【解析版】安阳市初中数学九年级下期中经典题(培优提高)

一、选择题
1．(0分)[ID：11128]下列说法正确的是( )
A．小红小学毕业时的照片和初中毕业时的照片相似
B．商店新买来的一副三角板是相似的
C．所有的课本都是相似的
D．国旗的五角星都是相似的
2．(0分)[ID：11127]已知4
A纸的宽度为21cm，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则4
A纸的高度约为（）
A．29.7cm B．26.7cm C．24.8cm D．无法确定
3．(0分)[ID：11114]P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
4．(0分)[ID：11112]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，tan∠B＝2，则AC的长为（）
A．1B．2C．5D．25
5．(0分)[ID：11109]用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（）
A．各边的长度 B．各内角的度数 C．五边形的周长 D．五边形的面积
6．(0分)[ID：11102]如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和
BA的延长线交于点E，如果
1
2
C EAF
C CDF
，那么
S EAF
S EBC
的值是（）
A．1
2
B．
1
3
C．
1
4
D．
1
9
7．(0分)[ID：11098]对于反比例函数y=1
x
，下列说法正确的是（）
A．图象经过点（1，﹣1）B．图象关于y轴对称
C ．图象位于第二、四象限
D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小
8．(0分)[ID ：11082]如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（ ） A ．8米 B ．9米 C ．10米 D ．11米
9．(0分)[ID ：11066]《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
A ．五丈
B ．四丈五尺
C ．一丈
D ．五尺
10．(0分)[ID ：11058]如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥于E ，设ADE α∠=，且3cos 5
α=，5AB =，则AD 的长为（ ）
A ．3
B ．163
C ．203
D ．165
11．(0分)[ID ：11046]在△ABC 中，若32=0，则∠C 的度数是( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．105°
12．(0分)[ID ：11035]若270x y -=. 则下列式子正确的是（ ）
A ．72x y =
B ．27x y =
C ．27x y =
D ．27
x y = 13．(0分)[ID ：11081]如图，ABC △与ADE 相似，且ADE B ∠=∠，则下列比例式中正确的是（ ）
A．AE AD
BE DC
=B．
AE AB
AB AC
=C．
AD AB
AC AE
=D．
AE DE
AC BC
=
14．(0分)[ID：11071]如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（）
A．△PAB∽△PCA B．△ABC∽△DBA C．△PAB∽△PDA D．△ABC∽△DCA 15．(0分)[ID：11038]下列变形中：
①由方程
12
5
x-
=2去分母，得x﹣12=10；
②由方程2
9
x=
9
2
两边同除以
2
9
，得x=1；
③由方程6x﹣4=x+4移项，得7x=0；
④由方程2﹣
53
62
x x
-+
=两边同乘以6，得12﹣x﹣5=3（x+3）．
错误变形的个数是（）个．
A．4B．3C．2D．1二、填空题
16．(0分)[ID：11202]如图，P（m，m）是反比例函数
9
y
x
=在第一象限内的图象上一
点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为_____．
17．(0分)[ID：11162]如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体分别从正面看和从上面看得到的平面图形，则搭成该几何体的小正方体最多是_______个．
18．(0分)[ID：11153]如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对
边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数
k
y
x
（k＞0）的图象上与正方形的一个交
点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为
▲．
19．(0分)[ID：11140]如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为_____．
20．(0分)[ID：11227]如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成．利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA＝3OD，OB＝3OC)，然后张开两脚，这时CD＝2，则AB＝_____．
21．(0分)[ID：11221]如图，已知两个反比例函数C1：y＝1
x
和C2：y＝
1
3x
在第一象限内
的图象，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为_____．
22．(0分)[ID：11212]如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A 移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝__________时，
△CPQ与△CBA相似．
23．(0分)[ID：11198]把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．
24．(0分)[ID：11194]如果点P把线段AB分割成AP和PB两段(AP PB
>),其中AP是AB与PB的比例中项,那么:
AP AB的值为________．
25．(0分)[ID：11181]若关于x的分式方程
33
1
22
x m
x x
+
-=
--
有增根，则m的值为_____.
三、解答题
26．(0分)[ID：11314]如图，AD是△ABC的中线，tan B＝1
3
，cos C＝
2
2
，AC＝2.
求：
（1）BC的长；
（2）sin ∠ADC的值．
27．(0分)[ID：11278]如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：2PC PE PF =；
（2）若菱形边长为8，2PE =，6EF =，求FB 的长．
28．(0分)[ID ：11277]已知如图，AD
BE CF ，它们依次交直线a ，b 于点A 、B 、C
和点D 、E 、F.
（1）如果6AB =，8BC =，21DF =，求DE 的长.
（2）如果:2:5DE DF =，9AD =，14CF =，求BE 的长.
29．(0分)[ID ：11271]如图，锐角三角形ABC 中，CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，垂足为D ，E ．
（1）证明：ACD ABE ∽．
（2）若将D ，E 连接起来，则AED 与ABC 能相似吗？说说你的理由．
30．(0分)[ID ：11237]如图，G 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，作GE ⊥AD ，GF ⊥AB ，垂足分别为点E 、F.
求证：四边形AFGE 与四边形ABCD 相似．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．D
2．A
3．C
4．B
5．B
6．D
7．D
8．C
9．B
10．C
11．C
12．A
13．D
14．B
15．B
二、填空题
16．【解析】【详解】如图过点P作PH⊥OB于点H∵点P（mm）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点∴9=m2且m＞0解得m=3∴PH=OH=3∵△PAB是等边三角形
∴∠PAH=60°∴根据锐角三
17．7【解析】【分析】首先利用从上面看而得出的俯视图得出该几何体的第一层是由几个小正方体组成然后进一步根据其从正面看得出的主视图得知其第二层最多可以放几个小正方体然后进一步计算即可得出答案【详解】根据俯
18．【解析】待定系数法曲线上点的坐标与方程的关系反比例函数图象的对称性正方形的性质【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的设小正
方形的边长为b图中阴影部分的面积等于9可求出b
19．2+3【解析】【分析】连接OA过点A作AC⊥OB于点C由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC=OA2-AC2=3BC=OB﹣OC=2﹣3在Rt△ABC中根据tan∠ABO=ACBC可得答案【详解
20．6【解析】【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似然后利用相似三角形的性质求解【详解】∵OA＝3ODOB＝3CO∴OA：OD＝BO：CO＝3：1∠AOB＝∠DO
21．【解析】【分析】根据反比函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=S△BOD=S矩形PCOD=1然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB的面积【详解】∵PC⊥x轴PD⊥y轴∴S△
22．8或【解析】【分析】根据题意可分两种情况①当CP和CB是对应边时
△CPQ∽△CBA与②CP和CA是对应边时△CPQ∽△CAB根据相似三角形的性质分别求出时间t即可【详解】①CP和CB是对应边时△CP
23．【解析】【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC可设BC=x只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积【详解】如图所示：设BC＝x则CE＝1﹣x∵AB∥EF∴△ABC∽△FEC∴＝∴＝解得x＝∴阴影
24．【解析】【分析】根据黄金分割的概念和黄金比是解答即可【详解】∵点把线段分割成和两段()其中是与的比例中项∴点P是线段AB的黄金分割点∴=故填【点睛】此题考察黄金分割是与的比例中项即点P是线段AB的黄
25．3【解析】【分析】把分式方程化为整式方程进而把可能的增根代入可得m的值【详解】去分母得3x-(x-2)=m+3当增根为x=2时6=m+3∴m=3故答案为3【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
观察图形，看它们的形状是否相同，形状相同的两个图形是相似图形.
【详解】
A ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片，形状不相同，不相似；
B ．商店新买来的一副三角板，形状不相同，不相似；
C ．所有的课本都是相似的，形状不相同，不相似；
D ．国旗的五角星都是相似的，形状相同，相似.
故选D ．
【点睛】
本题考查了相似图形，相似图形是指形状相同的图形，仔细观察看每组图形是否相同，如果相同就相似，否则就不相似．
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
设A4纸的高度为xcm ，对折后的矩形高度为
2
x cm ，然后根据相似多边形的对应边成比例列方程求解.
【详解】 设A4纸的高度为xcm ，则对折后的矩形高度为
2
x cm ， ∵对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似， ∴21=212x x
解得29.7=≈x
故选A.
【点睛】
本题考查相似多边形的性质，熟记相似多边形对应边成比例，找到对应边列出方程是关键. 3．C
解析：C
【解析】
试题分析：根据相似线的定义，可知截得的三角形与△ABC有一个公共角.①公共角为∠A 时，根据相似三角形的判定：当过点P的角等于∠C时，即图中PD∥BC时，
△APD∽△ACB；当过点P的角等于∠B时，即图中当PF⊥AB时，△APF∽△ABC；②公共角为∠C时，根据相似三角形的判定：当过点P的角等于∠A时，即图中P E∥AB时，
△CPE∽△CAB；当过点P的角等于∠B时，根据∠CPB<60°，可知此时不成立；③公共角为∠B，不成立.
解：①公共角为∠A时：当过点P的角等于∠C时，即图中PD∥BC时，△APD∽△AC B；当过点P的角等于∠B时，即图中当PF⊥AB时，△APF∽△ABC；
②公共角为∠C时：当过点P的角等于∠A时，即图中P E∥AB时，△CPE∽△CAB；当过点P的角等于∠B时，∵∠CPB=∠A+∠ABP，∴PB＞PC，PC=PA，∴PB＞PA，∴∠PBA＜
∠A，∴∠CPB＜60°，可知此时不成立；③公共角为∠B，不成立.
综上最多有3条.
故选C．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据正切的定义得到BC=1
2
AC，根据勾股定理列式计算即可．
【详解】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠B=2，
∴AC
BC
=2，
∴BC=1
2 AC，
由勾股定理得，AB2=AC2+BC25）2=AC2+（1
2
AC）2，
解得，AC=2，
故选B．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．
5．B
解析：B
【解析】解：∵用一个放大镜去观察一个三角形，∴放大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的对应边成比例，∴各边长都变大，故此选项错误；
∵相似三角形的对应角相等，∴对应角大小不变，故选项B正确；．
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴C选项错误；
∵相似三角形的周长得比等于相似比，∴D选项错误．
故选B．
点睛：此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长得比等于相似比．6．D
解析：D
【解析】
分析：根据相似三角形的性质进行解答即可．
详解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AE∥CD，
∴△EAF∽△CDF，
∵
1
2
EAF
CDF
C
C
，
=
∴
1
2 AF
DF
=，
∴
11
123 AF
BC
==
+
，
∵AF∥BC，
∴△EAF∽△EBC，
∴
2
11
39
EAF
EBC
S
S
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
，
故选D.
点睛：考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方. 7．D
解析：D
【解析】
A选项：∵1×（-1）=-1≠1，∴点（1，-1）不在反比例函数y=1
x
的图象上，故本选项错
误；
B选项：反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项错误；
C选项：∵k=1＞0，∴图象位于一、三象限，故本选项错误；
D选项：∵k=1＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故是正确的．
故选B．
8．C
解析：C
【解析】
如图所示，
AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米，
过C作CE⊥AB于E，
则CE=BD=8，AE=AB-CD=6，
在直角三角形AEC中，
AC=10米，
答：小鸟至少要飞10米．
故选C．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴
1.5 150.5
x
，
解得x=45（尺），
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据矩形的性质可知：求AD的长就是求BC的长，易得∠BAC=∠ADE，于是可利用三角
函数的知识先求出AC ，然后在直角△ABC 中根据勾股定理即可求出BC ，进而可得答案.
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠BAC =90°，BC=AD ，∴∠BAC +∠DAE =90°， ∵DE AC ⊥，∴∠ADE +∠DAE =90°，∴∠BAC =ADE α∠=，
在直角△ABC 中，∵3cos 5α=，5AB =，∴25cos 3
AB AC α==，
∴AD=BC 203==. 故选：C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理和解直角三角形的知识，属于常考题型，熟练掌握矩形的性质和解直角三角形的知识是解题关键.
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质求出sinA 及tanB 的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的值，由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
∵|sin A B )2=0，
∴tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．
故选C ．
【点睛】
（1）非负数的性质：几个非负数的和等0，这几个非负数都为0；（2）三角形内角和等于180°.
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接利用比例的性质分别判断即可得出答案．
【详解】
∵2x -7y =0，∴2x =7y ．
A ．72
x y =，则2x =7y ，故此选项正确；
B ．
27x y =，则xy =14，故此选项错误； C ．
27x y =，则2y =7x ，故此选项错误； D ．27
x y =，则7x =2y ，故此选项错误． 故选A ．
【点睛】
本题考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题的关键．
13．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例，可得结论.
【详解】
由题意可得，A ABC DE ∽△△，所以
AE DE AC BC
=， 故选D .
【点睛】
在书写两个三角形相似时，注意顶点的位置要对应，即若ABC A B C '''∽△△，则说明点A 的对应点为点'A ，点B 的对应点B '，点C 的对应点为点C '. 14．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．
【详解】
∵∠APD =90°，而∠P AB ≠∠PCA ，∠PBA ≠∠P AC ，∴无法判定△P AB 与△PCA 相似，故A 错误；
同理，无法判定△P AB 与△PDA ，△ABC 与△DCA 相似，故C 、D 错误；
∵∠APD =90°，AP =PB =BC =CD ，∴AB =√2P A ，AC =√5P A ，AD =√10P A ，BD =2P A ，∴AB DB =√2PA 2PA =√2BC 2BA =√2PA =√2AC 2DA =√5PA √10PA =√2
2，∴AB DB =BC BA =AC DC ，∴△ABC ∽△DBA ，故
B 正确．
故选B ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．
15．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据方程的不同特点，从计算过程是否正确、方法应用是否得当等方面加以分析．【详解】
①方程
12
5
x-
=2去分母，两边同时乘以5，得x﹣12=10，故①正确．
②方程2
9
x=
9
2
，两边同除以
2
9
，得x=
81
4
；要注意除以一个数等于乘以这个数的倒数，故
②错误．
③方程6x﹣4=x+4移项，得5x=8；要注意移项要变号，故③错误．
④方程2﹣
53
62
x x
-+
=两边同乘以6，得12﹣（x﹣5）=3（x+3）；要注意去分母后，要
把是多项式的分子作为一个整体加上括号，故④错误．
故②③④变形错误．
故选B．
【点睛】
在解方程时，要注意以下问题：（1）去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号；（2）移项时要变号．
二、填空题
16．【解析】【详解】如图过点P作PH⊥OB于点H∵点P（mm）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点∴9=m2且m＞0解得m=3∴PH=OH=3∵△PAB是等边三角形
∴∠PAH=60°∴根据锐角三
解析：933
2
+
．
【解析】
【详解】
如图，过点P作PH⊥OB于点H，
∵点P （m ，m ）是反比例函数y=
9x
在第一象限内的图象上的一个点， ∴9=m 2，且m ＞0，解得，m=3.∴PH=OH =3.
∵△P AB 是等边三角形，∴∠P AH =60°.
∴根据锐角三角函数，得∴OB
∴S △POB =12OB•PH . 17．7【解析】【分析】首先利用从上面看而得出的俯视图得出该几何体的第一层是由几个小正方体组成然后进一步根据其从正面看得出的主视图得知其第二层最多可以放几个小正方体然后进一步计算即可得出答案【详解】根据俯 解析：7
【解析】
【分析】
首先利用从上面看而得出的俯视图得出该几何体的第一层是由几个小正方体组成，然后进一步根据其从正面看得出的主视图得知其第二层最多可以放几个小正方体，然后进一步计算即可得出答案.
【详解】
根据俯视图可得出第一层由5个小正方体组成；再结合主视图，该正方体第二层最多可放2个小正方体，
∴527+=，
∴最多是7个，
故答案为：7.
【点睛】
本题主要考查了三视图的运用，熟练掌握三视图的特性是解题关键.
18．【解析】待定系数法曲线上点的坐标与方程的关系反比例函数图象的对称性正方形的性质【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的设小正方形的边长为b 图中阴影部分的面积等于9可求出b 解析：3y x
=
． 【解析】
待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象的对称性，正方形的性质．
【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的，设小正方形的边长为b ，图中阴影部分的面积等于9可求出b 的值，从而可得出直线AB 的表达式，再根据点P （3a ，a ）在直线AB 上可求出a 的值，从而得出反比例函数的解析式： ∵反比例函数的图象关于原点对称，∴阴影部分的面积和正好为小正方形的面积． 设正方形的边长为b ，则b 2=9，解得b=6．
∵正方形的中心在原点O，∴直线AB的解析式为：x=3．
∵点P（3a，a）在直线AB上，∴3a=3，解得a=1．∴P（3，1）．
∵点P在反比例函数
3
y
x
（k＞0）的图象上，∴k=3×1=3．
∴此反比例函数的解析式为：．
19．2+3【解析】【分析】连接OA过点A作AC⊥OB于点C由题意知
AC=1OA=OB=2从而得出OC=OA2-AC2=3BC=OB﹣OC=2﹣3在Rt△ABC中根据tan∠ABO=ACBC可得答案【详解
解析：2+√3．
【解析】
【分析】
连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出
OC=√OA2−AC2=√3、BC=OB﹣OC=2﹣√3，在Rt△ABC中，根据tan∠ABO=AC
BC
可得答案．【详解】
如图，连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，
则AC=1，OA=OB=2，
∵在Rt△AOC中，OC=√OA2−AC2=√22−12=√3，
∴BC=OB﹣OC=2﹣√3，
∴在Rt△ABC中，tan∠ABO=AC
BC
=
2−√3
=2+√3．
故答案是：2+√3．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO为内角的直角三角形是解题的关键．
20．6【解析】【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似然后利用相似三角形的性质求解【详解】∵OA＝3ODOB
＝3CO∴OA：OD＝BO：CO＝3：1∠AOB＝∠DO
解析：6
【解析】
【分析】
首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．
【详解】
∵OA＝3OD，OB＝3CO，
∴OA：OD＝BO：CO＝3：1，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴
3
1 AO AB
OD CD
==，
∴AB＝3CD，
∵CD＝2，
∴AB＝6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题．
21．【解析】【分析】根据反比函数比例系数k的几何意义得到
S△AOC=S△BOD=S矩形PCOD=1然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB的面积【详解】∵PC⊥x轴PD⊥y轴∴S△
解析：2 3
【解析】【分析】
根据反比函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=S△BOD=111
236
⨯=，S矩形PCOD=1，然后利用
矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形P AOB的面积．【详解】
∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，∴S△AOC=S△BOD=11
||
23
⋅=
111
236
⨯=，S矩形PCOD=1，∴四边形P AOB
的面积=1﹣2×1
6
=
2
3
．
故答案为：2
3
．
【点睛】
本题考查了反比函数比例系数k的几何意义．掌握反比函数比例系数k的几何意义是解答
本题的关键．反比函数比例系数k的几何意义：在反比例函数
k
y
x
=图象中任取一点，过
这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
22．8或【解析】【分析】根据题意可分两种情况①当CP和CB是对应边时
△CPQ∽△CBA与②CP和CA是对应边时△CPQ∽△CAB根据相似三角形的性质分别求出时间t即可【详解】①CP和CB是对应边时△CP
解析：8或64 11
【解析】
【分析】
根据题意可分两种情况，①当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA与②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，根据相似三角形的性质分别求出时间t即可.
【详解】
①CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以CP
CB
＝
CQ
CA
，
即162
16
t
-
＝
12
t
，
解得t＝4.8；
②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以CP
CA
＝
CQ
CB
，
即162
12
t
-
＝
16
t
，
解得t＝64 11
.
综上所述，当t＝4.8或64
11
时，△CPQ与△CBA相似．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是分情况讨论.
23．【解析】【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC可设BC=x只需求出BC 即可求出图中阴影部分的面积【详解】如图所示：设BC＝x则CE＝1﹣x∵AB∥EF ∴△ABC∽△FEC∴＝∴＝解得x＝∴阴影
解析：1 6
【解析】
【分析】
由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】
如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，
∵AB∥EF，
∴△ABC∽△FEC
∴AB
EF
＝
BC
CE
，
∴1
2
＝
x
1x
-
解得x＝1
3
，
∴阴影部分面积为：S△ABC＝1
2
×
1
3
×1＝
1
6
，
故答案为：1
6
．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答.
24．【解析】【分析】根据黄金分割的概念和黄金比是解答即可【详解】∵点把线段分割成和两段()其中是与的比例中项∴点P是线段AB的黄金分割点∴=故填【点睛】此题考察黄金分割是与的比例中项即点P是线段AB的黄
51
-
【解析】
【分析】
51
-
解答即可.
【详解】
∵点P把线段AB分割成AP和PB两段(AP PB
>),其中AP是AB与PB的比例中项，
∴点P 是线段AB 的黄金分割点，
∴:AP AB =512-， 故填512
-. 【点睛】
此题考察黄金分割，AP 是AB 与PB 的比例中项即点P 是线段AB 的黄金分割点，即可得到:AP AB =512
-. 25．3【解析】【分析】把分式方程化为整式方程进而把可能的增根代入可得m 的值【详解】去分母得3x-(x-2)=m+3当增根为x=2时6=m+3∴m=3故答案为3
【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按
解析：3
【解析】
【分析】
把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m 的值．
【详解】
去分母得3x-(x-2)=m+3，
当增根为x=2时，6=m+3
∴m=3．
故答案为3．
【点睛】
考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
三、解答题
26．
（1）BC ＝4；（2）sin ∠ADC ＝
22
. 【解析】
（1）如图，作AE⊥BC，
∴CE =AC •cos C =1，∴AE =CE =1，1tan 3B =
， ∴BE =3AE =3，∴BC =4；
（2）∵AD 是△ABC 的中线，∴DE =1，
∴∠ADC =45°，∴sin 2
ADC ∠=． 27．
（1）见解析；（2） 16=FB ．
【解析】
【分析】
（1）可由相似三角形AEP FAP ∆∆∽对应边成比例进行求解，也可由平行线分线段成比例定理进行求解，两者均可；
（2）由题中已知线段的长度，结合（1）中的结论，再由平行线分线段成比例，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：四边形ABCD 是菱形，
DC DA ∴=，ADP CDP ∠=∠，//DC AB ，
又DP 是公共边，
DAP DCP ∴∆≅∆，
PA PC ∴=，DAP DCP ∠=∠，
由//DC FA 得，F DCP ∠=∠，
F DAP ∴∠=∠，
又EPA APF ∠=∠
AEP FAP ∴∆∆∽，∴PA：PF=PE ：PA ，
2PA PE PF ∴=
2PC PE PF ∴=．
（2）2PE =，6EF =，
8PF ∴=，
2PC PE PF =，
216PC ∴=，
4PC ∴=
//DC FB ∴FB PF DC PC
=， 又8DC =， ∴
884FB = 16FB ∴=．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及菱形的性质和相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．
28．
（1）DE 的长为9；（2）BE 的长为11；
【解析】
【分析】
（1）由果6AB =，8BC =，可得AC=14，然后根据平行线等分线段定理得到6=14DE AB DF AC =，然后将已知条件代入即可求解； （2）过D 作DH∥AC，分别交BE,CF 于H ，说明四边形ABGD 和四边形BCHG 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得CH=BG=AD=9；进一步说明FH=CF-DH=5，然后再按照平行线等分线段定理得到:2:5DE DF =，最后代入已知条件求解即可．
【详解】
（1）∵6AB =，8BC =，
∴AC=AB+BC=14
∵AD
BE CF ∴6=14
DE AB DF AC = ∴662191414DE DF =
=⨯= (2)过D 作DH∥AC，分别交BE,CF 于H.
∵AD BE CF
∴四边形ABGD 和四边形BCHG 是平行四边形，
∴CH=BG=AD=9
∴FH=CF -DH=5
∵:2:5DE DF =
∴:2:5GE HF =
∴225255
GE HF ==⨯= ∴BE=BG+GE=9+2=11.
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例的知识，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
29．
（1）见解析；（2）能，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据已知利用有两个角相等的三角形相似判定即可；
（2）根据第一问可得到AD ：AE=AC ：AB ，有一组公共角∠A ，则可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似进行判定．
【详解】
()1证明：ACD ABE ∽．
证明：∵CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，
∴90ADC AEB ∠=∠=．
∵A A ∠=∠，
∴ACD ABE ∽．
()2若将D ，E 连接起来，则AED 与ABC 能相似吗？说说你的理由．
∵ACD ABE ∽，
∴::AD AE AC AB =．
∴AD:AC=AE:AB
∵A A ∠=∠，
∴AED ABC ∽．
【点睛】 考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.
30．
证明见解析.
【解析】
【分析】
由正方形的性质可知；AC 平分∠DAB ，然后由角平分线的性质可知GE=GF ，从而可证明四边形EGFA 为正方形，故此四边形AFGE 与四边形ABCD 相似；
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，
∴∠DAC ＝∠BAC ＝45°
. 又∵GE ⊥AD ，GF ⊥AB ，
∴EG ＝FG ，且AE ＝EG ，AF ＝FG .
∴AE ＝EG ＝FG ＝AF ，
∴四边形AFGE 为正方形． ∴AF AB ＝FG BC ＝GE CD ＝AE AD
， 且∠EAF ＝∠DAB ，∠AFG ＝∠ABC ，∠FGE ＝∠BCD ，∠AEG ＝∠ADC.
∴四边形AFGE 与四边形ABCD 相似．。