2019中考数学知识点复习 题型六类型二.pdf

的对角线．如解图，四边形 ＡＭＣＮ为正方形．

又对称轴 ｘ＝２是 ＡＣ的中垂线，所以 Ｍ点与顶点 点为点 Ｐ关于 ｘ轴的对称点，其坐标为（２，１）． 此时，ＭＦ＝ＮＦ＝ＡＦ＝ＣＦ＝１，且 ＡＣ⊥ＭＮ， ∴四边形 ＡＭＣＮ为正方形．
Ｐ（２，－１）重合，Ｎ
在 Ｒｔ△ＡＦＮ中，ＡＮ＝槡ＡＦ２＋ＮＦ２＝槡２，即正方形的边长为槡２．
{ 联立得方程组
ｙ＝－
１ ４ｘ２
－
３ ４ｘ＋
５ ２，
ｙ＝ ３ｘ－ ３
４２

{ { 解得
ｘ＝－８ ｙ＝－１２５或
ｘ ｙ＝ ＝２ ０，

∵点 Ｄ在第三象限，则点 Ｄ的坐标是（－８，－１２５），

由 ｙ＝ ３４ｘ－ ２３得点 Ｃ的坐标是（０，－ ３２），

∴ＣＥ＝－
３ ２
－（－１２５）＝６，

２
２

{ { ｂｘ＋ｃ得
ｃ－＝８３＋４ｂ＋ｃ＝１，解得
ｂ＝ ３ ２，
ｃ＝３
所以，抛物线的函数解析式为 ｙ＝－ １ｘ２＋ ３ｘ＋３； ２２
（２）由于 ＡＣ⊥ ＡＢ交 ｘ轴于 Ｃ点 可 知 Ｃ

（－ ３２，０），

①由抛物线 ｙ＝－ ２１ｘ２＋ ２３ｘ＋３可得其


由于 ＰＭ∥ｙ轴，要使四边形 ＰＭＥＣ是平行四边形，必有 ＰＭ＝ＣＥ，即
－ １４ｘ２－ ３２ｘ＋４＝６，
解这个方程得：ｘ１＝－２，ｘ２＝－４，
当
ｘ１＝－２时，ｙ＝－
４１（－２）２－
３４（－２）＋
５ ２
＝３，

当
ｘ１＝－４时，ｙ＝－
４１（－４）２－
３４（－４）＋
５ ２
＝
２３，

４２
４２
∵Ｎ在 ｘ轴上，
∴ － １ｘ２＋ ３ｘ＝０，

４２ 解得 ｘ＝０（Ｍ与 Ｃ重合，舍去），或 ｘ＝６， ∴ｘＭ ＝６， ∴Ｍ（６，４）．
②Ｍ点在 Ｎ右下方，即 Ｎ向下平移 ４个单位，向右平移 ３个单位与
Ｍ重合．

设 Ｍ（ｘ，－ １４ｘ２＋ ２３ｘ＋４），则 Ｎ（ｘ－３，－ ４１ｘ２＋ ３２ｘ＋８），
{ {

∴ ４ａａ＋＋ｋｋ＝＝０３，解得 ａ ｋ＝＝１－１，
即 ａ，ｋ的值分别为 １，－１；
（２）由（１）得抛物线对称轴为 ｘ＝２，
设 Ｑ点的坐标为（２，ｑ），
因为点 Ａ坐标（１，０），则点 Ｃ坐标（３，０）．
如解图，连接 ＢＣ，ＢＣ交直线 ｘ＝２于 Ｑ，则此
时点 Ｑ正好使△ＡＢＱ的周长最小．
在 Ｒｔ△ＥＯＣ中，ＣＯ＝４，ＥＯ＝８，根据勾股定理得 ＥＣ＝４槡５，
又 ＢＥ＝５，所以△ＢＥＣ的周长为 １０＋４槡５；
（３）∵四边形为平行四边形，且 ＢＣ∥ＭＮ．
∴ＢＣ＝ＭＮ．
①Ｎ点在 Ｍ点右下方，即 Ｍ向下平移 ４个单位，向右平移 ３个单位
与 Ｎ重合，
设 Ｍ（ｘ，－ １ｘ２＋ ３ｘ＋４），则 Ｎ（ｘ＋３，－ １ｘ２＋ ３ｘ），
７ ９ 对称轴为直线 ｘ＝２３．
设点 Ａ关于 ｘ＝ ３ ２的对称点为 Ａ′（３，３），
第 ４题解图
连接 Ａ′Ｃ交直线 ｘ＝ ２３于点 Ｐ，根据轴对称的性质和两点之间线段
最短可知，此时 ＰＡ＋ＰＣ的值最小，即△ＰＡＣ的周长的值 最 小 ，
又∵Ａ′（３，３），Ｃ（－ ２３，０），

槡 ∴Ａ′Ｃ＝

∴２ｋ－ ３ ＝０，解得 ｋ＝ ３，

２
４

∴直线的解析式是 ｙ＝ ３ｘ－ ３；

４２

（２）设点 Ｐ的坐标是（ｘ，－ ３４ｘ－ ３２），
１ｘ２ － ４
３４ｘ＋
５２），则
Ｍ 的 坐 标 是 （ｘ，
∴ＰＭ＝（－
４１ｘ２
－
３ ４ｘ＋
５ ２）－（３４ｘ－
３２）＝－
１４ｘ２
－
３２ｘ＋４，


两个关于 ａ、ｂ的方程联立解得 ａ＝－ ４１，ｂ＝ ３２，
∴抛物线为 ｙ＝－ １ｘ２＋ ３ｘ＋４；

４２
（２）由（１）知抛物线对称轴为 ｘ＝３，且抛物线与 ｙ轴交点 Ｃ的坐标
为（０，４）．
∵点 Ａ坐标为（－２，０），∴点 Ｅ坐标为（８，０）．
在 Ｒｔ△ＢＯＣ中，ＢＯ＝３，ＯＣ＝４，根据勾股定理得 ＢＣ＝５；
设直线 ＢＣ的解析式为 ｙ＝ｍｘ＋ｎ，代入点
第 １题解图
{ { Ｂ、Ｃ坐标得 ３ｎｍ＝＋３ｎ＝０，解得 ｍ ｎ＝＝３－１，

所以直线 ＢＣ解析式为 ｙ＝－ｘ＋３，

将点 Ｑ（２，ｑ）代入直线 ＢＣ得 ｑ＝１，所以点 Ｑ的坐标为（２，１）．
（３）当点 Ｎ在对称轴上时，ＮＣ与 ＡＣ不垂直．所以 ＡＣ应为正方形

角线．根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，可以求出 Ｍ、Ｎ两 点的坐标，在 Ｒｔ△ＡＦＮ中，由勾股定理求出 ＡＮ的长度即正方形的 边长． 解：（１）∵直线 ｙ＝－３ｘ＋３与 ｘ轴、ｙ轴分别交于点 Ａ、Ｂ， ∴Ａ（１，０），Ｂ（０，３），
又抛物线 ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋ｋ经过点 Ａ（１，０），Ｂ（０，３），
－ １ｘ２－ ３ｘ＋４
∴△△ＰＣＭＤＥＮ的的周周长长 ＝ＰＤＭＣ，即 ２ｌ４＝
４２ １０
，

化简整理得：ｌ与 ｘ的函数关系式是：ｌ＝－ ５３ｘ２－１５８ｘ＋４５８，

∴ｌ＝－ ３ ｘ２－１８ｘ＋４８＝－ ３（ｘ＋３）２＋１５，

５
５５ ５

∵
－
３ ５
＜０，∴ｌ有最大值，当
ｘ＝－３时，ｌ的最大值是

（１）求抛物线 ｙ＝－１ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与直线 ｙ＝ｋｘ－３的
４
２
解析式；
（２）设点 Ｐ是直线 ＡＤ上方的抛物线上一动点（不

与点 Ａ、Ｄ重合），过点 Ｐ作 ｙ轴的平行线，交直线
ＡＤ于点 Ｍ，作 ＤＥ⊥ｙ轴于点 Ｅ．探究：是否存在这
样的点 Ｐ，使四边形 ＰＭＥＣ是平行四边形，若存在
∵Ｎ在 ｘ轴上，

∴ － １ｘ２＋ ３ｘ＋８＝０， ４２
解得 ｘ＝３－槡４１，或 ｘ＝３＋槡４１，

∴ｘＭ ＝３－槡４１，或 ３＋槡４１，
∴Ｍ（３－槡４１，－４）或（３＋槡４１，－４），
综上所述，Ｍ的坐标为（６，４）、（３－槡４１，－４）或（３＋槡４１，－４）．
４．解：（１）由 ｙ＝－ １ｘ＋３知 Ａ（０，３），把（４，１）和（０，３）代入 ｙ＝－ １ｘ２＋

请求出点 Ｐ的坐标，若不存在，请说明理由；

（３）在（２）的条件下，作 ＰＮ⊥ＡＤ于点 Ｎ，设△ＰＭＮ
的周长为 ｌ，点 Ｐ的横坐标为 ｘ，求 ｌ与 ｘ的函数关
系式，并求出 ｌ的最大值．






二次函数压轴题———

平行四边形问题
第 ２题图
３．（’１４三明改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
Ａ，Ｃ，Ｍ，Ｎ为顶点的四边形为正
方形，求此
正方形

的边长．








第 １题图


２．（’１３遂宁）如图，抛物线
ｙ＝－１ｘ２ ４
＋ｂｘ＋ｃ与
ｘ轴交


于点 Ａ（２，０），交 ｙ轴于点 Ｂ（０，５ ２），直线 ｙ＝ｋｘ－３ ２
过点 Ａ与 ｙ轴交于点 Ｃ，与抛物线的另一个交点是 Ｄ．
１．（’１４益阳改编）如图，直线 ｙ＝－３ｘ＋３与 ｘ轴、
ｙ轴分别交于点 Ａ、Ｂ，抛物线 ｙ＝ａ（ｘ－２）２ ＋ｋ经
过点 Ａ、Ｂ，并与 ｘ轴交于另一点 Ｃ，其顶点为 Ｐ．
（１）求 ａ，ｋ的值；


（２）抛物线的对称轴上有一动点 Ｑ，当点 Ｑ在何处
时，△ＡＢＱ周长最小；

（３）在抛物线及其对称轴上分别取点 Ｍ、Ｎ，使以
（２）过点 Ａ作 ＡＣ⊥ＡＢ，交 ｘ轴于点 Ｃ． ①在 抛 物 线 的 对 称 轴 上 是 否 存 在 一 点 Ｐ，使 得

△ＰＡＣ的周长最小，若存在，求出此时 ＰＡ＋ＰＣ的
值；若不存在，说明理由；
②若点 Ｑ是抛物线对称轴上的动点，以 Ａ、Ｏ、Ｐ、Ｑ

为顶点的四边形是平行四边形，求点 Ｑ的坐标．
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋４与 ｘ轴的一个交点为 Ａ（－２，０），与 ｙ
轴的交点为
Ｃ，对称轴是
ｘ＝３，对称轴与
ｘ轴交于

点 Ｂ．


（１）求抛物线的函数表达式；

（２）设抛物线与 ｘ轴的另一个交点为 Ｅ，求△ＢＣＥ
的周长；

（３）经过 Ｂ、Ｃ的直线 ｌ平移后与抛物线交于点 Ｍ，
与
ｘ轴交于点
２．【思路分析】（１）将 Ａ，Ｂ两点分别代入 ｙ＝－ １ｘ２＋ｂｘ＋ｃ进而求出
４

得抛可Ｐ长Ｍ物出；，（进＝线２ＤＣ而）Ｅ解首点根，析得先坐据式出设标△即等出，Ｐ可进Ｍ式ＰＮ，，而方将∽Ｍ得程△点Ａ求出Ｃ点的Ｄ出代坐ＣＥＥ解，入标得的即，ｙ出进长可＝两而，ｋ；ｘ利（三得－３用）出角２３利平形Ｐ进用Ｍ行周而勾的四长求股长边之出定，形比将直理的，两线得求性函解出出质数析Ｄｌ得联式Ｃ与出立即的ｘ
的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可．

解：（１）∵ｙ＝－ １ｘ２＋ｂｘ＋ｃ经过点 Ａ（２，０）和 Ｂ（０，５），
４
２

{ { ∴由此得
－１＋２ｂ＋ｃ＝０
ｃ＝
５ ２
，解得
ｂ＝－
ｃ＝
５ ２
３ ４，

∴抛物线的解析式是 ｙ＝－ ４１ｘ２－ ４３ｘ＋ ５２．

∵直线 ｙ＝ｋｘ－ ３ ２经过点 Ａ（２，０），
２
３２

∴点 Ｐ的坐标为（３ ２，２）．

∵ＰＱ∥ＡＯ，

∴当 ＰＱ＝ＡＯ时，以 Ａ、Ｏ、Ｐ、Ｑ为顶点的四边形是平行四边形，此时
（３＋
３２）２＋３２
＝３槡１３， ２

∴ＰＡ＋ＰＣ＝３槡２１３．

②∵抛物线对称轴为 ｘ＝－２ｂａ＝ ２３，对称轴平行于 ｙ轴，

∴当 ＰＱ＝ＡＯ时，由 Ａ、Ｏ、Ｐ、Ｑ组成的四边形为平行四边形，

设 ＡＣ的解析式为 ｙ＝ｍｘ＋ｎ，过点 Ａ′和点 Ｃ的一次函数为 ｙ＝ａｘ＋ｂ，
∵Ａ（０，３），Ｃ（－ ３２，０），
１５．
３．【思路分析】（１）已知解析式为 ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋４，我们只需要根据抛

物线的图象及性质求出 ａ，ｂ即可．对称轴为 ｘ＝－２ｂａ，又过点 Ａ（－

２，０），所以函数表达式易得；（２）通过对称关系，确定点 Ｅ的坐标， 再分别运用勾股定理计算 ＢＣ和 ＣＥ的长，相加即可；（３）四边形以 Ｂ、Ｃ、Ｍ、Ｎ为顶点的四边形为平行四边形，则必定对边平行且相等． 因为已知ＭＮ∥ＢＣ，所以 ＭＮ＝ＢＣ，即 Ｍ、Ｎ的位置如 Ｂ、Ｃ位置关系， 则可分 ２种情形，①Ｎ点在 Ｍ点右下方，即 Ｍ向下平移 ４个单位， 向右平移 ３个单位与 Ｎ重合；②Ｍ点在 Ｎ右下方，即 Ｎ向下平移 ４ 个单位，向右平移 ３个单位与 Ｍ重合．因为 Ｍ 在抛物线上，可设坐








第 ４题图

试题演练
１．【思路分析】（１）由直线的解析式可以求出 Ａ、Ｂ两点的坐标代入抛
物线 ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋ｋ的解析式，即可求 ａ，ｋ的值；（２）因为点 Ａ与
点 Ｃ关于对称轴对称，因此只要连接 ＢＣ交对称轴于点 Ｑ即可；（３）
当点 Ｎ在对称轴上时，ＮＣ与 ＡＣ不垂直．所以 ＡＣ应为正方形的对

因此，直线 ＡＤ上方的抛物线上存在这样的点 Ｐ，使四边形 ＰＭＥＣ是
平行四边形，点 Ｐ的坐标是（－２，３）和（－４，３２）；

（３）在 Ｒｔ△ＣＤＥ中，ＤＥ＝８，ＣＥ＝６，由勾股定理得：ＤＣ＝槡８２＋６２
∴△ＣＤＥ的周长是 ２４．
＝１０，
∵ＰＭ∥ｙ轴，容易证明△ＰＭＮ∽△ＣＤＥ，

Ｎ，当以
Ｂ、Ｃ、Ｍ、Ｎ为顶点的四边形

是平行四边形时，求出点 Ｍ的坐标．








第 ３题图


４．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
ｙ＝－１ ２ｘ２＋ｂｘ＋


ｃ的图象与直线 ｙ＝－１ ２ｘ＋３交于点 Ａ、Ｂ，且点 Ａ
在 ｙ轴上，点 Ｂ的坐标是（４，１）．

（１）求抛物线的函数解析式；

{ { ∴
３＝ｎ － ２３ｍ＋ｎ＝０，解得
ｍ ｎ＝＝３２，
∴ＡＣ的解析式为 ｙ＝２ｘ＋３，将点 Ａ′（３，３）和点
Ｃ（－
３２，０）代入，得
{ { ３＝３ａ＋ｂ
ａ＝ ２
０＝－ ２３ａ＋ｂ，解得
３， ｂ＝１

∴过点 Ａ′与点 Ｃ的一次函数为 ｙ＝ ３２ｘ＋１，

当 ｘ＝ ３时，一次函数值为 ｙ＝ ２ × ３ ＋１＝２，

标为（ｘ，－ １４ｘ２＋ ３ ２ｘ＋４），易得 Ｎ坐标，由于 Ｎ在 ｘ轴上，所以其
纵坐标为 ０，则可得关于 ｘ的方程，进而求出 ｘ，求出 Ｍ的坐标；
解：（１）∵抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋４交 ｘ轴于 Ａ（－２，０），
∴０＝４ａ－２ｂ＋４，
∵对称轴是 ｘ＝３，

∴ －２ｂａ＝３，即 ６ａ＋ｂ＝０，