2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习：第一章2.3 充要条件 1 Word版含解析

[基础达标] 1.设x ∈R ，则x ＞e 的一个必要不充分条件是( )
A ．x ＞1
B ．x ＜1
C ．x ＞3
D ．x ＜3
解析：选A.∵x ＞1⇒/x ＞e ，而x ＞e ⇒x ＞1.
2.设α，β分别为两个不同的平面，直线l
α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.根据两个平面垂直的判定定理知“l ⊥β”是“α⊥β”的充分条件，但由两个平面垂直的性质知α⊥β时，平面α内只有和它们的交线垂直的直线才能垂直于平面β，故本题中由“α⊥β”不能得到
“l ⊥β”，因此选A.
3.设a ，b 都是非零向量，则“a·b ＝±|a||b|”，是“a ，b 共线”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C.设〈a ，b 〉＝θ，a·b ＝|a||b|cos θ，当|a||b|·cos θ＝±|a||b|时，cos θ＝±1，θ＝0或π，则
a 与
b 共线，若a 、b 共线，则〈a ，b 〉＝0或π，则a·b ＝±|a||b|. 4.若a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2”的( )
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分且必要条件
D ．既非充分也非必要条件
解析：选D.a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a ＋b )(a －b )2，a ＞b /⇔a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2，故选D.
5.设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C.设公比为q ，由a 1＜a 2＜a 3得a 1＜a 1q ＜a 1q 2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a1＞0q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a1＜00＜q ＜1
，∴充分性成立；
当{a n }递增时，则⎩⎪⎨⎪⎧a1＞0q ＞1或⎩
⎪⎨⎪⎧a1＜0
0＜q ＜1，∴a 1＜a 2＜a 3，必要性成立．
6.在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“a ＝b ”的________条件．
解析：在△ABC 中，由正弦定理及sin A ＝sin B 可得2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b ；反之也成立．
答案：充要
7.
设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的________条件．
解析：由题意知：A ⇒B ⇒C ⇔D ，∴A ⇒D .
答案：必要不充分
8.
已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小整数a ＝________．
解析：由题意知a ＞0，设A ＝{x ||x －1|＞a }＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a }，B ＝{x |2x 2－3x ＋1＞0}＝{x |x ＜
1
2
或x ＞1}，
由题意，AB ，
∴由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧1－a≤121＋a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜12
1＋a≥1.
∴a ≥1
2
，故a 的最小整数为1.
答案：1
9.已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么：
(1)s 是q 的什么条件？ (2)r 是q 的什么条件？ (3)p 是q 的什么条件？
解：如图所示，可知：
(1)因为q ⇒s ，s ⇒r ⇒q ，所以s 是q 的充要条件． (2)因为r ⇒q ，q ⇒s ⇒r ，所以r 是q 的充要条件．
(3)因为q ⇒s ⇒r ⇒p ，而p ⇒/q ，所以p 是q 的必要不充分条件．
10.求证：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件是m ≥2.
证明：(1)充分性：因为m ≥2，所以Δ＝m 2－4≥0，所以方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，设两根为x 1，x 2，由根与系数的关系知，x 1·x 2＝1＞0，所以x 1，x 2同号．
又x 1＋x 2＝－m ≤－2＜0，所以x 1，x 2同为负数．即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充分条件是m ≥2.
(2)必要性：因为x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根，设其为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧Δ＝m2－4≥0，x1＋x2＝－m ＜0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧m≥2或m≤－2，
m ＞0，所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2.
综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件．
[能力提升]
1.对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.若{a n }单调递增，不一定能够说明a n ＋1＞|a n |一定成立，
如a n ：{－n ，－(n －1)，…，－2，－1}显然不满足a n ＋1＞|a n |一定成立，但是该数列递增；如果a n ＋1＞
|a n |＞0，那么无论a n 的值取正还是取负，一定能够得到{a n }单调递增，所以a n ＋1＞|a n |是{a n }为递增数列的充
分不必要条件，选B.
2.设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集分别为M 和N ，
那
么“a1a2＝b1b2＝c1
c2
”
是“M ＝N ”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．
解析：如果a1a2＝b1b2＝c1c2＞0，则M ＝N ；如果a1a2＝b1b2＝c1c2＜0，则M ≠N ，∴a1a2＝b1b2＝c1
c2
/⇒M ＝N .
反之，若M ＝N ＝∅，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小
于零．
因此，M ＝N /⇒a1a2＝b1b2＝c1
c2.
答案：既不充分也不必要
3.
已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝aq n ＋b (a ≠0，q 是不等于0和1的常数)，求证数列{a n }为等比数列的充要条
件是a ＋b ＝0.
证明：(1)必要性．
∵数列{a n }为等比数列，
∴S n ＝a1（1－qn ）1－q ＝a11－q －a11－q
q n
.
∵S n ＝aq n ＋b ，∴a ＝－a11－q ，b ＝a1
1－q
.
∴a ＋b ＝0. (2)充分性．
∵a ＋b ＝0，∴S n ＝aq n ＋b ＝aq n －a .
∵a n ＝S n －S n －1
＝(aq n －a )－(aq n －
1－a ) ＝a (q －1)q n －
1(n ＞1)，
∴an ＋1an ＝a （q －1）qn
a （q －1）qn －1＝q (n ＞1)．
又∵a 1＝aq －a ，a 2＝aq 2－aq ，
∴
a2a1＝aq2－aq
aq －a
＝q .
故数列{a n }是公比为q 的等比数列．
综上所述，数列{a n }为等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.
4．已知命题p ：|x －1|＜a (a ＞0)，命题q ：x 2＋21＞10x ，且p 是q 的既不充分也不必要条件，求a 的取值
范围．
解：由|x －1|＜a (a ＞0)，解得1－a ＜x ＜1＋a .
∴命题p 对应的集合为A ＝{x |1－a ＜x ＜1＋a ，a ＞0}．
由x 2＋21＞10x ，解得x ＜3或x ＞7.
∴命题q 对应的集合为B ＝{x |x ＜3或x ＞7}．
显然集合BA，即q/⇒p，所以p不是q的必要条件．如果p是q的充分条件，则p⇒q，即A⊆B，所以1＋a≤3或1－a≥7.
又a＞0，所以0＜a≤2.
∴若p是q的既不充分也不必要条件，应有a＞2.。