2021年重庆市渝中区巴蜀中学中考数学一诊试卷-解析版

2021年重庆市渝中区巴蜀中学中考数学一诊试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1.在−3，−1
2
，0，2四个数中，最小的数是()
A. −3
B. −1
2
C. 0
D. 2
2.如图，四个图标分别是北京大学、浙江大学、北京理工大学和山东理工大学的校徽
的重要组成部分，其中是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
3.下列计算中，正确的是()
A. a3+a3=a6
B. a3⋅a3=a6
C. (a2)3=a5
D. a6÷a3=a2
4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，则∠BOC的度数为()
A. 40°
B. 50°
C. 80°
D. 100°
5.估计2√7−2的值应在()
A. 4和5之间
B. 3和4之间
C. 2和3之间
D. 1和2之间
6.小明同学为庆祝建国71周年，用五角星按一定规律摆出如下图案，第9个图案需
要()颗五角星．
A. 24
B. 27
C. 28
D. 30
7.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，
索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”.其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.若设竿长x尺，绳索长y尺，则符合题意的方程组为()
A. {y=x+5
x=1
2
y+5
B. {
y=x+5
x=1
2
y−5
C. {
y=x−5
x=1
2
y−5
D. {
y=x−5
x=1
2
y+5
8.以下尺规作图中，点D为线段BC边上一点，一定能得到线段AD=BD的是()
A. B.
C. D.
9.国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解
决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在改造时
把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1：0.75的山坡CD
的平台BC上(如图)，测得∠AED=52.5°，BC=5米，
CD=35米，DE=19米，则铁塔AB的高度约为(参考
数据：sin52.5°≈0.79，cos52.5°≈0.61，tan52.5°≈
1.30)()
A. 7.6米
B. 27.5米
C. 30.5米
D. 58.5米
10.若整数a使得关于x的方程2−3
x−2=a
2−x
的解为非负数，且使得关于y的一元一次
不等式组{3y−2
2
+2>y−2
2
y−a
10
≤0
至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a的和为()
A. 23
B. 25
C. 27
D. 28
11.已知A、B两地相距810千米，甲车从A地匀速前往B地，到达B地后停止.甲车出
发1小时后，乙车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止.设甲乙两车之间的距离为y(千米)，甲车出发的时间为x(小时)，y与x的关系如图所示，对于以下说法：①乙车的速度为90千米/时；②点F的坐标为(10,540)；③图中a的值是13.5；④当甲乙两车相遇时，两车相遇地距A地的距离为360千米.其中正确的结论是()
A. ①②③④
B. ①②③
C. ①②④
D. ①③④
12.如图，在△ABC中，tan∠ACB=1
，D为AC的中点，
2
点E在BC上，连接DE，将△CDE沿着DE翻折，得到
△FDE，点C的对应点是点F，EF交AC于点G，当EF⊥
EC时，△DGF的面积15
，连接AF，则AF的长度为()
4
A. 2
B. √5
C. √6
D. √10
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13.(π−1)0−tan60°=______ ．
14.从某个多边形的一个顶点可以引出3条对角线，则这个多边形内角和的度数为
______ ．
15.现将背面完全相同，正面分别标有数−6、1、2、3的4张卡片洗匀后，背面朝上，
从中任取一张，将该卡片上的数标记为m，再从剩下的3张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为n，则数字m、n都不是方程x2−5x+6=0的解的概率为______．16.如图，在矩形ABCD中，∠DBC=30°，DC=2，E为AD上一点，以点D为圆心，
以DE为半径画弧，交BC于点F，若CF=CD，则图中的阴影部分面积为______ (结果保留π)．
(k≠0)的图象上，
17.如图，点DE在反比例函数y=k
x
且点D是平行四边形OABC的对角线AC与OB的交
点，连接DE，若AE：OE=2：3，S△ADE=11
，则
4
k的值为______ ．
18.重庆市某服装厂配套生产一批校服，有领带、衬衫、T恤三种.3月份，该厂家生产
的领带、衬衫、T恤的数量比是4：5：6，马上进入4月份，春暖花开，气温骤升，
该厂家立刻又生产了一批三种服装，其中衬衫增加的数量占总增加数量的2
5
，此时
衬衫的总数量将达到三种服装总数量的11
30
，此时领带与T恤的数量比是6：13，已知领带、衬衫、T恤这三种服装的成本价格分别是15元，60元，50元，厂家决定
领带有1
6
作为促销礼物赠送，领带剩余部分按成本价格卖出，其余产品全部售出，最后三种服装的总利润率是50%，衬衫、T恤的销售价格均为正整数且均盈利，那么衬衫的售价最高是______ 元.
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
19.化简：
(1)(x−2y)2−(x+y)(x−y)；
(2)a2−2a
a2+2a+1÷(3
a+1
−a+1)．
20.如图，已知AD是△ABC的高，∠ABC=45°，E为AC上一
点，连AD、BE交于点F，且∠CBE=∠CAD．
(1)求证：△BFD≌△ACD．
(2)若BD=5，CD=2，AE=15√29
29
，则EF等于多少？
21.为了研究国内电影市场发展状况，李子维同学统计了2018
年和2019年内地票房20强，将数据精确到个位后分为5组，
A组：0≤x<10，B组：10≤x<20，C组：20≤x<30，
D组：30≤x<40，E组：40≤x≤50，现将数据整理分析
如下：
[数据收集]2018年内地票房20强票房如下(单位：亿元)：
7，8，8，9，10，10，12，13，13，13，14，17，19，20，22，24，25，31，34，
36
2019年内地票房20强票房在B组中的如下(单位：亿元)：
10，11，11，13，14，14，15，17，17
[数据整理]2019年内地票房20强票房扇形统计图如图．
[数据分析]两组数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
平均数众数中位数方差2018年16.75a13.579.04
2019年19.259b171.04
[问题解决]
(1)请直接写出a=______，b=______，扇形统计图中D组所对圆心角为______度；
(2)经统计，2019年内地票房20强总票房占全年总票房的7
，请求出2019年全年
12
总票房；
(3)你认为2018年和2019年相比，哪一年的内地票房20强整体表现更好？并说明
理由．
22. 在函数的学习中，我们经历“确定函数表达式--画函数图象--利用函数图象研究函
数性质--利用图象解决问题”的学习过程，画函数图象时，我们常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象，请根据你学到的函数知识探究函数y 1={2−|x|(x <2)
x−2
x−1(x ≥2)的图象与性质并利用图象解决如下问题： 列出y 1与x 的几组对应的值如表： x …
−3
−2
−1 0
1 2 3 4 5 … y
… m
0 1 2
1
n
23
34
…
(1)根据表格中x 、y 的对应关系可得m = ______ ，n = ______ ；
(2)用你喜欢的方式画出该函数图象：根据函数图象，写出该函数的一条性质：______ ；
(3)直接写出当函数y 1的图象与直线y 2=kx +1有三个交点时，k 的取值范围是______ ．
23.任意一个四位数n可以看作由前两位数字和后两位数字组成，交换这两个两位数得
到一个新的四位数m，记f(n)=n−m
．
99
=−22．例如：当n=1234时，则m=3412，则f(1234)=1234−3412
99
(1)直接写出f(1111)=______ ，f(5025)=______ ．
(2)求证：对任意一个四位数n，f(n)均为整数．
(3)若s=1200+10a+b，t=1000b+100a+14(1≤a≤5,1≤b≤5,a、b均为
整数)，当f(s)+f(t)是一个完全平方数时，求满足条件s的最大值．
24.“谁言寸草心，报得三春晖”，每年5月的第二个星期日为母亲节，某礼品商城经
营A、B两种母亲节礼盒，礼盒A售价为每份200元，礼盒B售价为每份150元．
(1)已知礼盒A的进价为120元，礼盒B的进价为100元，该礼品盒商城五月份第
一周准备购进两种礼盒共200份，若将两种礼盒全部销售，要使总利润不低于13600元，求最多购进礼盒B多少份？
(2)为了获得更多利润，根据销售情况和市场分析，该礼品商城第二周决定将礼盒A
a%，礼盒B的售价保持不变，结果与(1)中获得最低利润时的销售量的售价下调1
2
相比，礼盒A的销售量增加了2a%，而礼盒B的销售量增加了a%，最终第二周的
a%，求a的值．
销售额比第一周的销售额增加了16
15
25.如图，抛物线y=ax2+bx−3(a>0)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，OB=3，
抛物线经过点(2,5)．
(1)求该抛物线解析式；
(2)如图1，该抛物线顶点D，连接BD、BC，点P是线段BD下方抛物线上一点，
过点P作PE//y轴，分别交线段BD、BC于点F、E，过点P作PG⊥BD于点G，求2√5PG+EF的最大值，及此时点P的坐标；
(3)如图2，在y轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以
AN为直角边的等腰直角三角形AMN？若存在，请直接写出点M的坐标．
26.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，分别过点B作BC的垂线，过点D作CD
的垂线，两垂线相交于点E．
(1)如图1，若AD=4，连接AE，BD，求三角形ADE的面积；
(2)如图2，点F是DE延长线上的一点，点G为EB延长线上的一点，且EF=BG，
连接BF，DG，DG交FB的延长线于点H，连接AH，试猜想线段AH，BH，HD 的数量关系并证明你的结论；
(3)如图3，在(2)的条件下，在AH上取得一点P，使得HP=3AP，已知Q为直线
ED上一点，连接BQ，连接QP，当BQ+QP最小时，直接写出S△QDC
S
菱形ABCD
的值．
答案和解析
1.【答案】A
<0<2，
【解析】解：−3<−1
2
故选：A．
根据正数大0，0大于负数，可得答案．
本题考查了有理数比较大小，正数大0，0大于负数是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】B
【解析】解：A、a3+a3=2a3，故此选项错误；
B、a3⋅a3=a6，故此选项正确；
C、(a2)3=a6，故此选项错误；
D、a6÷a3=a3，故此选项错误．
故选：B．
直接利用幂的乘方运算法则以及合并同类项法则和同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算以及合并同类项和同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°．
故选：D．
由⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数．
此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
5.【答案】B
【解析】解：∵25<28<36，
∴5<2√7<6，即3<2√7−2<4，
则2√7−2的值应在3和4之间．
故选：B．
原式第一项利用二次根式性质变形，估算得到结果，即可作出判断．
此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：设第n个图案需要a n(n为正整数)颗五角星．
观察图形，可知：a1=3×1+1，a2=3×2+1，a3=3×3+1，…，
∴a n=3n+1，
∴a9=3×9+1=28．
故选：C．
设第n个图案需要a n(n为正整数)颗五角星，根据各图形中五角星颗数的变化，可找出变化规律“a n=3n+1(n为正整数)”，再代入n=9即可得出结论．
本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中五角星颗数的变化，找出变化规律“a n=3n+1(n为正整数)”是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：设竿长x尺，绳索长y尺，由题意得：
{y=x+5
x=1
2
y+5，
故选：A．
根据题意可得等量关系：绳索长=竿长+5尺，竿长=绳索长的一半+5尺，根据等量关系可得方程组．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．
8.【答案】D
【解析】解：A、AD为BC边的高；
B、AD为角平分线，
C、D点为BC的中点，AD为BC边上的中线，
D、点D为AB的垂直平分线与BC的交点，则DA=DB．
故选：D．
利用基本作图，前面三个作图AD分别为三角形高线、角平分线和中线，第四个作了AB 的垂直平分线，从而得到DA=DB．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质．
9.【答案】C
【解析】解：延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，
∴GF=BC=5，
∵山坡CD的坡度为1：0.75，
∴设DF=3k，CF=4k，
∴CD=5k=35，
∴k=7，
∴DF=21，BG=CF=28，
∴EG=GF+DF+DE=5+21+19=45，
∵∠AED=52°，
∴AG=EG⋅tan52°≈45×1.30=58.5，
∴AB=30.5米，
答：铁塔AB的高度约为30.5米．
故选：C．
延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，得到GF=BC=5，设DF=3k，CF=4k，解直角三角形得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题和解直角三角形的应用−坡度坡角问题，
难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键． 10.【答案】B
【解析】解：分式方程去分母得：2(x −2)−3=−a ，
整理得：2x −4−3=−a ，
解得：x =7−a 2，
∵分式方程的解为非负数，且a 为整数，
∴7−a 2≥0且7−a 2≠2，即a ≤7且a ≠3，
不等式组整理得：{y >−2y ≤a
，即−2<y ≤a ， ∵不等式组至少有3个整数解，
∴a ≥1，
综上，a 的范围为1≤a ≤7，即a =1，2，4，5，6，7，
则满足条件的a 之和为1+2+4+5+6+7=25．
故选：B ．
表示出分式方程的解，根据解为非负数确定出a 的范围，表示出不等式组的解集，由解集中至少有3个整数解，确定出a 的范围，进而求出a 的具体范围，确定出整数a 的值，求出之和即可．
此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：①∵甲车1小时行驶810−750=60千米，
∴甲车行驶的速度为60千米/时．
设乙车的速度为x 千米/时，
根据题意得，6×60+5x =810，
解得x =90．
即乙车的速度为90千米/时．故结论①正确；
②∵乙车从B 地到达A 地的时间为：810÷90=9(小时)，
∴F 点横坐标为：9+1=10，
∵甲车10小时行驶的路程为：60×10=600(千米)，
∴点F 的坐标为(10,600).故结论②错误；
③∵甲车从A地匀速前往B地的时间为：810÷60=13.5(小时)，
∴a=13.5.故结论③正确；
④当甲乙两车相遇时，甲车行驶了6小时，
行驶的路程为：60×6=360(千米).故结论④正确．
故选：D．
根据图象可知甲车1小时行驶60千米，得出甲车行驶的速度为60千米/时．设乙车的速度为x千米/时，根据相遇时甲车行驶的路程+乙车行驶的路程=全程列出方程，求出乙车的速度，即可判断①；根据图象可知F点时乙车从B地到达A地，求出F点横坐标，进而求出纵坐标，即可判断②；根据图象可知a的值是甲车从A地匀速前往B地的时间，由时间=路程÷速度即可判断③；当甲乙两车相遇时，两车相遇地距A地的距离即为甲车行驶的路程，根据图象可知甲车行驶6小时与乙车相遇，用甲车速度乘以6，即可判断④．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，掌握路程、速度、时间之间的关系，属于中考常考题型．
12.【答案】D
【解析】解：由题意得，△EDC≌△EDF，
∴∠CED=∠FED，
∵EF⊥EC，
∴∠FED=∠CED=45°，
作DM⊥EF于M，AN⊥EF于N，
设DM=x，则EM=x，
∵∠EFD=∠ACB，
=2x，
∴FM=DM
tan∠EFD
∵∠GDM=∠ACB，
∴DM//BC，
∴GM=tan∠GDM⋅DM=x
，
2
∴FG=FM−GM=3x
2
，
∴S△DGE=1
2FG⋅DM=1
2
×3x
2
×x=15
4
，
解得：x=√5，
∴FD=√5x=5，GD=√5x
2=5
2
，AD=OD=FD=5，
∴G是AD的中点，
即AG=DG，
∵∠ANG=∠DMG=90°，∠AGM=∠DGM，∴△ANG≌△DMG(AAS)，
∴GN=GM=x
2=√5
2
，
∴FN=FM−NM=2√5−√5=√5，
∴AN=DM=√5，
∴AF=√AN2+FN2=√(√5)2+(√5)2=√10．
故选：D．
直接利用翻折变换的性质得出DM的长，再利用勾股定理得出AF的长，即可．
此题是折叠问题，主要考查了勾股定理和翻折变换的性质，得出DM的长是解题关键．13.【答案】1−√3
【解析】解：原式=1−√3．
故答案为：1−√3．
直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
14.【答案】720°
【解析】解：∵多边形从一个顶点出发可引出3条对角线，
∴n−3=3，
解得n=6，
∴内角和=(6−2)⋅180°=720°．
故答案为：720°．
根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式(n−3)求出边数，然后根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°列式进行计算即可得解．
本题考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线的公式，求出多边形的边数是解题的关键．
15.【答案】1
6
【解析】解：画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，
∵x2−5x+6=0的解为x=2或x=3，
∴数字m、n都不是方程x2−5x+6=0的解的有2种结果，
所以数字m、n都不是方程x2−5x+6=0的解的概率为2
12=1
6
，
故答案为：1
6
．
画树状图列出所有等可能情况，再找出数字m、n都不是方程x2−5x+6=0的解的情况，利用概率公式计算可得．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
16.【答案】4√3−π−2
【解析】解：连接DF，∵ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=∠ADC=90°，AD//BC，AB=CD=2，
∴∠ADB=∠DBC=30°，
∴BD=2AB=4，
∴AD=√BD2−AB2=2√3，
在Rt△CDF中，∵CF=CD=2，
∴∠CDF=∠CFD=45°，DF2=CD2+CF2=8，
∴∠EDF=90°−45°=45°，
∴S
阴影=S
矩形ABCD
−S
扇形DEF
−S△DCF=AD⋅CD−45π⋅DF2
360
−1
2
CD⋅CF=2×2√3−
45×π×8 360−1
2
×2×2=4√3−π−2，
故答案为：4√3−π−2．
由矩形和含30°直角三角形的性质求出∠EDF的度数和AD的长度，由勾股定理求出DF，
再求出矩形ABCD的面积，扇形DEF的面积，三角形DCF的面积，最后根据面积的和差即可求出阴影部分面积．
本题主要考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，矩形的性质，根据等腰三角形的性质求出∠CDF和根据勾股定理求出DF是解决问题的关键．
17.【答案】55
2
【解析】解：分别过点E、D、A作EP⊥OC，DM⊥OC，AN⊥OC，垂足分别为O、M、N，
∵△ADE和△ODE同高，
∴S△ADE：S△ODE=AE：OE=2：3，
∵S△ADE=11
4
，
∴S△ODE=33
8
，
∴S△AOD=55
8
，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴S△AOD=S△COD=S△BDC=S△ABD，
∴S▱OABC=55
2
，
设C(a,0)，A(b,c)，则ac=55
2①，D(a+b
2
,c
2
)，
∵点D在反比例函数y=k
x
(k≠0)的图象上，
∴c
2=2k
a+b
②，
∵AE：OE=2：3，
∴OE：OA=3：5，
∵EP⊥OC，AN⊥OC，∴EP//AN，
∴OP
ON =EP
AN
=3
5
，
∴E(3
5b,3
5
c)，
∵点E在反比例函数y=k
x
(k≠0)的图象上，
∴3
5c=5k
3b
③，
联立①②③得：k=55
2
．
故答案为：55
2
．
分别过点E、D、A作EP⊥OC，DM⊥OC，AN⊥OC，垂足分别为O、M、N，求出△ODE
的面积，从而得出平行四边形OABC的面积，设C(a,0)，A(b,c)，可得ac=55
2
，根据平
行线分线段成比例定理得出点E、D的坐标，代入反比例函数y=k
x
(k≠0)，联立求解即可解答本题．
本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上的点的特征、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．18.【答案】112
【解析】解：设3月份该厂家生产的领带，衬衫，T恤的数量分别为4x，5x，6x；4月份三种服装增加数量为5y，则衬衫增加数量为2y，设4月份领带增加的数量为a，则T
恤增加的数量为3y−a，此时衬衫的总数量将达到三种服装总数量的11
30
，
则5x+2y
4x+5x+6x+5y =11
30
，解得y=3x，
∵领带与T恤的数量比是6：13，
则(4x+a)：(6x+3y−a)=6：13，
解得a=2x，
∴4x+a=6x，5x+2y=11x，6x+3y−a=13x，
∴4月份该厂家生产的领带，衬衫，T恤的数量分别为6x，11x，13x，
∵领带、衬衫、T恤这三种服装的成本价格分别是15元，60元，50元，
则总成本为：15×6x+60×11x+50×13x=90x+660x+650x=1400x，
∵厂家决定领带有1
6
作为促销礼物赠送，领带剩余部分按成本价格卖出，
则领带销售额为：15×5x=75x；
设衬衫，T恤的销售单价分别为b，c，则衬衫销售额为11bx，T恤销售额为13cx，∴领带，衬衫，T恤的总销售额为：75x+11bx+13cx，
∴(75x+11bx+13cx)−1400x=700x，75+116+13c=2100，
即11b=2025−13c，
∵衬衫、T恤的销售价格均为正整数且均盈利，
∴b≥61，c≥51，且b，c均为正整数，
∵11b=2025−13c，
所以当c取得最小值时b取得最大值，且b，c均为正整数，
当c=51时，b=1362
11
不是正整数，不符合题意；
当c=52时，b=1323
11
不是正整数，不符合题意；
当c=53时，b=1336
11
不是正整数，不符合题意；
当c=54时，b=1323
11
不是正整数，不符合题意；
当c=55时，b=1310
11
不是正整数，不符合题意；
当c=56时，b=1297
11
不是正整数，不符合题意；
当c=57时，b=1284
11
不是正整数，不符合题意；
当c=58时，b=1271
11
不是正整数，不符合题意；
当c=59时，b=1258
11
不是正整数，不符合题意；
当c=60时，b=1245
11
不是正整数，不符合题意；
当c=61时，b=1232
11
=112是正整数，符合题意；
∴当c=61时，b取得最大值112．
故答案为：112．
读懂题意，并根据题干中的等量关系，设出未知数，再根据题目中量与量之间的关系，表达出三种服装的总利润，结合总利润率是50%表达出等量，再结合实际意义进行讨论即可．
本题主要考查一次函数的应用，根据题意表达出变量之间的关系，并根据实际问题进行分析是解决本题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=(x2−4xy+4y2)−(x2−y2)
=x2−4xy+4y2−x2+y2
=5y2−4xy；
(2)原式=a(a−2)
(a+1)2÷3−(a−1)(a+1)
a+1
=−a(a−2)
2
⋅
a+1
=−
a
=−a
a2+3a+2
．
【解析】(1)原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴AD=BD，
在△BFD和△ACD中，
{∠CBE=∠CAD ∠FDB=∠CDA BD=AD
，
∴△BFD≌△ACD(AAS)；
(2)∵△BFD≌△ACD，
∴DF=CD=2，∠DBF=∠DAC，
∴∠DBF+∠BFD=∠DAC+∠AFE=90°，
∴∠AEF=90°，
∵BD=AD=5，
∴AF=AD−DF=5−2=3，
在Rt△AEF中，AF=3，AE=15√29
29
，根据勾股定理，得
EF=√AF2−AE2=6√29
29
．
【解析】(1)根据AD是△ABC的高，∠ABC=45°，可得BD=AD，所以△ABD是等腰直角三角形，可得Rt△BDF≌Rt△ADC；
(2)结合(1)根据BD=5，CD=2，AE=15√29
29
，利用勾股定理即可得EF的长．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，能够熟练运用其性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．
21.【答案】13 14 18
【解析】解：(1)观察2018年内地票房20强票房可知：
2018年内地票房20强票房的众数是13，
所以a=13；
因为2019年A组票房为20×25%=5，
2019年内地票房20强票房在B组中的如下(单位：亿元)：
10，11，11，13，14，14，15，17，17，
所以第10个和第11个数是14和14，取平均数为14，
所以b=14；
因为B组百分比为：9÷20=45%，
所以D组百分比为：1−25%−45%−10%−15%=5%，
所以360°×5%=18°，
所以扇形统计图中D组所对圆心角为18度；
故答案为：13，14，18；
(2)设全年总票房为x，根据题意可知：
，
经统计，2019年内地票房20强总票房占全年总票房的7
12
x=19.25×20，
即7
12
解得x=660．
所以2019年全年总票房为660；
(3)2018年和2019年相比，2019年的内地票房20强整体表现更好，理由如下：
因为2019年数据的平均数、中位数都高于2018年，
所以2019年的内地票房20强整体表现更好．
(1)根据2018年内地票房20强票房即可写出a；再根据2019年A组票房为20×25%=5，再利用B组票房数到第10个和第11个数是14和14，取平均数即可写出b；再利用扇形统计图中B组的百分比为9÷20=45%，计算出D组的百分比，进而可得D组所对圆心角的度数；
(2)根据2019年内地票房20强总票房占全年总票房的7
，即可求出2019年全年总票房；
12
(3)根据2018年和2019年两组数据的平均数、众数、中位数、方差进行比较，即可得
哪一年的内地票房20强整体表现更好．
本题考查了扇形统计图、加权平均数、中位数、众数、方差，解决本题的关键是综合运用以上知识．
22.【答案】−11
2
当x≤0或x≥2时，y随x增大而增大，当0<x<2时，y随x增大
而减小−1
2
<k<0
【解析】解：(1)当x=−3时，m=y=2−∣−3∣=−1，
当x=3时，n=y=3−2
3−1=1
2
；
故答案为：−1，1
2
．
(2)当0≤x<2时，y=2−x．当x<0时，y=2+x．
当x≥2时，y=x−2
x−1=1−1
x−1
．
如图，可得当x≤0或x≥2时，y随x增大而增大，当0<x<2时，y随x增大而减小．故答案为：当x≤0或x≥2时，y随x增大而增大，当0<x<2时，y随x增大而减小．
(3)如图，∵直线y2=kx+1经过定点(0,1)，
∴当直线y2=kx+1与x轴交点在点(2,0)右侧时满足条件，
即−1
k >2，−1
2
<k<0．
故答案为：−12<k <0．
(1)将x =−3，x =3代入对应解析式求解．
(2)根据图象写出函数的增减性．
(3)作图观察交点情况，寻找临界值．
本题考查一次函数与反比例函数的结合，解题关键是通过解析式画出对应图象． 23.【答案】0 25
【解析】解：(1)∵n =1111，
∴m =1111，
∴f(1111)=1111−111199=0，
∵n =5025，
∴m =2550，
∴f(5025)=5025−255099=25．
故答案为：0，25；
(2)设任意一个四位数n =abcd −(a,b ，c ，d 为正整数，且a ≠0，c ≠0)，
∴m =cdab −，
∴n −m =abcd −−cdab −=1000a +100b +10c +d −(1000c +100d +10a +b)=990a +99b −990c −99d =99(10a +b −10c −d)，
∴f(n)=n−m 99=99(10a+b−10c−d)99=10a +b −10c −d ，
∵a ，b ，c ，d 为正整数，且a ≠0，c ≠0，
∴f(n)均为整数，对任意一个四位数n ，f(n)均为整数．
(3)∵s =1200+10a +b 且1≤a ≤5，
∴m =1000a +100b +12，
∴s −m =1200+10a +b −(1000a +100b +12)=−990a −99b +1188=99(−10a −b +12)，
∴f(s)=s−m 99=12−10a −b ，
∵t =1000b +100a +14且1≤b ≤5，
∴m′=1400+10b +a ，
∴t −m′=1000b +100a +14−(1400+10b +a)=990b +99a −1386
=99(10b +a −14)
∴f(t)=t−m′99=10b +a −14，
∴f(s)+f(t)=12−10a −b +10b +a −14=9(b −a)−2，
∵f(s)+f(t)是一个完全平方数，
∴9(b −a)−2是一个完全平方数，
∵1≤a ≤5，1≤b ≤5，
∴b −a =1或2或3或4，
当b −a =1时，f(s)+f(t)=7，不是完全平方数，
当b −a =2时，f(s)+f(t)=16，是完全平方数，
∵s =1200+10a +b ，且s 要越大，
∴a 越大，
∴a =3，b =5，此时，s =1200+30+5=1235，
当b −a =3时，f(s)+f(t)=25，是完全平方数，
∵s =1200+10a +b ，且s 要越大，
∴a 越大，
∴a =2，b =5，此时，s =1200+20+5=1225，
当b −a =4时，f(s)+f(t)=34，不是完全平方数，
即当f(s)+f(t)是一个完全平方数时，满足条件s 的最大值1235．
(1)利用新定义直接计算即可得出结论；
(2)设任意一个四位数n =abcd −
(a,b ，c ，d 为正整数，且a ≠0，c ≠0)，可得f(n)=10a +
b −10
c −
d ，依此即可证明；
(3)先求出f(s)和f(t)，进而求出f(s)+f(t)=9(b −a)−2，由题意判断出b −a =1或2或3或4，最后计算判断即可得出结论．
此题考查了完全平方数，新定义，属于数字问题，解本题是关键是求出f(s)+f(t)=
9(b −a)−2以及b −a 值的确定．
24.【答案】解：(1)设购进礼盒Bx 份，则购进礼盒A(200−x)份，
根据题意得：(200−120)(200−x)+(150−100)x ≥13600，
解得：x ≤80，
答：最多购进礼盒B 80份；
(2)根据题意得：
200(1−12a%)(200−80)(1+2a%)+150×80(1+a%)=[200×(200−80)+150×80]×(1+1615a%)，
令m =a%，则原方程整理得：5m 2−2m =0，
解得：m 1=0，m 2=25，
∴a 1=0(不合题意，舍去)，a 2=40．
答：a 的值为40．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
(1)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
(1)设购进礼盒Bx 份，则购进礼盒A(200−x)份，根据总利润=单份利润×销售数量结合总利润不低于13600元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
(2)根据销售总价=销售单价×销售数量结合第二周的销售额比第一周的销售额增加了1615a%，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
25.【答案】解：(1)∵OB =3，
∴B(−3,0)
把C(−3,0)和点(2,5)，代入抛物线y =ax 2+bx −3，
得{9a −3b −3=04a +2b −3=5
， 解得{a =1b =2
， ∴抛物线解析式为y =x 2+2x +3；
(2)延长PE 与x 轴交于点M ，FM ⊥x 轴，
PG ⊥BD ，
如图所示，
∠FMB =90°，∠PGF =90°，
∵∠BFM =∠PFG ，
∴∠MBF =∠GPF ，
∴B(−3,0)，D(−1,−4)，
∴cos∠MBF =cos∠GPF =2√5，
∴2√5PG +EF =EF +FP =PE ，
∴C(0,−3)，
设直线BC 解析式为l BC ：y =kx +b(b ≠0)，
把B(−3,0)和C(0,−3)代入得，
{−3k +b =0b =−3
， 解得{k =−1b =−3
， ∴l BC ：y =−x −3，
设E(m,−m −3)，P(m,m 2+2m −3)，
∴PE =−m −3−(m 2+2m −3)=−m 2−3m =−(m +32)2+94，
∴当m =−32时，PE 有最大值94，
此时，P 点坐标为P(−32,−154)；
(3)存在，
设N(0,y 1)，M(x 2,x 22+2x 2−3)， 当y =0时，代入抛物线y =x 2+2x +3中，
解得两根为−3和1，A 在y 轴右侧，
∴A(1,0)，
∴AN 2=OA 2+ON 2=1+y 1
2， AM 2=(x 2−1)2+(x 22+2x 2−3)2，
MN 2=x 22+(x 22+2x 2−3−y 1)2，
①当AN ⊥MN 时，
此时由AN =MN ，等腰直角三角形各边比为1：1：√2，
∴M 点坐标为−√2−1或−3√2−1，
②由AN ⊥MA 得：
M 点坐标为−2√2−2√3或−2√3−2√7，
综上所述，M 点坐标为−√2−1或−3√2−1或−2√2−2√3或−2√3−2√7．
【解析】(1)OB =3，可知B 的坐标为(−3,0)，把(−3,0)(2,5)代入抛物线的解析式中得抛物线解析式；
(2)延长PE 与x 轴交点M ，FM ⊥x 轴，由已知条件可得∠MBF =∠GPF ，即cos∠MBF =cos∠GPF =2√5，即可得到2√5PG +EF =EF +FP =PE ，两点确定一条直线，由B 、C 坐标可得到直线BC 的解析式为l BC ：y =−x −3，设E(m,−m −3)，P(m,m 2+2m −3)，PE//y 轴，即PE =−(m +32)2+94，当m =−3
2时，PE 有最大值，可求出P 的坐标；
(3)设N(0,y 1)，M(x 2,x 22+2x 2−3)，当y =0时，代入抛物线y =x 2+2x +3，可得A
坐标为(1,0)，在Rt △OACk ，由勾股定理AN 2=1+y 12，由勾股定理得AM 2=(x 2−1)2+
(x 22+2x 2−3)2，MN 2=x 22+(x 22+2x 2−3−y 1)2，①当AN ⊥MN 时，由题意△AMN 为直角三角形，AN =MN 可得M 坐标；②当AN ⊥MA ，
△AMN 为等腰直角三角形，AN =MA ，可得M 坐标．
本题考查二次函数的应用，解本题关键要熟练掌握二次函数的性质，勾股定理，解锐角三角函数，由两点坐标确定直线解析式等．
26.【答案】解：(1)延长BA 交DE 于F ，
∵BE ⊥BC ，CD ⊥DE ，
∴∠CBE =∠CDE =90°，
∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，
∴∠CBD =∠CDB =30°，∠EBA =30°，∠EDA =30°，
∴∠EBD =∠EDB =60°，
∴△EBD是等边三角形，
∵∠EBA=30°，
∴BF⊥DE，DF=EF=1
2
DE，
在Rt△ADF中，AD=4，∠EDA=30°，
∴AF=2，DF=2√3，
∴DE=4√3，
∴三角形ADE的面积=1
2
×4√3×2=4√3，
即三角形ADE的面积为4√3；
(2)BH+HD=√3AH，
证明：连接BD，取BF上一点N使BN=DH，连接AN，EC，过点A作AM⊥BF于M，
由(1)得△EBD是等边三角形，
∴EB=ED，∠BED=∠EBD=60°，
∴∠FEB=∠GBD，
在△BEF和△BDG中，
{EF=BG
∠FEB=∠GBD BE=BD
，
∴△BEF≌△BDG(SAS)，
∴∠EBF=∠BDG，
∵∠ABE=∠ADB=30°，
∴∠EBF+∠ABE=∠BDG+∠ADB，即∠FBA=∠HDA，在△ADN和△ADH中，
{AB=AD
∠FBA=∠HDA BN=DH
，
∴△ABN≌△ADH，
∴AH=AN，∠NAB=∠HAD，
∵∠BAD=120°，即∠HAD+∠BAH=120°，
∴∠NAH=∠NAB+∠BAH=∠HAD+∠BAH=120°，∵AH=AN，AM⊥BF，
∴∠AHM=30°，
∴AH=2AM，√3AM=HM=1
2
NH，
∴1
2NH=√3
2
AH，
∵NH=BH+BN=BH+HD，
∴BH+HD=√3AH；
(3)取点P关于DE的对称点P′，连接BP′交DE于点Q，此时BQ+QP最小，
∵∠CDQ=90°，
∴S△QDC=1
2CD⋅DQ，S
菱形ABCD
=CD×√3
2
CD，
由(1)得∠EDA=30°，
∵3AP=HP，
∴Q为BA延长线上一点，即AQ⊥DQ，
∴DQ=√3
2AD=√3
2
CD，
∴S△QDC=1
2CD⋅DQ=1
2
CD⋅√3
2
CD，
∴S△QDC
S
菱形ABCD =1
2
．
【解析】(1)由菱形的性质和垂直的定义可得△EBD是等边三角形，由等边三角形的性
质可得BF⊥DE，DF=EF=1
2
DE，在Rt△ADF中，解直角三角形可得∠AF、DF的值，从而得到三角形ADE的面积；
(2)连接BD，取BF上一点N使BN=DH，连接AN，EC，过点A作AM⊥BF于M，首先证出△BEF≌△BDG，可得∠EBF=∠BDG，再证△ABN≌△ADH，可得出AH=AN，。