高考数学必备讲义第9讲应用问题的题型与方法课标试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年高考数学必备讲义第9讲应用问题的题型与方法2021年普通高等招生全国统一考试数学科说明〔理科、新课程〕中指出：数学科的考试，按照“考察根底知识的同时，注重考察才能〞的原那么，测试数学根底知识、根本技能、根本思想和方法，考察思维才能、运算才能、空间想象才能、解决实际问题的才能.
二、考试要求
“考试说明〞对于“解决实际问题的才能〞的界定是：能阅读、理解对问题进展陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括提炼、解决在相关学科、消费、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述.并且指出：对数学应用问题，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，切合数学教学实际.
应用问题的“考试要求〞是考察考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解决问题的才能，这个要求分解为三个要点：
1、要求考生关心国家大事，理解信息社会，讲究联络实际，重视数学在消费、生活及科学中的应用，明确“数学有用，要用数学〞，并积累处理实际问题的经历.
2、考察理解语言的才能，要求考生可以从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为工具进展数学思维与交流.
3、考察建立数学模型的初步才能，并能运用“考试说明〞所规定的数学知识和方法来求解.
三、复习目的
也是考生失分较多的一种题型.高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是深化理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，这当中，函数，数列，不等式，排列组合是较为常见的模型，而三角，立几，解几等模型也应在复课时引起重视.
由于数学问题的广泛性，实际问题的复杂性，干扰因素的多元性，更由于实际问题的专一性，这些都给学生能读懂题目提供的条件和要求，在生疏的情景中找出本质的内容，转化为函数、方程、不等式、数列、排列、
组合、概率、曲线、解三角形等问题.
四、双基透视
高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现.当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色.求解应用题的一般步骤是〔四步法〕：
1、读题：读懂和深化理解，译为数学语言，找出主要关系；
2、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
3、求解：化归为常规问题，选择适宜的数学方法求解；
4、评价：对结果进展验证或者评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或者验证.
在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等.
Ⅰ．函数模型函数是数学中最重要的一局部内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目的函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决.
⑴根据题意，纯熟地建立函数模型；
⑵运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型.
Ⅱ．几何模型诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或者用方程、不等式或者用三角函数知识来求解.
Ⅲ．数列模型在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年〔月〕份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律.
数学各个章节中有关应用问题的内容分别是：
1．函数：可以运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
2．不等式：掌握两个〔不扩展到三个〕正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应
用.
3．平面向量:在立体几何与解析几何中的应用.
4．三角函数：理解函数y=Asin(ωx+ψ)中A、ω、ψ的物理意义；掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题.
5．数列：能运用公式解决简单的问题.
6．直线和圆的方程：理解线性规划的意义，并会简单的应用.
7．圆锥曲线方程：理解圆锥曲线的初步应用.
8．直线、平面、简单几何体：平面及其根本性质，平面图形直观图的画法.平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的间隔.直线和平面平行的断定与性质，直线和平面垂直的断定与性质，点到平面的间隔，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理.平行平面的断定与性质，平行平面间的间隔，二面角及其平面角，两个平面垂直的断定与性质.多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球等各局部都有应用.
9．排列、组合、二项式定理：
⑴掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题；
⑵理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的问题.
⑶理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.
⑷掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.
这局部主要解决⑴不同类问题(可重复排列问题，不可重复排列问题，组合问题)的辩析；⑵多类多步排列组合问题的解决方法，主要是两个特元以上的特元法或者特位法、排除法的应用．
10．概率：
⑴理解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义；
⑵理解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的根本公式计算一些等可能性事件的概率；
⑶理解互斥事件互相HY事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与互相HY事件的概率乘法公式计算一
些事件的概率；
⑷会计算事件在n次HY重复试验中恰好发生k次的概率.
11．概率与统计：
⑴理解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列；
⑵理解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差；
⑶会用抽机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本；
⑷会用样本频率分布去估计总体分布；
⑸理解正态分布的意义及主要性质；
⑹理解假设检验的根本思想；
⑺会根据样本的特征数估计总体；
⑻理解线性回归的方法.
12．极限、导数、复数：理解导数概念的某些实际背影〔如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等〕，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；
五、本卷须知
对应用题，要求能阅读、理解陈述的材料，能结合应用所学数学知识、思想方法解决问题，包括解决带有实际意义的或者者相关学科、消费、生活中的数学问题.并能用数学语言正确的加以表述.考生的弱点主要表如今将实际问题转化成数学问题的才能上.实际问题转化为数学问题，关键是进步阅读才能即数学审题才能，审出函数、方程、不等式、等式，要求我们读懂材料，辨析文字表达所反响的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学本质，抽象其中的数量关系，将文字语言表达转译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解答.可以说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解才能；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的根底知识和较强的数理才能.
在解容许用问题中，最常见的是以上的几种模型，即：函数模型、不等式模型、数列模型、三角模型.此外，
其它的几种应用问题模型有：与排列组合有关的应用问题，特征比较明显，属于排列组合模型，解答时一定要分清楚是分类还是分步，是排列还是组合，是否有重复和遗漏；与光学、力学、轨迹等有关方面的应用问题，可通过建立适当的坐标系，运用曲线的知识来建立数学模型来解答，且曲线研究主要是二次曲线，所以可称之为二次曲线模型.
六、范例分析
例1．〔1996年全国高考题〕某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现有增加22％，人均粮食产量比方今进步10％，假设人口年增长率为1％，那么耕地每年至多只能减少多少公顷〔准确到1公顷〕？
〔粮食单产＝
总产量
耕地面积
；人均粮食产量＝
总产量
总人口数
〕
分析：此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进展比较与决策.
解：1.读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占
有量P＝粮食单产×耕地面积
总人口数
，主要关系是：P实际≥P规划.
2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，如今粮食单产为a吨／公顷，如今人口数为m，那么如今
占有量为a
m
×104
，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)
10
，耕地面积为〔10
4
－10x〕.
∴a x
m
(.)()
(.)
10221010
1001
4
10
+-
+
≥
a
m
×104
〔1＋0.1〕
即2〔104
－10x〕≥×10
4
×〔1＋0.01〕
10
3.求解：x≤103
－
11
122
.
.×103×〔1＋0.01〕10
∵〔1＋0.01〕10
＝1＋C10
1
×0.01＋C10
2
×
2
＋C10
3
×
3
＋…≈
∴x≤103
≈4〔公顷〕
4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可答题.〔答略〕
另解：1.读题：粮食总产量＝单产×耕地面积；粮食总占有量＝人均占有量×总人口数；
而主要关系是：粮食总产量≥粮食总占有量
2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，如今粮食单产为a吨／公顷，如今人口数为m，那么如今
占有量为a
m
×104
，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)
10
，耕地面积为〔10
4
－10x〕.
∴a(1＋0.22)×(1O 4
－10x)≥
a
m
×104
×(1＋0.1)×m(1＋0.01)
10
3.求解：x≤103
－
11
122
.
.×103×〔1＋0.01〕10
∵〔1＋0.01〕10
＝1＋C10
1
×0.01＋C10
2
×
2
＋C10
3
×
3
＋…≈
∴x≤103
≈4〔公顷〕
4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可答题.〔答略〕
说明：此题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率.其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解.此题两种解法，虽都是建立不等式模型，但建立时所用的意义不同，这要求灵敏掌握，还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识纯熟.此种解法可以解决有关统筹安排、最正确决策、最优化等问题.此种题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式.
在解容许用问题时，我们强调“10
≈1，算得结果为x≤98公顷
10
的近似计算上.
例2．某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室.据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间是的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？
解:引入字母，转化为递归数列模型.
设第n次去健身房的人数为an，去娱乐室的人数为bn，那么
150
=
+
n
n
b
a
.
A
MCDB
3010730107)150(102109102109111111+=+=-+=+=∴------n n n n n n n n a a a a a b a a 即.
)100(1071001-=
-∴-n n a a ，于是1
1)107)(100(100--=-n n a a 即)100()107(10011-⋅+=-a a n n .
100lim =∴∞
→n n a .故随着时间是的推移，去健身房的人数稳定在100人左右. 说明：上述解法中提炼的模型173010n n a a -=+，使我们联想到了课本典型习题：
数列{}n a 的项满足
⎩⎨⎧+==+d ca a b a n n 11,〔其中1,0≠≠c c 〕， 证明这个数列的通项公式是：.1)(1---+=-c d c b d bc a n n n
这是一个重要的数列模型，用此模型可以解决许多实际应用题，如2021年全国高考解答题中的应用题(下文例14)就属此类模型.
例3．〔1991年高考题〕某1990年底人口为100万，人均住房面积为5m 2，假设该每年人口平均增长率为
2％，每年平均新建住房面积为10万m 2
，试求到2000年底该人均住房面积〔准确到0.01〕？
分析：城每年人口数成等比数列，每年住房总面积成等比数列，分别写出2000年后的人口数、住房总面积，从而计算人均住房面积. 解：1.读题：主要关系：人均住房面积＝
总住房面积
总人口数 2.建模：2000年底人均住房面积为100105101010
100101244410⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+()％
3.求解：化简上式＝6
102
10.， ∵10＝1＋C 101×0.02＋C 102×2＋C 103×3＋…≈ ∴人均住房面积为6
10210.≈
4.评价：答案2符合城实际情况，验算正确，所以到2000年底该人均住房面积为2
.
说明：一般地，涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问题，可通过观察、分析、归纳出数据成等差数列还是等比数列，然后用两个根底数列的知识进展解答.此种题型属于应用问题中的数列模型.
例4．如图，一载着重危病人的火车从O 地出发，沿射线OA 行驶，其中 ,31=αtg 在间隔O 地5a 〔a 为正数〕公里北偏东β角的N 处住有一位医学专家，其中 sin β=,
53现有110指挥部紧急征调离O 地正东p 公里的B 处的救护车赶往N 处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C 处相遇，经测算当两车行驶的道路与OB 围成的三角形OBC 面积S 最小时，抢救最及时.
〔1〕求S 关于p 的函数关系；
〔2〕当p 为何值时，抢救最及时.
解：〔1〕以O 为原点，正北方向为y 轴建立直角坐标系， 那么x y l OA 3:=
设N 〔x0，y0〕，05sin 3x a a
β∴== 又B 〔p ，0〕，∴直线BC 的方程为：
)(34p x p a a y --= 由⎪⎩⎪⎨⎧--==)(343p x p a a y x y 得C 的纵坐标
)35(5312a p a p ap y c >-=，∴)35(,536||||212a p a p ap y OB S c >-=⋅=∆
〔2〕由〔1〕得)0(35,35253622>-=-=-=
t a p t a p ap a p ap S 令∴22340]310925[2a a t a t a S ≥++=，∴当且仅当,9252t a t =310,35a p a t ==此时即时，上式取等号，∴当
a p 310=公里时，抢救最及时. 例5．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着教师讲课时间是的变化而变化，讲课开场时，学生的兴趣激增；中间有一段时间是，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开场分散，设f(t)
表示学生注意力随时间是t〔分钟〕的变化规律〔f(t)越大，说明学生注意力越集中〕，经过实验分析得知：〔1〕讲课开场后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
〔2〕讲课开场后5分钟与讲课开场后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
〔3〕一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少到达180，那么经过适当安排，教师能否在学生到达所需的状态下讲授完这道题目？
解：〔1〕当
时
10
0≤
<t
，
244
)
12
(
100
24
)(2
2+
-
-
=
+
+
-
=t
t
t
t
f
是增函数，且
240
)
10
(=
f
；
时
当40
20≤
<t
，
380
7
)(+
-t
t
f
是减函数，且
240
)
20
(=
f
.所以，讲课开场10
分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟.
〔2〕
205
)
25
(
,
195
)5(=
=f
f
，故讲课开场25分钟时，学生的注意力比讲课开场后5分钟更集中.
当
10
0≤
<t时，4
,
180
100
24
)(2=
=
+
+
-
=t
t
t
t
f则
；当
40
20≤
<t，
〔3〕令
57
.
28
,
18
38
7
)(2≈
=
+
-
=t
t
t
f则
，那么学生注意力在180以上所持续的时间是27－4=27
＞24，所以，经过适当安排，教师可以在学生到达所需要的状态下讲授完这道题.
例6．〔1997年全国高考题〕甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，汽车每小时的运输本钱〔以元为单位〕由可变局部和固定局部组成：可变局部与速度v〔千米／时〕的平方成正比，比例系数为b；固定局部为a元.
①把全程运输本钱y〔元〕表示为速度v〔千米／时〕的函数，并指出函数的定义域；
②为了使全程运输本钱最小，汽车应以多大速度行驶？
分析：几个变量〔运输本钱、速度、固定局部〕有互相的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值.
解：〔读题〕由主要关系：运输总本钱＝每小时运输本钱×时间是，
〔建模〕有y＝(a＋bv 2
) S
v
〔解题〕所以全程运输本钱y〔元〕表示为速度v〔千米／时〕的函数关系式是：
y＝S(a
v＋bv)，其中函数的定义域是v∈(0，c].
整理函数有y＝S(a
v＋bv)＝S(v＋
a
b
v)，
由函数y＝x＋k
x(k>0)的单调性而得：
当a
b<c时，那么v＝
a
b时，y取最小值；
当a
b≥c时，那么v＝c时，y取最小值.
综上所述，为使全程本钱y最小，当a
b<c时，行驶速度应为v＝
a
b；当
a
b≥c时，行驶速度应为
v＝c.
说明：1.对于实际应用问题，可以通过建立目的函数，然后运用解〔证〕不等式的方法求出函数的最大值或者最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如此题中速度v的范围，一旦无视，将出现解答不完好.此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型.
2.二次函数、指数函数以及函数
b
y ax
x
=+
〔a＞0，b＞0〕的性质要纯熟掌握.
3.要能纯熟地处理分段函数问题.
例7．某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪吞没正在紧张施工的遂道工程.经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时.但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车.问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.
解:引入字母，构建等差数列和不等式模型.
由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为4801
，设从第一辆车投
入施工算起，各车的工作时间是为a1，a2，…，a25小时，依题意它们组成公差31
-
=d 〔小时〕的等差数列，
且
48025)(21,1480480480,2425125211≥⋅+≥+++≤a a a a a a 即则有
，化简可得
5192
821≥-a . 解得24
51
23,51231<≥由于a .
可见a1的工作时间是可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.
说明：对照此题与2021年全国高考文科数学解答题中的应用题，一定会感觉二者的解法是小异的.学习数学就需要这种将旧形式中的方法迁移为解答新题的有用工具，这要求不断的联想，力求寻找恰当的解题方案.
例8．在一很大的湖岸边〔可视湖岸为直线〕停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h ，同时岸边有一人，从同一地点开场追赶小船，他在岸上跑的速度为4km/h ，在水中游的速度为2km/h.，问此人能否追上小船.假设小船速度改变，那么小船能被人追上的最大速度是多少？
解:不妨画一个图形，将文字语言翻译为图形语言，进而想法建立数学模型. 设船速为v ，显然h km v
/4≥时人是不可能追上小船，当20≤≤v km/h 时，人不必在岸上跑，而只要
立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑42<<v
的情况，由于人在水中游的速度小于船的
速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船.设船速为v ，人追上船所用
时间是为t ，人在岸上跑的时间是为)10(<<k kt ，那么人在水中游的时间是
为
t k )1(-，人要追上小船，那么人船运动的道路满足如下列图的三角形.
,||,)1(2||,4||vt OB t k AB kt OA -== 由余弦是理得
即
42
64.2)()4()1(42222+⋅
⋅-+=-vt kt vt kt t k
整理得
04]8)26(2[122
2=-+-+-v k v k . 要使上式在〔0，1〕范围内有实数解，那么有
1124
02
<-<
v 且0)4(124]8)26(2[2
2≥-⋅⋅--+=∆v v
O
A B
v t
2(1－k )t
4k t
15°
解得
h
km
v
v/
2
2
,2
2
2
max
=
≤
<即
.
故当船速在
]2
2,2(
内时，人船运动道路可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为
h
km/
2
2，由此可见当船速为2.5km/h时，人可以追上小船.
例9．〔2021年普通高等招生全国统一考试(理工农医类20)〕
在某海滨城附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城O〔如图〕的东偏南
)
10
2
arccos
(=
θ
θ
方
向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向挪动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城开场受到台风的侵袭？
解：如图建立坐标系以O为原点，正向为x轴正向.
在时刻：〔1〕台风中心P〔
y
x,
〕的坐标为
此时台风侵袭的区域是
,
)]
(
[
)
(
)
(2
2t r
y
y
x
x≤
-
+
-
其中
,
60
10
)(+
=t
t r
假设在t时刻城O受到台风
的侵袭，那么有
即
2
2)
2
2
20
10
2
7
300
(
)
2
2
20
10
2
300
(t
t⨯
+
⨯
-
+
⨯
-
⨯
答：12小时后该城开场受到台风的侵袭.
例10．甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及本钱如下表，假设用甲、乙、丙三种食物各x千克，y 千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.
〔1〕用x，y表示混合食物本钱c元；
〔2〕确定x，y，z的值，使本钱最低.
解:〔1〕依题意得
100
,
4
9
11=
+
+
+
+
=z
y
x
z
y
x
c又y
x
c5
7
400+
+
=
∴.
〔2〕由
{y x z z y x z y x --=≥++≥++100,63000
50040080056000400700600及，得
{130332064≥-≥+y x y x ，
当且仅当
{{20
50,130332064==≥-=+y x y x y x 即时等号成立.，
∴当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物本钱最低为850元. 说明：线性规划是高中数学的新增内容，涉及此类问题的求解还可利用图解法. 例11．〔2021年普通高等招生全国统一考试〔卷文史类19〕〕
有三个新镇，分别位于A ，B ，C 三点处，且AB=AC=13km ，BC=10km.今方案合建一个中心，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，〔建立坐标系如图〕
〔Ⅰ〕假设希望点P 到三镇间隔的平方和为最小， 点P 应位于何处？
〔Ⅱ〕假设希望点P 到三镇的最远间隔为最小， 点P 应位于何处？
分析：本小题主要考察函数，不等式等根本知识，考察运 用数学知识分析问题和解决问题的才能.
〔Ⅰ〕解：设P 的坐标为〔0，y 〕
，那么P 至三镇间隔
的平方和为
所以，当
4=y 时，函数)(y f 获得最小值.答:点P 的坐标是).4,0(
〔Ⅱ〕解法一：P 至三镇的最远间隔为⎪⎩⎪⎨
⎧-<+--≥++=.|12|25|,12||,
12|25,25)(222y y y y y y x g 当当
由
|
12|252
y y -≥+解得
,24119≥
y 记,24119*=y 于是
⎪⎩⎪⎨
⎧<-≥+=.|,12|,
,25)(**2y y y y y y x g 当当因为2
25y +在[),*+∞y 上是增函数，而]y ,(-|12|*∞-在y 上是减
函数.所以
*
y
y =时，函数
)(y g 获得最小值.答:点P 的坐标是
);24119
,
0(
解法二：P至三镇的最远间隔为
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
-
<
+
-
-
≥
+
+
=
.|
12
|
25
|,
12
|
|,
12
|
25
,
25
)
(
2
2
2
y
y
y
y
y
y
x
g
当
当
由
|
12
|
252y
y-
≥
+
解得
,
24
119
≥
y
记
,
24
119
*=
y
于是
函数
)
(y
g
x=
的图象如图
)
(a
，因此，
当
*
y
y=
时，函数
)
(y
g
获得最小值.答:点P的坐标是
);
24
119
,0(
解法三：因为在△ABC中，AB=AC=13，且，
(b).
,
4
,
5
12
2
2如图
π
=
∠
=
>
=
-ACB
OC
OC
AC
所以△ABC的外心M在线段AO上，其坐标为
) 24 119
,0(
，
且AM=BM=CM.当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，
这时P到A、B、C三点的最远间隔为
P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M 重合时，P到三镇的最远间隔最小.
答:点P的坐标是
); 24 119 ,0(
例12．据气象台预报，在A正向300公里的B处有一台风中心形成，并以每小时40公里的速度向西北方向挪动，间隔台风中心250公里内的地方都要受其影响。

问：从如今起，大约多长时间是后，台风将影响A，持续时间是有多长？
分析：台风中心在运动，它的运动规律是什么？我们可以建立一个直角坐标系来研究这一规律。

视A为坐标原点，建立如下列图的直角坐标系XOY，那么B处的坐标〔300,0〕，圆A的方程为x2＋y2＝2502，易知当台风中心在圆A上或者内部时，台风将影响A。

解：建立如下列图的直角坐标系，台风中心运动的轨迹是一条射线，由于台风中心以每小时40公里的速度向西北方向挪动，于是可设台风中心所在的射线的参数方程为：
x＝300+40tcos135o即x＝300-20
2t
y＝40tsin135o〔t≥0〕y＝20
2t〔t≥0〕
其中，参数t的物理意义是时间是〔小时〕，于是问题转化为“当时间是t在何范围时，台风中心在圆A 的内部或者边界上〞。

台风中心C〔300-20
2t，202t〕在圆A上或者内部的充要条件是：
〔300-20
2t〕2＋〔202t〕2≤≤t≤
所以大约2小时后，A将受到台风影响，并持续小时左右。

说明：这个解析几何模型对于研究台风、寒流、沙暴中心的运动规律，指导和预防自然灾害的影响具有现实意义。

例13．随着机构HY工作的深化进展，各单位要减员增效，有一家公司现有职员
a2人〔140<a2<420，且a为偶数〕，每人每年可创利b万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，那么留岗职员每人每年
多创利
b
01
.0万元，但公司需付下岗职员每人每年b4.0万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小
于现有职员的4
3
，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
解：设裁员
x人，可获得的经济效益为y万元，那么
=
ab
x
a
x
b
2
]
)
70
(2
[
100
2+
-
-
-
依题意
x
a-
2≥
a2
4
3
⋅
，∴0<
x≤2
a
.
又140<
a2<420，70<a<210.
(1)当0<
70
-
a≤2
a
，即70<
a≤140时，70
-
=a
x，y取到最大值；
(2)当
70
-
a>2
a
，即140<
a<210时，2
a
x=
，
y
取到最大值；
综上所述，当70<a≤140时，应裁员70
-
a人；当140<a<210时，应裁员2
a
人.。