沪教版2019-2020年九年级数学下学期C专题中考冲刺：图形的翻折+3星)

2019-2020学年沪教版初三下学期C专题中考冲刺
————图形的翻折
【解题策略分析】
解决动态问题需要我们运用运动与变化的观点去观察与研究图形，把我图形运动与变化的全过程，在运动中找出不变的因素，利用不变的因素来解决变化的问题。

（1）通过翻折后与原图形全等找出等量关系；
（2）联结原点和翻折后的点，必定关于折痕对称（或者用折痕是对称点的垂直平分线）；
（3）跟其他线段中点结合构造中位线；
（4）做垂线运用“双勾股”。

一、全等三角形相关计算（边和角）
如图所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，已知AB=6、BC=8，则BF=．
考点：翻折变换（折叠问题）。

专题：数形结合。

分析：根据折叠的性质我们可得出AB=ED，∠A=∠E=90°，又有一组对应角，因此就构成了全等三角形判定中的AAS的条件．两三角形就全等，从而设CF为x，解直角三角形ABF 可得出答案．
解答：解：根据题意可得：AB=DE，∠A=∠E=90°，
又∵∠AFB=∠EFD，
∴△ABF≌△EDF（AAS）．
∴AF=EF，
设BF=x，则AF=FE=8﹣x，
在Rt△AFB中，可得：BF2=AB2+AF2，
即x2=62+（8﹣x）2，
解得：x=．
故答案为：．
点评：本题考查翻折变换的知识，有一定的难度，注意判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=cm，然后以虚线CE（E点在AD上）为折痕，使D点落在AB边上，则AE=cm，∠DCE=．
考点：翻折变换（折叠问题）。

专题：探究型。

分析：先根据翻折变换的性质及矩形的性质得到CD′=CD=AB=10，DE=ED′，由勾股定理即可求出BD′的长，进而可求出AD′的长，再设AE=x，在Rt△AED′中，利用勾股定理即可求出AE的长；再利用锐角三角函数的定义求出∠DCE的正切值即可求出∠DCE的度数．
解答：解：∵△D′CE是△DCE沿直线CE翻折而成，
∴CD′=AB=CD=10，DE=ED′，
∴在Rt△BCD′中，BD′===5，
∴AD′=AB﹣BD′=10﹣5=5，
设AE=x，则ED′=5﹣x，在Rt△AED′中，AE2+AD′2=ED′2，
即x2+52=（5﹣x）2，
解得x=．
∴DE=AD﹣AE=5﹣=，
∵tan∠DCE===，
∵△CDE是直角三角形，
∴∠DCE=30°．
故答案为：、30°．
点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，解答此类问题时首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
如图矩形ABCD纸片，我们按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于点E；（2）将纸片展开后，再次折叠纸片，以过点E所在的直线为折痕，使点A落在BC或BC的延长线上，折痕EF交直线AD或直线AB于F，则∠AFE的值为（）
A．22.5°B．67.5°C．22.5°或67.5°D．45°或135°
考点：矩形的性质；角的计算；翻折变换（折叠问题）。

专题：计算题。

分析：可动手操作，观察折叠得到的图形及展开图，确定折线的位置，然后进一步求解．解答：解：以过点A的直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于点E，实际上是折成一个正方形；
①将纸片展开后，再次折叠纸片，以过点E所在的直线为折痕，使点A落在BC或BC的延长线上，折痕EF交直线AD于F，∠AEC=45°+90°=135°．
所以，∠AFE=∠FEC=∠AEC=67.5°；
②交AB的延长线交于一点F1时，
∠BEF=∠MEC=67.5°，
∴∠AFE=90°﹣∠BEF=22.5°，
故选C．
点评：本题主要考查了学生对折叠的特点的认识，在这道题中折叠成的图形正好是一个正方形，对角线平分直角，所以是45度或135度．
如图①，一张四边形纸片ABCD，∠A=50°，∠C=150°．若将其按照图②所示方式折叠后，恰好MD′∥AB，ND′∥BC，则∠D的度数为（）
A．70°B．75°C．80°D．85°
考点：翻折变换（折叠问题）。

专题：探究型。

分析：先根据翻折变换的性质得出∠1=∠D′MN，∠2=∠D′NM，再由平行线的性质求出
∠1+∠=∠D′MN及∠2+∠D′NM的度数，进而可得出结论．
解答：解：∵△MND′由△MND翻折而成，
∴∠1=∠D′MN，∠2=∠D′NM，
∵MD′∥AB，ND′∥BC，∠A=50°，∠C=150°
∴∠1+∠D′MN=∠A=50°，∠2+∠D′NM=∠C=150°，
∴∠1=∠D′MN===25°，∠2=∠D′NM===75°，
∴∠D=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣25°﹣75°=80°．
故选C．
点评：本题考查的是翻折变换的性质及平行线的性质，解答此类题目时往往隐含了三角形的内角和是180°这一知识点．
二、相似三角形相关计算
有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（）
A．1B．1 C．D．
考点：翻折变换（折叠问题）。

专题：几何图形问题；数形结合。

分析：利用折叠的性质，即可求得BD的长与图3中AB的长，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得BF的长，则由CF=BC﹣BF即可求得答案．
解答：解：如图2，根据题意得：BD=AB﹣AD=2.5﹣1.5=1，
如图3，AB=AD﹣BD=1.5﹣1=0.5，
∵BC∥DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴，
即，
∴BF=0.5，
∴CF=BC﹣BF=1.5﹣0.5=1．
故选B．
点评：此题考查了折叠的性质与相似三角形的判定与性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
∆）中，AB = AC = 5，BC = 8，将三角形按照如图所示的方式折叠，已知三角形纸片（ABC
∆
使点B落在边AC上，记为点'B，折痕为EF，若以点'B，F，C为顶点的三角形与ABC 相似，那么BF的长度是________
考点：相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．
分析：首先由折叠的性质得到BF=B′F；再由相似三角形的判定（对应边成比例的三角形相似），可得BF的长．注意此题没指明对应边，需分类讨论．
解答：解：由题意得：BF=B′F，∠C=∠C，
若=，
则△CB′F∽△CAB，
设BF=x，则FC=BC﹣BF=8﹣x，
∴，
解得：x=；
若，
则△CB′F∽△CBA，
设BF=y，则FC=BC﹣BF=8﹣y，
∴，
解得：y=4．
∵此时CB′=6.5＞5，
即B′不在AC上，舍去；
∴BF的长为．
故答案为：．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．注意此题没说明这两个三角形的对应边，所以需要分类讨论，解题是要小心别漏解．
注：如果将原题“点B落在边AC上”改成“点B落在边AC所在直线上”那么答案就
有两个。

三、几何计算
把图一的长方形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二），已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，①求BC的长；②求长方形纸片ABCD的面积；③求图二中AD的长．
考点：翻折变换（折叠问题）。

分析：①根据折叠的性质，得BC的长即为MP+MN+NP的长，根据勾股定理求得MN的长即可；
②要求长方形的面积，在①的基础上，关键是求得AB的长，即等于直角三角形MPN斜边上的高，即为直角三角形两条直角边的乘积除以斜边；
③根据折叠，知AP=DP=AB，再根据勾股定理进行计算．
解答：解：①∵∠MPN=90°，PM=3，PN=4，
∴MN=5．
∴BC=MP+MN+NP=12．
②作PF⊥MN于F．
则AB=PF==2.4．
则长方形纸片ABCD的面积=AB•BC=28.8．
③根据折叠，知AP=DP=AB=2.4．
根据勾股定理，得
AD=．
点评：此题综合运用了折叠的性质、勾股定理以及直角三角形的面积公式．
如图，现将一张矩形ABCD的纸片一角折叠，若能使点D落在AB边上F处，折痕为CE，恰好∠AEF=60°，延长EF交CB的延长线于点G．
（1）求证：△CEG是等边三角形；
（2）若矩形的一边AD=3，求另一边AB的长．
考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质。

专题：几何综合题。

分析：（1）由折叠可知∠DEC=∠FEC，已知∠AEF=60°，可知∠DEC=∠FEC=60°，由
AD∥GC，可知∠G=∠AEF=60°，故有∠G=∠FEC=60°，所以△CEG是等边三角形；（2）在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AE=x，则EF=2x，由折叠的性质得ED=EF=2x，根据AE+ED=AD，列方程求x，在Rt△CDE中，DE=2，∠DEC=60°，可得CE=2DE=4，利用勾股定理可求CD，即AB的长．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC即AD∥GC，
∴∠G=∠AEF=60°，
由折叠可知：∠CED=∠CEG，而∠GED=180°﹣∠AEF=120°
∴∠GEC=∠CED=∠GED=60°即∠G=∠GEC=60°，
∴△CEG是等边三角形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°，AB=CD，
由（1）可知∠AEF=∠CED=60°，∴∠AFE=∠DCE=30°，
∴EF=2AE，CE=2DE．设AE=x，则EF=2x，ED=EF=2x，
∴AD=x+2x=3，CE=4x，解得，x=1，DE=2，CE=4，
在Rt△CDE中，CD=
∴AB=2．
点评：本题考查了折叠的性质及其运用．关键是由折叠求相等的线段，相等的角，把问题集中在直角三角形中使用勾股定理．
A
B
C
D
E
O l
F A
B C
D
E
O
l
A ′
四、压轴题目中的翻折
在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于
点E.
(1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求BC 的长； (2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝
4
1
AC ，设AD 的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S.
①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围； ②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以-x 4
3
长为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由；
解析：(1)∵A ’是矩形ABCD 的对称中心
∴A ’B ＝AA ’＝
2
1
AC …………………………（1分） 又∵AB ＝A ’B ，AB ＝3
AC ＝6…………………………（1分） 在Rt △ABC 中 2
2
2
AB AC BC -= ∴33=BC …………………………（2分） (2)①在Rt △ADC 中
∵x AD =，3=AB
∴92+=x AC …………………………（1分）
∵94
12
+=
x AO …………………………（1分） 易证△AOF ∽△ABC AC
AF
AB AO =
)9(12
12
+=
x AF …………………………（1分） 同理可得 x
x AE 49
2+=…………………………（1分）
∴AF 2
1
⋅=∆AE S AEF
x x 96)9(22+=
∴x
x x S 96)9(32
2+-=
即：x
x x S 9681
27024-+-= (333<<x )………………（2分+1分）
②若圆A 与直线l 相切 则94
1432+=-
x x …………………………（1分） 024152=-x x 01=x (舍去)，5
8
2=
x …………………………（1分） ∵35
8
2<=
x ∴不存在这样的x ，使圆A 与直线l 相切…………………………（1分）
如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K ，得到△MNK ．
（1）若∠1=70°，求∠MKN 的度数；
（2）△MNK 的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由； （3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值． 考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质。

专题：综合题；分类讨论。

分析：（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出∠KNM ，∠KMN 的度数，根据三角形内角和即可求解；
（2）过M点作ME⊥DN，垂足为E，通过证明NK≥1，由三角形面积公式可得△MNK的面积不可能小于；
（3）分情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合；情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC两种情况讨论求解．
解答：解：（1）∵ABCD是矩形，
∴AM∥DN．
∴∠KNM=∠1．
∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=70°，
∴∠MKN=40°．
（2）不能．
过M点作ME⊥DN，垂足为E，则ME=AD=1．
∵∠KNM=∠KMN，
∴MK=NK，
又MK≥ME，
∴NK≥1．
∴△MNK的面积=NK•ME≥．
∴△MNK的面积不可能小于．
（3）分两种情况：
情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．
MK=MD=x，则AM=5﹣x．
由勾股定理得12+（5﹣x）2=x2，
解得x=2.6．
∴MD=ND=2.6．
S△MNK=S△MND==1.3．
情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．
MK=AK=CK=x，则DK=5﹣x．
同理可得MK=NK=2.6．
∵MD=1，
∴S△MNK=S△MND==1.3．
△MNK的面积最大值为1.3．
点评：本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，三角形的面积计算，注意分类思想的运用，综合性较强，有一点的难度．。