广西壮族自治区来宾市2025届高三第一次教学质量监测数学试题

广西壮族自治区来宾市2025届高三第一次教学质量监测数学试
题
一、单选题
1．设21
z i =-，则z 的共轭复数为（ ） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i -
2．已知集合{}{}0,2,4,6,0381x A B x
==<≤∣，则A B =I （ ） A ．{}0,2,4 B ．{}2,4 C ．{}2 D ．{}2,3,4
3．已知平面向量,a b r r 满足()
1,2,a b b a a ==-⊥r r r r r ，则+=r r a b （ ）
A ．3 B
C D ．1
4．某校举行数学竞赛，现将100名参赛学生的成绩（单位：分）整理如下：
根据表中数据，下列结论正确的是（ ） A ．100名学生成绩的极差为60分
B ．100名学生成绩的中位数大于70分
C ．100名学生成绩的平均数大于60分
D ．100名学生中成绩大于60分的人数所占比例超过80%
5．一动圆与圆2240x y x ++=外切，同时与圆224600x y x +--=内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A ．22
195
x y += B ．22195y x += C ．22
12521x y += D ．2212521
y x += 6．圆锥的顶点为,S AB 为底面直径，若π2,3
AB ASB ∠==，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）
A ．4π3
B ．16π3
C D 7．设函数()()()()22e e ,421x x f x a g x x a -=+=+-，若曲线()y f x =与()y g x =恰有一个公
共点，则a =（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
8．黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为12,a a ，且12a a ≠，则下列说法正确的是（ ）
A ．当且仅当12a a >时，方案一的平均购买成本比方案二更低
B ．当且仅当12a a >时，方案二的平均购买成本比方案一更低
C ．无论12,a a 的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低
D ．无论12,a a 的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低
二、多选题
9．下列函数中，对称中心为()1,0的有（ ）
A ．sin πy x =
B ．()cos 1y x =-
C ．1122
y x =- D ．3231y x x x =-++ 10．已知抛物线()2:20C y px p =>，过C 的焦点F 作直线:1l x ty =+，若C 与l 交于,A B 两
点，2AF FB =u u u r u u u r ，则下列结论正确的有（ ）
A ．2p =
B ．3AF =
C ．t =-
D ．线段AB 中点的横坐标为54
11．下列关于函数()ln f x x x x =-的说法，正确的有（ ）
A ．1x =是()f x 的极大值点
B ．函数()f x &有两个零点
C ．若方程()f x m =有两根12,x x ，则12e x x +>
D ．若方程()f x m =有两根12,x x ，则12e x x +<
三、填空题
12．甲､乙､丙三名工人加工同一型号的零件，甲加工的正品率为90%，乙加工的正品率为80%，丙加工的正品率为85%，加工出来的零件混放在一起.已知甲､乙加工的零件数相同，丙加工的零件数占总数的40%.现任取一个零件，则它是正品的概率为.
13．已知双曲线C :x 2a 2−y 2
b 2=1 a >0,b >0 的左､右焦点分别为12F F ､，若双曲线的左支上一点P 满足1221
sin 3sin PF F PF F ∠∠=，以2F 为圆心的圆与1F P 的延长线相切于点M ，且113F M F P =u u u u r u u u r ，则双曲线的离心率为.
14．已知0a >，函数()()0a f x x x x
=->.若曲线()y f x =与直线2y =交于,A B 两点，设,A B 的横坐标分别为12,x x ，写出12,x x 与a 的一个关系式：；分别过点,A B 作x 轴的垂线段11,AA BB ，垂足分别为11,A B ，则四边形11AA B B 的面积为.
四、解答题
15．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .
已知
1tan 21tan A A
+=-(1)求A ∠；
(2)若3c =，且ABC V
的面积为ABC V 的周长.
16．中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下：
(1)将列联表补充完整；
(2)根据0.05α=的独立性检验，能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联？
(3)若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.
附：()()()()2
2
()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++
17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AB C △为正三角形，四边形11AA B B 为菱形.
(1)求证：1AB ⊥平面1A BC ；
(2)若4AC BC ==，且,A C B C E ⊥为1CC 的中点，求平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值.
18．已知数列{}n a 满足11a =，点()1,n n a a +在直线31y x =+上.
(1)设12
n n b a =+，证明{}n b 为等比数列： (2)求数列{}n a 的前n 项和n S ；
(3)设1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，证明：32n T <. 19．已知：①定积分的定义：
设y =f x 为定义在[],a b 上的连续非负函数，为求()y f x x a x b x ===､､､轴围成的曲边梯形的面积，可采取如下方法：
将区间[],a b 分为n 个小区间，每个小区间长度为b a n
-，每个区间即可表示为()()1,1,2,3,b a b a a i a i i n n n --⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦
L ，再分别过每个区间的左右端点作x 轴的垂线与y =f x 图象相交，即可得到一个小的曲边梯形.如图，
当n →+∞时，每个小曲边梯形可近似看作矩形，矩形的宽即为每个小区间的长度，长可由每个小区间内的任一点的函数值近似代替（一般用区间端点的函数值），将这样无穷多个小矩形的面积相加，所得之和即为所求的由()y f x x a x b x ===､､､轴围成的曲边梯形的面积，即1lim n
n i b a b a S f a i n n ∞→=⎡⎤--⎛⎫=+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
∑，上式也记为()b a f x dx ⎰，即对y =f x 在[],a b 上求定积分. ②定积分的计算：()()()b a
f x dx F b F a =-⎰其中()()F x f x '=. 根据以上信息，回答以下问题：
(1)已知π02
α<<，求证：0cos xdx αα<⎰. (2)将112x x y x x
===､､､轴围成的图形面积分别表示为定积分的形式与面积和的极限形式，并求其值；
(3)试证明：
111111ln2101102200100101199
+++<<+++L L .。