半次覆盖远离子群和有限群的可解性

半次覆盖远离子群和有限群的可解性
李士恒;柳海萍;刘冬华
【摘要】In this paper,we define semi-subnormal-cover-avoidance subgroups of finite groups and study the solvability between groups and their semi-subnormal-cover-avoidance subgroups. With semi-subnormal-cover-avoidance subgroups,we characterize the solvability of finite groups and obtain the results that the group is soluble if all of its sylow groups(or maximal subgroups)are semi-subnormal-cover-avoidance subgroups,which generalize the results in[6].%本文定义了有限群的半次覆盖远离子群概念,研究了半次覆盖远离子群和有限群的可解性问题.利用某些半次覆盖远离子群刻划了有限群的可解性,得到了若所有的sylow子群(或极大子群)半次覆盖远离则群可解,推广了文献[6]中的结果.
【期刊名称】《数学杂志》
【年(卷),期】2017(037)006
【总页数】6页(P1303-1308)
【关键词】有限群;半次覆盖远离子群;极大子群;可解
【作者】李士恒;柳海萍;刘冬华
【作者单位】郑州航空工业管理学院理学院,河南郑州450015;郑州航空工业管理学院经贸学院,河南郑州450015;郑州铁路职业技术学院公共教学部,河南郑州450052
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
利用子群研究有限群的结构,在有限群的研究中有很重要的地位.很多学者都在这些方面进行了研究,得到了很多重要的结果.如著名的Huppert定理,即有限群为超可解当且仅当它的所有极大子群的指数为素数;有限群为幂零群当且仅当每个极大子群都正规;有限群可解当且仅当它的极大子群均c-正规(见文献[1])等.很多学者对子群的正规性进行了推广,并由此得到了许多关于可解性、超可解性和幂零性的一些充分条件.例如文献[2]证明了如果群G的每一个Sylow子群有在G中正规的极大子群那么G超可解;文献[3,4]中刻画了满足换位子条件的群的结构;文献[10]用某些子群的半正规性刻画了有限群的可解性等.郭秀云在文献[5]中用覆盖-离开子群刻画了群的结构;樊恽、郭秀云[6]等介绍了概念半覆盖远离,这个概念是覆盖远离、几乎正规(见文献[6]定义2.1(2))的推广,而几乎正规是c-正规的推广.他们用Sylow子群或极大子群的半覆盖远离性刻画了有限群的可解性,也用其他一些子群的半覆盖远离性刻画了有限群的超可解性.本文定义了有限群的半次覆盖远离性子群,用有限群的半次覆盖远离性子群刻划群G的可解性.
文中,π是一个素数集合,G是一个群,所有的群都是有限群.π(G)表示群G的阶的所有素因子作成的集合;如果数n的每一个素因子都在π中,称n是一个π-数;H＜G 表示H为G的真子群,H◁◁G表示H为G的次正规子群,H为G的极大子群记作H＜·G;称L为G的2-极大子群,如果存在G的极大子群M使L＜·M.
定义1.1 设商群M/N为G的次正规因子,H是G的子群.若H满足HM=HN(这里HM和HN不一定是群G的子群),则称H覆盖M/N;若
H∩M=H∩N(⇔H∩M/H∩N=1),则称H远离M/N.如果H覆盖或者远离G的某个合成列的每个合成因子,那么称H是G的半次覆盖远离子群.显然这是半覆盖远离子
群和次正规子群的一个推广.
下面的例1.1说明半次覆盖远离子群既不是次正规子群也不是半覆盖远离子群,例1.2说明半次覆盖远离子群不一定覆盖远离每一个合成列,相关概念见文献[7,A,第18节].
例1.1 设G=NS3是N和S3的圈积(wreath product),其中S3为3次对称群,N 为一个非交换单群.再设H=D〈(12)〉,其中D为基群(base group)B的对角子群(diagonal subgroup),(12)为S3的一个置换.下面验证H 覆盖远离次正规列1＜N1＜N1×N2＜B＜B〈(123)〉＜G,其中N1={(a,1,1)|a∈N},N2={(1,a,1)|a∈N}.显然有N1∩H=1=N1∩1、N1∩H=1=(N1×N2)∩H、(N1×N2)H=B〈(12)〉=BH、B∩H=D=B〈(123)〉∩H、(B〈(123))〉H=G(由|B〈(123)〉H|=得)成立,因此H 覆盖远离上述次正规列.
另一方面,由B∩H=D≠1和BH=B〈(12)〉≠H得H不覆盖或远离G的主因子B/1,又B是G唯一的极小正规子群,所以H不覆盖或远离G的任何主列,即是H不是G 的半覆盖远离子群.显然H也不是G的次正规子群(否则H∩B=D是G的次正规子群从而也是B的次正规子群,但由文献[8,第一章,9.12]可看出这是不可能的).
例1.2 设G=A5×〈(67)〉,其中A5为5次交错群,(67)为S7的一个置换,H=〈(12)(34)(67)〉.则H覆盖远离合成列1＜A5＜G(也是主列),但不覆盖远离G的合成列1＜〈(67)〉＜G(也是主列).
引理2.1 设H是群G的子群,1＜···＜N＜M＜···＜G是G的一个次正规列.如果H 覆盖（远离）M/N,那么H覆盖(远离)这个次正规列细化后的在M和N之间的任一个合成因子.
证设A/B是满足N≤B＜A≤M的群G的合成因子.当H覆盖M/N时,由
HM⊇HA⊇HB⊇HN得H覆盖A/B.如果H远离M/N,那么H∩M=H∩N.因为
H∩M≥H∩A≥H∩B≥H∩N,所以H∩A=H∩B.引理得证.
引理2.2 设H≤G,NG且(|H|,|N|)=1.如果MG,那么M∩HN=(M∩H)(M∩N).
证设W=M∩HN.由M◁◁G得存在次正规子群Gi(i=0,1,···,r)满足
M=Gr◁Gr−1◁···◁G0=G.对r用数学归纳法.
当r=1时MG.从而WHN,WH=HW且NW=WN.又由(|H|,|N|)=1得
(|HN:N|,|HN:H|)=1.因此由文献[7,A,1.6(c)]得W=(W∩H)(W∩N)=(M∩H)(M∩N).假定Gr−1∩HN=(Gr−1∩H)(Gr−1∩N).设Hr−1=(Gr−1∩H),Nr−1=(Gr−1∩N).由M≤Gr−1和归纳假定得W=M∩(Gr−1∩HN)=M∩Hr−1Nr−1=W∩Hr−1Nr−1.由MGr−1得M⊥Hr−1和M⊥Nr−1,显然也有
(|Hr−1Nr−1:Hr−1|,|Hr−1Nr−1:Nr−1|)=1.再次由文献[7,A,1.6(c)]得
引理2.3 设H是G的半次覆盖远离子群.
(a)如果H≤M≤G,那么H是M的半次覆盖远离子群.
(b)如果N≤H或(|H|,|N|)=1,那么HN/N是G/N的半次覆盖远离子群.
证 (a)设H是G的半次覆盖远离子群.那么G有合成列1=Gn◁Gn−1◁···◁G0=G 使对i=1,···,n有HGi=HGi−1或H∩Gi−1=H∩Gi.设Mi=Gi∩M,i=0,···,n.那么有HMi=HMi−1或H∩Mi=H∩Mi−1.于是H覆盖远离M 的次正规列
1=MnMn−1···M0=M,从而由引理2.1得H是M的半次覆盖远离子群.
(b)设H是G的半次覆盖远离子群,H覆盖远离主列1=G0＜G1＜···＜Gt=G.即有HGi=HGi−1或H∩Gi=H∩Gi−1.HGi=HGi−1显然结论成立,只需要证明
H∩Gi=H∩Gi−1时的情形.
如果N≤H,那么H/N∩Gi−1N/N=N(H∩Gi−1)/N(由文献[7,A,1.3]可得)且
H/N∩GiN/N=N(H∩Gi)/N.结合H∩Gi=H∩Gi−1得
(H/N∩GiN/N)=(H/N∩Gi−1N/N).于是,由引理2.1得H/N是G/N的半次覆盖远离子群.
如果(|H|,|N|)=1,那么HN/N∩Gi−1N/N=N(HN∩Gi−1)/N.又由引理2.2得
HN∩Gi−1=(H∩Gi−1)(N∩Gi−1),所以
HN/N∩Gi−1N/N=N(H∩Gi−1)(N∩Gi−1)/N=N(H∩Gi−1)/N≌H∩Gi−1.同理有
H/N∩GiN/N≌H∩Gi.因此HN/N∩Gi−1N/N=HN/N∩GiN/N,从而H/N是G/N的半次覆盖远离子群.
引理2.4 设G为有限群且L是G的2-极大子群.如果L=1,那么G可解.
证如果L=1,那么G有一个素数阶的极大子群,从而由文献[8,第四章,7.4]得G可解. 引理2.5 设G为有限群,A/B为G的次正规因子,H≤G,则有
(1)(A∩H)B=A⇔HB=HA;
(2)(A∩H)B=B⇔B∩H=A∩H.
证 (1)若(A∩H)B=A则HB=(H(A∩H))B=H((A∩H)B)H=HA;反之,若HB=HA则由文献[7,A,1.3]得A=A∩HA=A∩HB=(A∩H)B.
(2)若(A∩H)B=B则由文献[7,A,1.3]得B∩H=((A∩H)B)∩H=(A∩H)(B∩H)=A∩H;反之,若B∩H=A∩H则B(A∩H)=B(B∩H)=B.
定理3.1 设G是有限群.如果G的每一个极大子群都是G的半次覆盖远离子群,那么G是可解的.
证假设结论不成立,设G是极小阶反例.
因为G的商群的极大子群的逆像是G的极大子群,由引理2.3,G的商群满足定理的假设.因此,对任意的NG,由G是极小阶反例得G/N是可解的.如果G有两个极小正规子群,那么由可解群类是饱和群系得G是可解的.因此,假定G有唯一的极小正规子群,设为N.若N是可解的则G是可解的,所以假定N非可解.于是
N=N1×N2×···×Nr,其中N1≌N2≌···≌Nr为非可解单群.由文献[7,A,15.2]得
CG(N)=1.
设P=P1×P2×···×Pr＞1,其中Pi∈Sylp(Ni),i=1,2,···,r,则P∈Sylp(N).由Frattini推断得G=NNG(P).因为N是G的极小正规子群且P＜N,所以存在M＜·G使
NG(P)≤M,从而G=MN.由题设,可设M覆盖远离合成列1=G0＜G1＜···＜Gt=G.由文献[7,A,14.3]得N≤NG(G1),若N∩G1=1,则有1=C G(N)≥G1,这是不可能的.因此N∩G1≠1,又N∩G1◁◁G,结合G1为极小次正规子群得N≥G1.由文献[8,第一章,9.12定理]可假设N1=G1.因为M∩G1≥P1＞1,所以M 覆盖G1/1,即有
MG1=M,从而N1=G1≤M.由N1N得所以由N是唯一的极小正规子群得所以
G=MN=M,与M＜·G矛盾.定理得证.
定理3.2 若群G的每一个2-极大子群都是G的半次覆盖远离子群,那么G是可解的.
证对每一个M＜·G,由定理的假设条件和引理2.3得M 的每一个极大子群均在M 中半覆盖远离.因此由定理3.1得M 可解.
另一方面,对每一个N◁G,由引理2.3,有G/N满足定理的假设条件.如果N≠1,那么对|G|用归纳法得G/N可解.因此,如果N＜G那么N必含于某一个极大子群,从而N 可解,G可解.因此,可假定G是非交换单群.于是,对G的任一个2-极大子群L,由假设条件得L=G或L=1.由L是一个2-极大子群知L=G不可能,于是必有L=1,从而由引理2.4得G是可解群.
定理3.3 群G是可解群当且仅当G的任意子群都是G的半次覆盖远离子群.
证必要性:群G是可解群,设1=Gn◁Gn−1◁···◁G0=G是G的合成列,则由G是可解群得Gi−1/Gi为p阶群,i=1,···,n−1.设H≤G,则Gi−1∩HGi或Gi−1∩H⊆Gi.若前者成立,则(Gi−1∩H)Gi=Gi−1;若后者成立,则(Gi−1∩H)Gi=Gi.由引理2.5分别得充分性由定理3.1或定理3.2显然可得.
注3.1由定理3.3知道半次覆盖远离子群只能刻画群的可解性,且定理3.1和定理3.2的条件都是群可解的充要条件.
定理3.4 群G是p-可解群当且仅当G有Sylow p-子群P是G的半次覆盖远离子群.
证必要性:假设群G是p-可解群,1=Gn◁Gn−1◁···◁G0=G是G的合成列,则由G是p-可解群得Gi−1/Gi为p阶群或p′-群,i=1,···,n−1.设P是G的任一Sylow
p-子群.则Gi−1/Gi为p阶群时,Gi−1∩PGi;Gi−1/Gi为p′-群时,Gi−1∩P⊆Gi.从而Gi(Gi−1∩P)=Gi−1和Gi(Gi−1∩P)=Gi.由引理2.5分别得PGi=PGi−1和
Gi∩P=Gi−1∩P.
充分性:假设G有Sylow p-子群P是G的半次覆盖远离子群,则可设P覆盖远离G 的一个合成列1=Gn◁Gn−1◁ ···◁G0=G.
若PGi=PGi−1,则由引理2.5得(Gi−1∩P)Gi=Gi−1.由Gi−1◁◁G得
Gi−1∩P∈Sylp(Gi−1).从而Gi−1/Gi为p-群,结合Gi−1/Gi为单群得Gi−1/Gi为p阶群.
若Gi∩P=Gi−1∩P,则由引理2.5得Gi(Gi−1∩P)=Gi.由Gi−1◁◁G得
Gi−1∩P∈Sylp(Gi−1).因此Gi−1/Gi为p′-群.
由定理3.4可得推论3.1.
推论3.1 群G是可解群当且仅当G的任意Sylow子群都是G的半次覆盖远离子群. 由推论3.1、定理3.1和定理3.3得推论3.2.
推论3.2 (见文献[6,定理2.2])设G是一个群.则如下的3个命题等价:
(l)G是一个可解群;
(2)G的每一Sylow子群在G中具有半覆盖远离性;
(3)G的每一极大子群在G中都具有半覆盖远离性.
平行于文献[6,定理3.1],结合定理3.3,只可能得到如下结论.
定理3.5 群G是可解群当且仅当G每一个非循环Sylow子群的任一个极大子群都是G的半次覆盖远离子群.
证必要性由定理3.3显然可得,下面证明充分性.
(1)设P是G的一个Sylow p-子群,1=Gn◁Gn−1◁···◁G0=G是G的任一合成列,
其中p∈π(G).则
于是(Gi−1∩P)Gi/Gi是Gi−1/Gi的Sylow p-子群.且由
得(Gi−1∩P)Gi/Gi同构于P的一个截断.
(2)设P是G的一个Sylow p-子群,若P循环则由(1)得Gi−1/Gi的Sylow p-子群为循环群.
(3)设P是G的一个Sylow p-子群,P1＜·P.若P非循环,则P1覆盖远离G的某一合成列1=Gn◁Gn−1◁ ···◁G0=G.
(i)若P1覆盖Gi−1/Gi,则由引理2.5得Gi−1=(P1∩Gi−1)Gi.于是
是一个p-群,结合Gi−1/Gi是单群得Gi−1/Gi为p阶群.
(ii)若P1远离Gi−1/Gi,则由引理2.5得Gi=(P1∩Gi−1)Gi.
若(P∩Gi−1)⊆P1,则(P∩Gi−1)=(P1∩Gi−1).因此得Gi=(P∩Gi−1)Gi,从而由
P∩Gi−1为Gi−1的Sylow p-子群得Gi−1/Gi为p′-群.
若(P∩Gi−1)P1则(P∩Gi−1)P1=P.又由P1＜·P得P1◁P且|P:P1|=p.于是由
|(P∩Gi−1)||P1|/|(P1∩Gi−1)|=|P|得|(P∩Gi−1):(P1∩Gi−1)|=p.所以
为p阶群或1.
总之,由(2),(3)得Gi−1/Gi的Sylow子群为循环群.因此Gi−1/Gi可解(见文献[9,V,6.2定理]),从而为素数阶群.所以群G是可解群.
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