高中数学淮安数学空间向量学案全套新人教版选修2

9．5共线向量与共面向量
一、知识点
1、空间向量的定义
2、空间向量的加减与数乘运算
3、平行六面体的定义和性质
4、共线向量的定义或平行向量的概念、向量与平面平行（共面）意义及它们的表示
法
5、共线向量定理及推论、空间直线的向量参数方程和线段中点的向量公式
6、共面向量及推论、空间平面的向量参数方程（即点在平面内的充要条件）
7、空间向量基本定理及其推论
8、空间向量夹角和模的概念和表示方法
9、两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律
10、两个向量的数量积的主要用途，用它解决立体几何中的一些简单问题。

二、课时安排5课时
第一课时：空间向量及其加减与数乘运算
教学目标：
1、理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；
2、会用图形说明空间向量的加法、减法和数乘向量及它们的运算律；
3、了解平行六面体的定义和性质；
4、能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。

教学重点：
空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律
教学难点：
应用向量解决立体几何问题
教学过程：
复习回顾
在第五章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？
既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB．
数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向
量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：
⒈向量的加法：
⒉向量的减法：
⒊实数与向量的积：
实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|
(2)当λ＞0时，λa与a同向；
当λ＜0时，λa与a反向；
当λ＝0时，λa＝0.
关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？
向量加法和数乘向量满足以下运算律
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
今天我们将在第五章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．
探索研究
1、空间向量的概念
⑴定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：①“空间的一个平移就是一个向量”，即“将图形上的所有点沿相同方向移动相同的长度”。

②向量不能比较大小。

⑵向量的表示：
①几何表示：用有向线段表示
②字母表示：用黑体小写英文字母表示
a
⑶向量的相等：同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。

⑷向量的平移：空间任意两个向量都可用同一平面内的两条有向线段来表示。

说明：
①平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移； ②平面上，若以两个同向向量为对边可构成平行四边形，则这两个向量相等，在空间，这个结论同样成立。

③空间任意两个向量都是共面向量，因此凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们（到空间向量的分解定理和坐标表示及坐标运算时才会显现它们的区别）。

2、空间向量的运算
加法：OB ＝OA ＋AB ＝a ＋b 减法：BA ＝OA －OB ＝a －b
数乘：OP ＝λa(λ∈R)
空间向量加法与数乘向量运算满足如下运算律　1()加法交换律：a ＋b ＝b ＋a
2()加法结合律：(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c) 3()数乘分配律：λ(a ＋b)＝λa ＋λb
3．平行六面体：
平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的 轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并 记作：ABCD －D C B A ''''。

它的六个面都是平行四边形，每个面的边 叫做平行六面体的棱。

反思应用
A
A '
C
B
D B '
C '
D '
基础演练
1、已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，则++为（ ）A A 、AD B 、BD C 、AC D 、0
2、已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，设M 、N 分别是BC 、CD 的中点，则
)(2
1
BC BD AB ++
为（ ）A A 、AN B 、CN C 、BC D 、
2
1
3、在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若,,1111b D A a B A ==
,1A =则下列向量中与B 1相等的向量是（ ）A
A 、++-
2121 B 、++2121 C 、+-2121 D 、+--2
1
21 4、A 1、A 2、A 3是空间不共线的三点，则133221A A A A A A ++＝＿；类比上述性质得到一般性结论是＿。

， 113221=+⋅⋅⋅++-A A A A A A A A n n n 。

例1、已知平行六面体ABCD －D C B A ''''化简下列向量表达式，标出化简结果的向量：
⑴+； ⑵A A AD AB ++； ⑶C C '++2
1
；
⑷)(3
1
A A ++。

解：如图： ⑴=+；
⑵ A A '++=C A A A AC =+；
⑶设M 是线段C C '的中点，则AM CM AC C C AD AB =+=++2
1
；
⑷设G 是线段C A '的三等份点，则AG C A A A AD AB ==++3
1
)(31。

向量AG AM C A AC ,,,如图所示。

巩固训练 P 27 练习 1、2
例2 已知空间四边形ABCD 中，G 为ΔBCD 的重心，化简
AD AC AB 3
1
3131++，并标出化简结果的向量。

（试一试，你能用多少种方法来解这道题）
解：由G 是ΔBCD 的重心，猜想
3
1
3131++=
事实上，32
+=+=
)
(31
)
(3
1
AB AC AB AD AB BC BD AB -+-+=++=
AD AC AB 3
1
3131++=
例3 已知ABCD 为正方形，P 是平面ABCD 外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形 ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各题中的x 、
y 的值。

();1y x ++= ()y x ++=2
解：⑴)(2
1
PC PA PQ PO PQ OQ +-
=-= ， 2
1-
==∴y x ⑵,2PO PC PA =+
2PC -=∴
又,2=+ -=∴2
C
D
+-=--=∴22)2(2，2,2-==∴y x 归纳总结1、空间向量的概念
2、空间向量的运算
3、平行六面体的概念
作业：P 27 练习 1、2
如图设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心。

求证：1
()3
AG AB AC AD =++
第二课时：共线向量与共面向量
教学目标：
1、了解共线或平行向量概念、向量与平面平行（共面）意义，掌握它们的表示方法。

2、理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；掌握空间直线的向量参数方程和线段中点的向量参数公式；掌握空间平面的向量参数方程（即点在平面内的充要条件）。

3、会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。

教学重点：
空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式 教学难点：
对空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式的理解与运用 教学过程：
复习回顾
上节课，我们学习了空间向量的定义、表示方法、空间向量的相等以及空间向量的加减与数乘运算和运算律．通过学习我们知道，事实上空间向量的许多内容就是平面向量相关内容的推广．
在第五章《平面向量》一章，我们还学习了有关平面向量的其它知识，比如说我们在研究两个向量之间的关系时，除了定义了相等的向量，还专门对平行向量或共线向量进行
了研究，请同学们回顾一下怎样的向量称为平行向量或共线向量呢？
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．
怎样判定向量b 与非零向量a 是否为共线向量呢？
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa . 这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a 的非零要求． 对这个定理的证明要从两个方面进行： ⑴充分性：对于向量a （a ≠0）、b ，如果有一个实数λ，使b ＝λa ，那么由实数与向量的积的定义知，a 与b 共线．
⑵必要性：若向量a 与b 共线，a ≠0时，设｜b ｜:｜a ｜＝μ，则当a 与b 方向相同时，b ＝μa ；当a 与b 方向相反时，b ＝－μa ．所以，有且只有一个实数λ，使b ＝λa .
这节课我们将要对空间的共线向量以及共面向量加以研究．下面同学们先阅读课本P 28～P 29前5行． 探索研究
1、共线向量
定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做平行向量或共线向量。

记法：b //a b a ，记作平行于 2、共线向量定理
文字语言：对空间任意两个向量//),(≠的充要条件是存在实数λ使λ= 符号语言：a b a λ=⇔≠a //b ),0a (b 、
说明：
⑴对于空间任意两个向量)(≠
①；，使存在唯一实数a b a //b λλ=⇒（共线向量的性质定理） ②，使存在唯一实数//⇒=λλ（共线向量的判定定理） ⑵在利用“//⇒=λλ，使存在唯一实数”判定所在直线平行时，还需）（或b a 上有一点不在）
（或a b 上； ⑶在λ=中，对于确定的λ和表示空间与平行或共线且长度为||λ所有向量。

例1 用向量方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半。

已知：如图，ΔABC 中，D 、E 分别为是边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC ，且DE ＝BC/2。

证明：∵D 、E 分别为是边AB 、AC 的中点
,2
1
,21==
∴ AD
AE DE 2
1
)(21=-=-=∴ 又D 不在BC 上，
∴DE ∥BC ，且DE ＝BC/2。

小结：向量共线定理是证明两条直线平行的常用方法，但要注意，向量平行现直线平行是有区别的，直线平行不包括共线的情形，因此用“a //b a b ⇒=λλ，使存在唯一实数”判定b 、a 所在直线平行时，还需）（或b a 上有一点不在上。

3、共线向量定理的推论
如果l 为经过已知点A 且平行于非零向量的直线，那么对于任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式a t OA OP +=，其中向量叫做直线l 的方向向量。

证明：
,t t P l ,//，满足，存在唯一的实数上的任一点对于∴l （为什么？） ,,OP AP O a t OA OP OA =-∴-=，有对空间任意一点又
.AB t OA OP ,a AB l ,+==+=∴则有上取若在a t OA OP t t +-=-+=∴-=)1()(, 又 说明：
⑴空间直线的向量参数表示式
①a t OA OP += ②OB OA t OP +-=)1(
③表示式a t AP =、AB t OA OP +=既是表示式①、②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式。

⑵空间直线的向量参数表示式的特点
①表示式a t OA OP +=中，OP a t OA AP a t =+∴=, 是根据向量加法的三角形法则得到的。

②表示式OB OA t OP +-=)1(中，OP OB 、、OA 的始点相同，且可还原为
t +=,使其仍符合三角形法则。

⑶推论的用途：解决三点共线问题的表示或判定。

⑷当t ＝1/2时，点P 为AB 的中点，则)(2
1
+=
，它是线段AB 的中点公式，（可用向量加法的平行四边形法则加以验证）其本质是向量加法平行四边形法则的一种简化。

例2 设平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于E ，P 为空间任意一点，求证：
4=+++。

证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴E 为AC 、BD 的中点，
由线段的中点公式得：
)(21
)(21+=+=
)(2
1
+=
4=+++∴
4、共面向量的定义
通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。

说明：
⑴共面向量与共线向量的定义对象不同， 但形式相同。

⑵向量与平面α平行是用所在直线
l 与α平行或在α内来定义的，因此α//
与直线a//α既有联系也有区别。

5、共面向量定理
我们知道空间任意两个向量都是共面的（为什么？），那么空间的任意三个向量是否共面呢？观察下面的图形：
定理：如果两个向量b 、a 不共线，则向量p 与向量b 、a 共面的充要条件是存在实数对x 、
y ，使y x +=. 证明： 先证必要性
∵向量与向量共面，∴表示它们的有向线段可位在同一平面内，于是根据
平面向量的基本定理，一定存在实数对(x,y)，使y x +=。

再证充分性
确定的平面
内。

都在共线，分别与y x y x y x + 是以||x 、||y 为邻边的平行四边形的一条对角线表示的向量，并且此平行四边形在确定的平面内，∴y x +=在确定的平面内，即向量与向量
共面。

说明：当向量p 、b 、a 都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p 、b 、a 所在直线共面的充要条件，但用于判断时，还需证明其中一直线上有一点在另两条直线确定的平面内。

6、共面向量定理的推论
空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x,y)，使
y x += 或对空间任一点O ，有
y x ++= 说明：
⑴表示式y x +=③与表示式
y x +=④只是向量的表示方法不同。

⑵对于空间任一点O ，因OM OP MP -=代入④，整理得MB y MA x OM OP ++=⑤，又因为
,,OM OB MB OM OA MA -=-=代入⑤进一步整理得
y x y x ++--=)1(⑥。

由于对于空间任一点P ，只要满足④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一个等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任一点P ，都满足④、⑤、⑥，所以等式④⑤⑥都是由不共线的两个向量MA 、MB （或不共线的三点M 、A 、M ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。

⑶空间平面的向量参数方程的特点
方程④是据平行四边形法则获得的，而方程⑤是在方程④的基础上，据三角形法则 得到的，方程⑥可与方程②对比记忆。

⑷y x +=中的(x,y)是唯一的（用反证法证明）
假设还有不同于(x,y)的(x ’,y ’)满足y x ''+=，则
y y x x )()(''-=-（＊）
，又、不共线，当且仅当x －x ’＝y ‘
－y ＝0时（＊）式成立，∴(x,y)与(x ’,y ’)表示同一实数对，矛盾，故MB y MA x MP +=中的(x,y)是唯一的。

⑸共面向量定理的推论是证明点在平面内（点共面）的理论依据。

反思应用
例3 对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，试问满足关系式 1)z y x (=++++=其中z y x 的四点是否共面？
解：1)z y x (=++++=其中z y x z y z y ++--=∴)(1 )()(z y -+-=-∴
AC z AB y AP +=∴,∴点P 、A 、B 、C 四点共面。

A
B
C D
O
E
F
H
G
变：已知非零向量21,e e 不共线，如果21212133,82,e e e e e e -=+=+=，求证：A 、B 、C 、D 四点共面。

分析：要证A 、B 、C 、D 四点共面，只要证AD y AC x AB +=。

待定系数法求x 、y 。

设)33()82(,212121e e y e e x e e y x -++=++=则 0)381()321(21=+-+--∴e y x e y x 21,e e 不共线，51
3810321==⇒⎩⎨
⎧=+-=--∴y x y x y x
例3、已知平行四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量OE =k OA ，
OF =k OB ,OG =k OC ,OH =k OD ,求证：
⑴四点E 、F 、G 、H 共面； ⑵平面EG ∥平面AC 。

证明：⑴∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴OE OG EG AD AB AC -=+=,
)
()(k k k k k -+-=+==-=
+=-+-=
∴四点E 、F 、G 、H 共面
⑵,AB k OA k OB k OE OF EF =-=-= 又由⑴证明知AC k EG =， 又∵k ≠1，即点E 不在平面AC 上，即E 不在直线AB 、AC 上，
∴EF ∥AB ，EG ∥AC ，∴平面EG ∥平面AC 归纳总结：1、共线向量（平行向量）的概念
2、空间向量共线的充要条件
3、共面向量的概念及向量共面的充要条件
作业：P 31练习： 1、2
在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 、S 分别是棱的A 1D 1、AB 、CC 1、C 1D 1中点，求证：P 、Q 、R 、S 四点共面。

第三课时：空间向量基本定理
教学目标：
1、掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示。

2、会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其它的向量。

教学重点：
空间向量基本定理及其推论 教学难点：
空间作图 教学过程：
复习回顾
平面向量基本定理及其证明，其证明过程为： ①平移：将e e ,,21平移成同一始点的向量。

②平行投影：过a 平移后所得向量的终点分别作
21,e e 平移后所在直线的平行线与这两条直线分别相交，
得a 在21,e e 方向上的分向量。

③依据共线向量定理，分别用21,e e 表示在21,e e 方向上的分向量。

④求分向量的和，代入，定理得证。

探索研究
1、空间向量基本定理
如果三个向量,,不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序数组x,y,z ，使
z y x ++=
证明：设,,不共面，过点O 作====,,,；
过点P 作直线PP ‘
平行OC ，交平面OAB 于点P ‘
；在平面OAB 内，过P ’
作直线P ‘
A ’
∥
OB ，P ‘B ’∥OA ，分别与直线OA 、OB 交于点A ‘、B ’
，于是存在三个实数x 、y 、z ，使
c z OC z P P b y OB y OB a x OA x OA ======''',,
于是c z b y a x OC z OB y OA x P P OB OA OP ++=++=++='
''
所以z y x ++= 说明：
⑴空间向量基本定理说明，用空间三个不共面已知向量组｛,,｝可以线性表示出空间任一向量，而且表示的结果是唯一的。

⑵如果三个向量c b a ,,不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是},|{R z y x z y x ∈++=、、，这个集合可看成是由向量,,生成的，所以我们把｛,,｝叫做空间向量的一个基底，,,都叫做基向量。

⑶对于基底｛,,｝，应明确：
①空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；
②由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；
③一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的
不同概念。

⑷空间向量基本定理是空间向量分解和空间向量坐标运算的基础。

2、空间向量基本定理的推论
设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序数组x 、y 、z ，使OC z OB y OA x OP ++=。

说明：
⑴若x ＋y ＋z ＝1，则必有O 、A 、B 、C 四点共面。

⑵空间向量基本定理的推论意在分解定理确定点的位置，它对于以后用向量方法解几何问题很有用，同时也为后续向量的直角坐标运算作准备。

反思应用
C
B
A
例1 已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG ＝2GN ，用基向量,,表示向量。

分析：看着未知数,,表示向量， 观察图形，OG 在ΔOMG 中，联想到向量加法的三角形 法则，可得+=，与最终目标比较可知
MG OM ,都不是目标要求的向量，进一步观察图形，
由于M 为OA 的中点，故可得OM 21=
，又MG ＝2GH ，故MN 3
2
= )(2
1
,OC OB ON OM ON MN +=
-=，问题得证。

解：)(3
2
2132OM ON OA MN OM MG OM OG -+=+=+=
31
3161]21)(21[3221++=-++=
巩固练习 P 32 练习 1－5
例2 空间四边形ABCD 中，G 、H 分别是ΔABC ，ΔOBC 的重心，设,,==
c OC =，试用向量c b a ,,表示向量.,GH OG
分析：要用向量c b a ,,表示向量，就是找一组有序数组x 、y 、z ，使
z y x ++=，这主要利用向量的加法及减法的性质，由向量入手，看一看向
量OG 可以由哪些向量的和或差得到。

解：,+=
＝而3
2
（＝中点，为又2
1
BC D ∴
－（＋＋3
2
32∴
1
)(31
)(3132)(2132c b a OC OB OA OA OC OB OA ++=++=-+⋅+
= )(3
1
)(3132OH +=+==
OH 31
)(31)(31-=++-+=-=∴
小结：本题中3
2
),(21=+=都是常用形式。

例3 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证)(21
111AD AB AC AC ++=
分析：1AC +=11AA AB AB +=+=
∴11AB +=AD AB AC +=
)(2111AA AD AB AD AB AC ++=++∴，,11AA CC =
)(2
1
11111AD AB AA CC AC ++=
++=+=∴ 小结：
⑴在本题中，我们证得平行六面体的对角线11AA AD AB AC ++=，该结论可以认为是向量加法的平行四边形法则在空间的推广（即为平行六面体法则）
⑵该题中我们选取了平行六面体中交于一点A 的三条棱AB 、AD 、AA 1所在的有向线段
1,,作为一个基底，表示了待证式子中左边的向量，再运用向量的加法、数乘运
算得证，这种选在几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量作为空间的一个基底是用向量知识解决立体几何问题中的常用方法。

归纳总结
⒈空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了以“项”.证明的思路、步骤也基本相同．
⒉空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解
几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．
作业P36习题9.5 ⒈⒉
阅读课本P33～P35，预习《两个向量的数量积》．预习提纲：
⑴空间两个向量的夹角是怎样定义的？怎样表示两个向量的夹角？什么叫做两个向量互相垂直？
⑵什么叫做向量的模？
⑶什么叫做两个向量的数量积？其几何意义是什么？
⑷空间向量的数量积有什么性质？
第四课时两个向量的数量积
教学目标
1、掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法。

2、掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算性质
3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。

复习回顾
平面向量夹角和模的概念及表示方法，两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律。

空间两个向量的夹角
定义：如图1，已知两个非零向量a 、b ，
在空间任取一点O ，作OA=a,OB=b, 则角∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作＜a,b ＞ 范围：0≤＜a,b ＞≤π
注意:1()＜a,b ＞与表示点的符号(a,b)不一样。

2()＜a,b ＞=＜b,a ＞ 3()防止混淆图2、3中的两个向量的夹角。

若＜a,b ＞=π/2,则称a 与b 互相垂直，记为a ⊥b 模的定义：设OA ＝a ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作|a|.
两个向量的数量定义
已知空间两个向量a 、b ，则|a||b|cos ＜a,b ＞叫做向量a 、b 的数量积，记作a ⋅b ，即 a ⋅b=|a||b|cos ＜a,b ＞
注意：1()
两个向量的数量积是一个实数。

2()a ⋅b ≠ab,ab 没有意义。

3()当a,b 非零时，常用cos ＜a,b ＞=
a ⋅
b |a||b|
交换律： a ⋅b=b ⋅a 与实数相乘的结合律：(λa)⋅b=λ(a ⋅b)=a ⋅(λb) 分配律： (a+b)⋅c=a ⋅
c+b ⋅c
探索研究
数量积几何意义
已知向量AB ＝a 和轴l ，e 是l 上与l 向量，作点A 在l 上的射影A ‘，作点B 在l 上的射影则A ‘B ’叫做向量AB 在轴l 上或在e 简称射影。

A ‘B ’＝|AB|cos ＜a,e ＞=a ⋅e
空间数量积的性质1()a ⋅e=|a|cos ＜a,e ＞
2()a ⊥b ⇒a ⋅b=0;a ⋅b=0⇒a ⊥b 3()|a|2=a ⋅a
数量积满足如下运算律1()(λa)⋅b=λ(a ⋅b)2()a ⋅b=b ⋅a(交换律)
3()a ⋅(b+c)=a ⋅b+a ⋅c(结合律)
F
E
D C B A 反思应用
例1　已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1， 点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，计算： 1()EF ⋅BA ； 2()EF ⋅BD ； 3()EF ⋅DC 。

分析：依据定义，结合图形
解：⑴∵空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，
∴AB ＝BD ＝1，且∠ABC ＝60°
BA BD BA BD BA EF ||||2
1
21=⋅=
⋅
4
160cos 1121=⋅⋅⋅=
⑵21
0cos 21||||2121===⋅=⋅
⑶41120cos 21||||2121-===⋅=⋅
例2　已知|a|=22,|b|=2/2,a ⋅b=-2,
求a,b
所夹的角。

解：4
3,22|
|||π=-
==
b a 小结：常利用空间向量的数量积来求两向量的夹角的，证明向量垂直，求向量的长度。

αg
n m
l g n m l
C
B
A
O
B 例3　已知m 、n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与 平面α交于B ，且l ⊥m,l ⊥n ，求证：l ⊥α.
证明：在α内作与m 、n 不重合的直线g ，在l 、m 、n
上取非零向量l 、m 、n ， ∵m 与n 相交， ∴向量m 、n 不共线，
由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对（x,y ），使g ＝x m +y n ,
l •g ＝x l •m +y l •n ,∵l •m ＝0，l •n ＝0,∴l •g ＝0，∴l ⊥g ∴l ⊥g,从而l ⊥α 例4　已知：在空间四边形OABC 中，OA ⊥BC ， OB ⊥AC ，求证：OC ⊥AB 。

分析：要证OC ⊥AB ，只要证,0=⋅AB OC 而,OA OB AB -=即证0)(=-⋅OA OB OC 即证0=⋅-⋅，
)(,0)(,
0,0,,=-⋅=-⋅∴=⋅=⋅∴⊥⊥AC OB BC OA
)(=⋅-∴⋅=⋅=⋅∴
变：在空间四边形OABC 中，M 、N 、P 、Q 分别为BC 、AC 、OA 、OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN 。

分析：要证PM ⊥QN ，只要证0=⋅QN PM 关键：将QN PM ,用其它向量表示后再进行计算。

证明：设,,,=== ∵P 、M 分别为OA 、BC 的中点，
)(2
1
21)(21OM PM +-=-+=
-=∴ 同理：)(21
---=，)](2
1[)(21c a b c a b QN PM ---⋅+-=⋅∴
]|||[|4
1])[(412222c a b c a b ---=---= ∵AB ＝OC ，||||c a b =-∴，0=⋅∴QN PM ，∴PM ⊥QN 。

归纳总结
⑴数量积的应用
①求两向量的夹角
②证明向量垂直
③求向量的长度
⑵利用空间向量解决立体几何的关键是选择基向量，空间四边形或平行六面体通常依从一个顶点出发的三条棱的方向向量来建立一个基底，将所对应的向量的运算转化为对基向量的运算。

作业： P 36 习题 9.5 3、4
第五课时 两个向量的数量积（2）
教学目标
1、掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法。

2、掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算性质
3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。

复习回顾
1、空间向量夹角和模的概念及表示方法。

2、两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算性质
反思应用
例1 以下三个命题中，真命题的个数为（ ）B
⑴已知三个向量a 、b 、c ，则空间任一向量p 总可以唯一写成p =x a +y b +z c ;
⑵若a 、b 、c 三个向量两两不共线，则空间任一向量p 总可以写成p =x a +y b +z c ;
⑶若a 、b 、c 三个向量不共面，则空间任一向量p 总可以写成p =x a +y b +z c 。

A 、0
B 、1
C 、2
D 、4
例2 若a 、b 均为非零向量，则a •b ＝|a ||b |是a 与b 共线的（ ）A
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既非充分又非必要条件
例3 在空间四边形OABC 中，若OA 、OB 、OC 两两垂直，求证：ΔABC 是锐角三角形。

分析：要证ΔABC 是锐角三角形，只要证0>⋅
证明：∵OA 、OB 、OC 两两垂直，0=⋅=⋅=⋅∴OC OB OC OA OB OA
OA OA OC OA OA OB OC OB OA OC OA OB AC AB ⋅+⋅-⋅-⋅=-⋅-=⋅∴)()( 为锐角，
，＜OA AC AB ,0||2∴>=即∠BAC 为锐角的，同理∠ABC 、∠BCA 均为锐角。

∴ΔABC 是锐角三角形。

例4 已知m 、n 是空间两个单位向量，它们的夹角为60°，设a ＝2m ＋n ,b ＝－3m ＋2n .⑴求向量a 与b 的数量积；⑵求向量a 与b 的夹角。

解：⑴a •b ＝(2m ＋n )•(－3m ＋2n )＝－6m 2＋2n 2＋m •n ＝－6|m |2＋2|n |2＋|m ||n |cos60°
＝－6＋2＋1/2＝－7/2.
⑵∵a ＝2m ＋n ，
∴｜a |2＝(2m ＋n )2＝4m 2＋n 2＋4m •n ＝4|m |2＋|n |2＋4|m ||n |cos60°＝7
同理|b |2＝7，∴cos ＜a ,b 21|
|||-=b a ，∴＜a ,b ＞＝60°。

例5 如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，线段DD ‘⊥α，
∠DBD ’＝30°，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离。

分析：要求C 、D 间的距离，考虑到
,BD AB CA CD ++=关键是求
⋅⋅⋅,,
解：∵线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，
∴AC ⊥AB ，由∠DBD ’＝30°可知， ＜,＞＝120°，
|CD|2＝2)(BD AB CA CD CD ++=⋅ BD AB BD CA AB CA BD AB CA ⋅+⋅+⋅+++=222||||||222
＝b 2＋a 2＋b 2＋2b 2cos120°＝a 2＋b 2.22b a CD +=∴
例6 已知平行六面体ABCD －A ‘B ’C ‘D
’
中，AB ＝4，AD ＝3，AA ‘＝5，∠BAD ＝90°，
∠BAA ’＝∠DAA ‘＝60°，求AC ’的长。

解：''AA AD AB AC ++=
)(2||||||)(||''2'222
'2'AA AD AA AB AD AB AA AD AB AA AC ⋅+⋅+⋅+++=++=∴
＝42＋32＋52＋2（0＋10＋7.5）＝85 85||'=∴AC
作业：P 36 习题9.5 5。