四川省叙州区第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学(文)试题

四川省叙州区第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月
考数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．命题“0(0,)x ∃∈+∞,00
1
lg x x =”的否定是（ ） A ．(0,)x ∀∉+∞,1lg x x =
B ．(0,)x ∀∈+∞,1lg x x ≠
C ．0(0,)x ∃∈+∞,00
1lg x x ≠ D ．0(0,)x ∃∉+∞,00
1lg x x =
2．已知x ，y ∈R，且x >y >0，则下式一定成立的是( ) A ．
11
0x y y
->- B ．2x －3y >0 C ．(
12)x －(12
)y －x
<0 D ．ln x ＋ln y >0
3．抛物线216y x =的准线为（ ） A ．8x =
B ．8x =-
C ．4x =
D ．4x =-
4．设R x ∈，则“20x -≥”是“11x -≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．若倾斜角为θ的直线l 与直线320x y --=平行，则sin2θ＝（ ） A ．
35
B ．
35
C ．45
-
D ．
45
6．直线1l ：()340a x y +++=与直线2l ：()140x a y +-+=垂直，则直线1l 在x 轴上的截距是（ ） A ．4-
B ．2
C ．2-
D ．4
7．我国于2010年10月1日成功发射嫦娥二号卫星，卫星飞行约两小时到达月球，到达月球以后，经过几次变轨将绕月球以椭圆型轨道飞行，其轨迹是以月球的月心为一焦点的椭圆．若第一次变轨前卫星的近月点到月心的距离为m,远月点到月心的距离为n ，第二次变轨后两距离分别为2m,2n.则第一次变轨前的椭圆离心率比第二次变轨后的椭圆离心率 ( )
A ．变大
B ．变小
C ．不变
D ．与
m
n
的大小有关
8．已知直线y ＝kx －3经过不等式组20244x y x y y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
所表示的平面区域，则实数k 的取值
范围是（ ） A ．73,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ B ．7,2⎛
-∞-⎤ ⎥⎝
⎦∪3,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．77,24⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D ．7,2⎛
-∞-⎤ ⎥⎝
⎦∪7,4
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
9． 已知命题p ：∀a ∈R ，且a >0，a ＋≥2，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝，
则下列判断正确的是( ) A ．p 是假命题 B ．q 是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题
D ．() p q ⌝∧是真命题
10．若双曲线E :22
122x y
m m
-=-(1)>m 的焦距为10，则该双曲线的离心率为( )
A ．
43
B ．
53
C ．
54
D ．
2516
11．过圆x 2+y 2=4外一点P 作该圆的切线，切点为A 、B ，若∠APB=60°，则点P 的轨迹是（ ） A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．抛物线
12．过抛物线()2
:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4
AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．函数()24
x f x x
+=在区间[]1,5上的值域是________________.
14．由直线:240l x y +-=上的任意一个点向圆22
:(1)(1)1C x y 引切线，则
切线长的最小值为________.
15．已知P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为
()2,3，则PA PM
+的最小值是__________．
16．如图所示，,OA OB 为两个不共线向量，M 、N 分别为OA 、OB 的中点，点C 在直线MN 上，且(,)OC xOA yOB x y R =+∈则2
2x
y +的最小值为________.
三、解答题
17．已知命题p ：方程22
12x y m
+=表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：x R ∀∈，
244430x mx m -+-≥.若()p q ∧￢为真，求m 的取值范围．
18．在ABC ∆中，(1,2)A -，边AC 上的高BE 所在的直线方程为74460x y +-=，边
AB 上中线CM 所在的直线方程为211540x y -+=.
（1）求点C 坐标； （2）求直线BC 的方程.
19．某新建居民小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米.怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？（结果精确到0.1米）
20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D ，E 分别为AC 和11B C 的中点.
（1）证明：//DE 平面11ABB A ；
（2）若AB BC ⊥，12AB BC AA ===，求点D 到平面ABE 的距离.
21．椭圆C 一个焦点为(1,0)F ，离心率2
e =． （1）求椭圆C 的方程．
（2）定点(0,2)M ，P 为椭圆C 上的动点，求||MP 的最大值；并求出取最大值时P 点的坐标．
22．已知圆22(3)(4)16x y -+-=，直线1:0l kx y k --=，且直线1l 与圆交于不同的两点,P Q ，定点A 的坐标为(1,0). （1）求实数k 的取值范围；
（2）若,P Q 两点的中点为M ，直线1l 与直线2:240l x y ++=的交点为N ，求证：
||||AM AN ⋅为定值.
参考答案
1．B 【分析】
根据p 为原命题条件,q 为原命题结论,则否命题:若非p 则非q ,即可求得答案. 【详解】
根据p 为原命题条件,q 为原命题结论,则否命题:若非p 则非q 结合,存在性命题的否定是全称命题
∴ 命题“0(0,)x ∃∈+∞,001lg x x =
”的否定是:(0,)x ∀∈+∞,1lg x x
≠ 故选:B. 【点睛】
本题考查了特称命题的否定,属于基础题. 2．C 【解析】
由题意得，对于A 选项， 当x ＝2，y ＝1时，
11
0x y y
-=-，不成立； 对于B 选项，当x ＝3，y ＝2时，32230-<，不成立；
对于C 选项，1102x ⎛⎫< ⎪⎝<⎭
，112y x
-⎛⎫> ⎪⎝⎭，故11022x y x
-⎛⎫⎛⎫
-< ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，成立；
对于D 选项，当0<x <1,0<y <1时，lnx ＋lny <0，不成立． 本题选择C 选项. 3．D 【分析】
根据抛物线定义即可求解 【详解】
由2
16y x =可得抛物线焦点坐标为()4,0，则抛物线准线方程为：4x =-
故选：D 【点睛】
本题考查抛物线基本量的求解，属于基础题 4．B 【分析】
本题首先可通过运算得出20x -≥即2x ≤以及11x -≤即02x ≤≤，然后根据2x ≤与
02x ≤≤之间的关系即可得出结果.
【详解】
20x -≥，即2x ≤，
11x -≤，即111x -≤-≤，02x ≤≤，
因为集合[]0,2是集合(],2-∞的真子集， 所以“20x -≥”是“11x -≤”的必要不充分条件. 故选：B . 【点睛】
本题考查充分条件以及必要条件的判定，给出命题“若A 则B ”,如果A 可证明B ，则说明
A 是
B 的充分条件，如果B 可证明A ，则说明A 是B 的必要条件，考查推理能力与计算能
力，是简单题. 5．A 【分析】
首先根据直线斜率tan 3k θ==，解得cos 10θ=，sin 10
θ=，再代入正弦二倍角公式计算即可. 【详解】
因为tan 3k θ==，所以θ为锐角，
cos 10θ=
=，sin θ=
所以3
sin22sin cos 5
θθθ==． 故选：A 【点睛】
本题主要考查直线的斜率，同时考查了正弦二倍角公式，属于简单题.
6．C
【分析】
利用直线l1：（a+3）x+y﹣4＝0与直线l2：x+（a﹣1）y+4＝0垂直，求出a，再求出直线l1在x轴上的截距．
【详解】
∵直线l1：（a+3）x+y+4＝0与直线l2：x+（a﹣1）y+4＝0垂直，
∴（a+3）+a﹣1＝0，
∴a＝﹣1，
∴直线l1：2x+y+4＝0，
∴直线l1在x轴上的截距是-2，
故选C．
【点睛】
本题考查直线垂直条件的运用，考查直线在x轴上的截距的定义和求法，属于基础题．7．C
【解析】
将月球的球心作为焦点，再由“卫星近月点到月心的距离为m，远月点到月心的距离为n”和“二次变轨后两距离分别为2m，2n”，可得到a+c，a-c，分别求得a，c，再求离心率后比较即得．
解：设长半轴为a，半焦距为c
第一次变轨前：
根据题意：
a c n {
a c m
+=
-=
∴
m n a
2 {
n m c
2
+
=
-
=
∴e=c n m a n m
-=
+
同理，第二次变轨后，椭圆离心率e=c n m a n m
-=
+
则第一次变轨前的椭圆离心率比第二次变轨后的椭圆离心率不变
故选C ． 8．B 【分析】
作出不等式组所表示的平面区域，因为直线y ＝kx －3过定点M (0，－3), 由图可知，当直线
从经过点B 开始，绕点M 逆时针旋转至经过点A 满足题意，由此可知，
MB k k ≥或MA k k ≤，即得到实数k 的取值范围． 【详解】
画出不等组20
244x y x y y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
所表示的平面区域，如图所示，
直线y ＝kx －3过定点M (0，－3)，
由420y x y =⎧⎨+-=⎩
解得A (－2，4)，
当直线y ＝kx －3过点A 时， k ＝
340(2)----＝－7
2
；
由2420x y x y -=⎧⎨+-=⎩
解得B (2，0)，
当直线y ＝kx －3过点B 时，k ＝
3002---＝3
2. 由图形知，实数k 的取值范围是7,2⎛-∞-⎤ ⎥⎝
⎦
∪3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣
⎭
．
故选B ． 【点睛】
本题主要考查二元一次不等式组表示的平面区域的画法以及利用数形结合思想解决过定点
的直线与平面区域的位置关系问题，意在考查学生直观想象能力和数学运算能力． 9．C 【分析】
由均值不等式知p 为真命题，再由化一公式可得q 为假命题，再由复合命题的真假判断即可. 【详解】
由均值不等式知p 为真命题； 因为sin x 0＋cos x 0＝
sin(x 0＋)≤
，所以q 为假命题，则q ⌝为真命题，
所以p ∧(q ⌝)为真命题． 故选C. 【点睛】
本题主要考查了复合命题的真假判断与应用，属于基础题. 10．C 【分析】
先判断出焦点在x 轴上,再根据双曲线的基本量求解即可. 【详解】
因为1m ,故220,0m m ->>,故焦点在x 轴上.又焦距为10,故2
1022252m m ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭
,
解得9m =.故双曲线E
:22
1169x y -=.故离心率为54
. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了双曲线中的基本量计算求离心率的问题,属于基础题. 11．B 【解析】
试题分析：由题意画出图形，通过求解直角三角形可得点P 到原点的距离为定值4，则答案可求． 解：如图，
∵∠APB=60°，∴∠APO=30°， 在Rt △PAO 中，∵OA=2，∴PO=4．
则点P 的轨迹是以O 为圆心，以4为半径的圆．
故选B ．
考点：轨迹方程． 12．C 【分析】
设直线AB 的方程为2
p y kx =+
，代入2
2x py =得：2220x pkx p --=，由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2
A B x x p =-，从而得到()
2||21AB p k =+，同理可得
2
1
||2(1)CD p k
=+
，再利用111||||4AB CD +=求得p 的值，当Q ，P ，M 三点共线时，即可得答案. 【详解】
根据题意，可知抛物线的焦点为(0,)2
p
，则直线AB 的斜率存在且不为0， 设直线AB 的方程为2
p y kx =+
，代入2
2x py =得：2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2
A B x x p =-，
所以(
)2
||21AB p k
=+.
又直线CD 的方程为12p y x k =-
+，同理21
||2(1)CD p k
=+， 所以22111111
1||||2(1)242(1)
AB C p k p k
D p +=+==
++，
所以24p =.故2
4x y =.过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足， 则由抛物线的定义可得||||PF PM =.
所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=，当Q ，P ，M 三点共线时，等号成立
.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.
13．294,5⎡
⎤⎢⎥⎣⎦
【分析】
根据函数()24x x x +=在区间[]1,5上上的单调性，求函数()24x f x x
+=在区间[]1,5上的值域.
【详解】
因为函数()244x f x x x x
+==+在[]1,2上单调递减，在(]2,5 上单调递增，故 ()()2min 2424,2
f x f +=== 又 ()()2214542915,55,155
f f ++====> 即函数()24x f x x
+=在区间[]1,5上的值域是294,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 即答案为294,
5⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查利用函数的单调性求值域，属基础题.
14．2
【分析】
利用切线和点到圆心的距离关系即可得到结果.
【详解】
圆心坐标()1,1C -，半径1R =
要使切线长DA 最小，则只需要点D 到圆心的距离最小，
此时最小值为圆心C 到直线的距离
d ===
此时2DA ===，
故答案为：2
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.
151
【分析】 首先根据抛物线的定义转化1PA PM PA PF +=+-，再根据数形结合分析PA PF +的最小值.
【详解】
设抛物线的焦点是()1,0F ， 根据抛物线的定义可知1PM PF =-
1PA PM PA PF ∴+=+-， PA PF AF +≥，
当,,A P F 三点共线时，等号成立， PA PM ∴+的最小值是1AF ，
AF ==
PA PM ∴+
1.
1
【点睛】
本题考查抛物线的定义和抛物线内距离的最值问题，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是根据抛物线的定义转化1PM PF =-.
16．18
【分析】 首先根据平面向量的基本定理得到12x y +=，利用基本不等式得到()21416
+≤=x y xy ，再根据()2
222x y x y xy +=+-求最小值即可.
【详解】
因为M 、N 分别为OA 、OB 的中点，
所以22=+=+OC xOA yOB xON yOM . 又因为M 、N 、C 三点共线，所以221x y +=，即12
x y +=. 因为0x >，0y >，所以()21416
+≤=x y xy ，当且仅当14x y ==时取等号. 所以()2221111224488
+=+-=-≥-=x y x y xy xy . 故答案为：
18
【点睛】 本题主要考查基本不等式求最值，同时考查了平面向量的基本定理，属于中档题.
17．[]
1
2，. 【解析】
试题分析：
分别求出当命题p ，q 均为真命题时参数m 的取值范围，由()p q ∧￢为真可得m 的取值范围．
试题解析：
当命题p 为真时可得2m >，
∴p ⌝：2m ≤．
当命题q 为真时可得()21616430m m =--≤， 解得13m ≤≤．
∵()p q ∧￢为真，
∴213m m ≤⎧⎨≤≤⎩
，解得12m ≤≤． ∴实数m 的取值范围是[]1
2，． 18．（1）()66C ，
（2）2180x y +-= 【分析】
（1）由AC 边上的高BE 所在的直线方程可得k AC ．利用点斜式可得AC 方程,与CM 方程联立解得C 坐标．（2）设B 点坐标，可得中点M 坐标代入CM 方程，与BE 方程联立，可得点B 坐标，利用点斜式即可得出所求直线方程．
【详解】
（1）AC 边上的高为74460x y +-=，故AC 的斜率为
47， 所以AC 的方程为()4217
y x -=
+， 即47180x y -+=，
因为CM 的方程为211540x y -+=
21154047180x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，， 解得66x y =⎧⎨=⎩
所以()66C ，
. （2）设()00,B x y ，M 为AB 中点，则M 的坐标为0012,22x y -+⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 0000122115402274460x y x y -+⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩
解得0028x y =⎧⎨=⎩， 所以()2,8B ， 又因为()6,6C ，
所以BC 的方程为()866626
y x --=-- 即BC 的方程为2180x y +-=.
【点睛】
本题考查两条直线垂直的应用、考查中点坐标公式以及直线方程的求法，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
19．绿地的长为30.5米，宽为23.0米时，人行道的占地面积最小为414.4平方米.
【分析】
设绿地的长边为x 米，则宽边为700x
米，人行道的占地面积为S 平方米，利用矩形的面积公式即可得出S ，再利用基本不等式即可得出结论.
【详解】
设绿地的长边为x 米，则宽边为
700x 米，人行道的占地面积为S 平方米， 所以(
)70056006886484848S x x x x =++⨯=++≥=， 当且仅当56006x x =
，即3
x =时，上式中等号成立，
4.58≈
，则48414.4≈，
因此，当绿地的长为
30.53
≈米，宽为23.0米时，人行道的占地面积最小为414.4平方米.
【点睛】
本题考查基本不等式的实际应用，熟练掌握矩形的面积计算公式、基本不等式的性质等是解题的关键，属于基础题.
20．（1）证明见解析；（2. 【分析】 (1) 取AB 的中点M ，连结DM ，1MB ,可得四边形1DMB E 为平行四边形，所以1//DE MB ，
从而得证.
（2）先求出12233
E ABD ABD V S -=⨯=△，由条件可得AB ⊥平面11B BCC ，进而可得AB BE ⊥，求出12
ABE S AB BE =⨯⨯△，由等体积法有13E ABD D ABE ABE V V dS --==△，求出答案.
【详解】
（1）证明：取AB 的中点M ，连结DM ，1MB (如图)
∵AD DC =，AM MB =
∴//DM BC ，12
DM BC = 由棱柱的性质知：11//BC B C ，11BC B C =
又11B E EC =
∴1//DM B E ，1DM B E =
∴四边形1DMB E 为平行四边形，所以1//DE MB
∵1MB ⊂平面11ABB A ，DE ⊄平面11ABB A
∴//DE 平面11ABB A
（2）设点D 到平面ABE 的距离为d
∵D 是AC 的中点，且AB BC ⊥，2AB BC == ∴111221222
ABD ABC S S ==⨯⨯⨯=△△ 由E ∈平面111A B C 及直棱柱的性质知，E 到平面ABD 的距离为12AA = ∴12233
E ABD ABD V S -=⨯=△ 由直棱柱的性质知：11BB B E ⊥，1BB AB ⊥
又AB BC ⊥，且1BC
BB B = ∴AB ⊥平面11B BCC
又BE ⊂平面11B BCC 故AB BE ⊥
∴11222ABE S AB BE =
⨯⨯=⨯==△∵13E ABD
D AB
E ABE V V dS --==△
∴35E ABD ABE V d S -===△ 【点睛】
本题考查线面平行的证明和点到面的距离，考查逻辑思维能力，属于中档题.
21．（1）2
212
x y +=；（2）MP 最大值为3，此时P 点坐标为0,1． 【分析】
（1）由焦点坐标和离心率求出,a c 的值，从而求出2b 的值，进而可得椭圆C 的方程；
（2）设P 点坐标为00,x y ，则220022x y =-，从而得
MP =011y -≤≤，可得答案
【详解】
（1）根据题意得1c =
，2c e a =
=
， ∴a =1c =，
∴2221b a c =-=
故椭圆C 的方程为2
212
x y +=． （2）设P 点坐标为00,x y ，则220012
x y +=，所以220022x y =- 所以
MP ====， ∵011y -≤≤，∴当01y =-时，MP 取得最大值3．
∴MP 最大值为3，此时P 点坐标为0,1．
22．（1）4(,)(0,)3-∞-⋃+∞（2）10
【解析】
试题分析：（1）由圆心到直线的距离小于半径列不等式，解不等式可得k 的取值范围；（2）由直线1l 与直线2l 的方程可求N 点的坐标，再联立直线1l 与圆的方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理得12x x +，然后求得M 点的坐标，再根据两点之间距离公式将AM AN ⋅用k 表示，消去k 即可得到结果.
试题解析：（1）因为圆22(3)(4)16x y -+-=与直线1l 与交于不同的两点，
4<，即2340k k +>，解得43k <-或0k > （2）由0{
240kx y k x y --=++=可得245()2121k k N k k --++， 由220{(3)(4)16
kx y k x y --=-+-=可得2222(1)(286)890k x k k x k k +-+++++= 设P Q ，两点横坐标分别为12x x ，，则2122
2861k k x x k +++=+ 得22224342()11k k k k M k k
+++++，
所以AM AN ⋅=
1021
k ==+ 点睛：解析几何证明问题，一般解决方法以算代证，即设参数，运用推理，将问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在此过程中消去变量，从而得到证明.。