CF=2,AE=3,求BE的长;(2)求证:∠CEG=∠AGE.参考答案一、合作探究1.平行四矩菱正方边形形形形边对边平行且相等对边平行且相等对边平行,四边相等对边平行,四边相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角续表平行四边形矩形菱形正方形判定1.两组对边分别平行;2.两组对边分别相等;3.一组对边平行且相等;4.两组对角分别相等;5.两条对角线互相平分.1.有三个角是直角的四边形;2.有一个角是直角的平行四边形;3.对角线相等的平行四边形.1.四边相等的四边形;2.对角线互相垂直的平行四边形;3.有一组邻边相等的平行四边形;4.每条对角线互相垂直且平分一组对角的四边形.1.有一个角是直角的菱形;2.对角线相等的菱形;3.有一组邻边相等的矩形;4.对角线互相垂直的矩形.对称性只是中心对称图形既是轴对称图形,又是中心对称图形面积S=ah S=ab S=d1d2S=a22.(1)两组对边分别平行;(2)有一个角是直角;(3)有一组邻边相等;(4)有一组邻边相等;(5)有一个角是直角.3.略4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.5.略6.224.二、自主练习【例1】选①(答案不唯一)证明:如图,连接AC交BD于O.∴AO=CO,OB=OD.又∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,∴OE=OF.又∵AO=CO,∴四边形AECF为平行四边形.【例2】解:四边形EFGH为平行四边形.如图,连接AC,在△ACD中,H,G分别为AD,CD的中点,∴HG∥AC,HG=AC.同理:EF∥AC,EF=AC.∴HG∥EF,HG=EF.∴四边形EFGH为平行四边形.【例3】解:∵四边形ABCD为菱形,∴AO=AC=4 cm,OB=BD=3 cm.AC⊥BD,∴在Rt△AOB中,AB==5(cm).又∵S△ABD=DH·AB=AO·BD.∴DH=(cm).【例4】解:∵∠BOF+∠A'OB=90°,∠A'OB+∠AOE=90°.∴∠BOF=∠AOE.又∵OA=OB,∠OAE=∠OBF.∴△AOE≌△BOF.∴S△AOE=S△BOF.∴S四边形EBFO=S△BOF+S△OEB=S△AOE+S△OEB=S△ABO=S正方形ABCD.【例5】解:△DEF为等腰三角形.在Rt△BEC中,∵F为BC的中点,∴EF=BC,同理:FD=BC,∴FD=EF.∴△DEF为等腰三角形.三、跟踪练习1.D2.A3.24.345.106.解:由菱形的性质得:AB=BC,又∵∠B=60°,∴△ABC为等边三角形.∴AC=AB=4.∴C正方形ACEF=4AC=4×4=16.四、变式演练1.解:(1)添加条件:BE∥CF(答案不唯一).证明:如题图,∵BE∥CF,∴∠1=∠2.∵点H是边BC的中点,∴BH=CH.又∵∠3=∠4,∴△BEH≌△CFH.(2)当BH=EH时,四边形BFCE是矩形,理由如下:如图,连接BF,CE,∵△BEH≌△CFH,∴BH=CH,EH=FH.∴四边形BFCE是平行四边形.又∵BH=EH,∴BC=EF,∴四边形BFCE是矩形.2.解:(1)如图所示.(2)如图,连接BB',B'C,设BB'与AE交于点F.因为点B,B'关于直线AE对称,所以BE=B'E,所以∠EBB'=∠EB'B.因为BE=EC,所以B'E=EC,所以∠ECB'=∠EB'C.因为∠EBB'+∠EB'B+∠EB'C+∠ECB'=180°,所以∠BB'C=90°.因为BC=6 cm,E是BC的中点,所以BE=3 cm.在Rt△ABE中,AB=4 cm,BE=3,根据勾股定理,得AE=5 cm,所以BF=cm,所以BB'= cm.在Rt△BB'C中,根据勾股定理,得B'C=.故B',C'两点之间的距离为cm.五、达标检测1.C2.D3.C4.C5.C6.30°7.58.209.610.152n-111.证明:(1)∵BC⊥a,DE⊥b,∴∠CDE=∠CBE=90°,∴△CBE,△CDE为直角三角形,∵点M是EC的中点,∴DM=BM=EC,∴DM=BM;(2)∵DM=BM,∴△MDB为等腰三角形,又∵N为BD的中点,∴MN为BD边上的中线,∴MN⊥BD(三线合一).12.解:(1)∵点F为CE的中点,∴CE=C D=2CF=4.又∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD=4.在Rt△ABE中,由勾股定理,得:BE=.(2)证明:如图,延长AG,BC交于点H.∵CE=CD,∠1=∠2,∠C=∠C,∴△CEG≌△CDF.∴CG=CF.∵点F为CE的中点,即CF=EF=CE,又CE=CD,∴CG=GD=CD.∵AD∥BC,∴∠GAD=∠H,∠ADG=∠GCH.∴△ADG≌△HCG.∴AG=HG.∵∠AEH=90°,∴EG=AH=GH.∴∠GEH=∠H=∠AGE.。
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（3）当如图①的情况，DF=AC-DE=6-4=2； 当如图②的情况，DF=AC+DE=6+4=10．
针对训练
1.如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，
BD=6cm，则AD的长为
（A）
A．4cm B．5cm
C．6cm D．8cm
1 2
BC，
1 2
BC，DC=
1 2
AB.
∴DE ∥FC，DE =FC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF，
∴EF=
1 2
AB=6．
针对训练
4.如图，等边三角形ABC中，点D，E分别为AB， AC的中点，则∠DEC的度数为（ B ） A．150° B．120° C．60° D．30°
5.如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中
∵四边形AGCD是平行四边形，DC＝10，
AG＝DC＝10，
在Rt△ABG中，根据勾股定理得AB＝8，
∴四边形AGCD的面积为6×8＝48.
例2 在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，
过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC
于点E．
(1)当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．
第十八章
学练优八年级数学下（RJ） 教学课件
平行四边形
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
一、几种特殊四边形的性质
项目
四边形
边
角
对角线
对称性
对边平行 且相等
对角相等
互相平分
对边平行 且相等
对边平行 且四边相等
四个角 都是直角
对角相等
互相平分且相等 互相垂直且平分，每一条
对角线平分一组对角
轴对称图形 轴对称图形
考点三 特殊平行四边形的性质与判定
2.如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O，
AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则△BOC的周
长是
（B）
A．45cm B．59cm
C．62cm D．90cm
3.如图是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作 原理如图．雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB=CD且 AD=BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于 玻璃窗下沿BC，请证明这一结论．
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
3.直角三角形斜边上的中线： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
考点讲练
考点一 平行四边形的性质与判定
例1 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝ 90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD 的中点，连接DE、FG.
(1)求证：四边形DEGF是平行四边形； (2)如果点G是BC的中点，且BC＝12，DC＝10，求
四边形AGCD的面积．
解：(1)∵AG∥DC，AD∥BC， ∴四边形AGCD是平行四边形， ∴AG＝DC.
∵E、F分别为AG、DC的中点，
∴GE＝
1 2
AG，DF＝
1 2
DC，
即GE＝DF，GE∥DF，
∴四边形DEGF是平行四边形.
(2)∵点G是BC的中点，BC＝12，
∴BG＝CG＝
1 2
BC＝6.
∠DHA+∠FHA=∠DHF， ∴∠DHF=∠BAC， ∴∠DHF=∠DEF．
例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E
分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF= 1 BC．若AB=12，求EF的长．
2
解：连接CD，
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=
∵CF=
对边平行 四个角 且四边相等 都是直角
互相垂直平分且相等，每 轴对称图形 一条对角线平分一组对角
二、几种特殊四边形的常用判定方法：
四边形
条件
平行 四边形
1.定义：两组对边分别平行 2.两组对边分别相等
3.两组对角分别相等
4.对角线互相平分
5.一组对边平行且相等
矩形
1.定义：有一个角是直角的平行四边形 2.对角线相等的平行四边形 3.有三个角是直角的四边形
点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=4m，∠A=30°，
则DE等于
（ A）
A．1m B．2m
C．3m D．4m
6.如图，在△ABC中，∠CAB=90°，DE、DF是 △ABC的中位线，连接EF、AD，求证：EF=AD．
证明：∵DE，DF是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形， 又∵∠BAC=90°， ∴平行四边形AEDF是矩形， ∴EF=AD．
证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴DE、EF都是△ABC的中位线， ∴EF∥AB，DE∥AC， ∴四边形ADEF是平行四边形.
（2）∵四边形ADEF是平行四边形， ∴∠DEF=∠BAC， ∵D，F分别是AB，CA的中点，
AH是边BC上的高， ∴DH=AD，FH=AF， ∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA， ∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，
菱形
1.定义：一组邻边相等的平行四边形 ;2.对角线互相垂 直的平行四边形,3.四条边都相等的四边形
正方形 1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
2.有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形
三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
5种判 定方法
一个角是直角且一组邻边相等
四、其他重要概念及性质 1.两条平行线之间的距离： 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直 线的距离叫做两条平行线之间的距离. 2.三角形的中位线定理：
证明：∵DF∥AC，DE∥AB， ∴四边形AFDE是平行四边形． ∴AF=DE. ∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C, 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠FDB=∠B, ∴DF=BF, ∴DE+DF=AF+BF=AB=AC.
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在 边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、 图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． （3）若AC=6，DE=4，求DF的值．
证明：∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. 又∵EF⊥AD， ∴EF⊥BC．
图 图
考点二 三角形的中位线 例3 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC， CA的中点，AH是边BC上的高． （1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）求证：∠DHF=∠DEF．