分式-走进新高一之初升高数学(解析版)

分式
1.繁分式的化简：一般将其化成分式的除法进行运算.
（1）分数乘除法在运算过程中，可以先约分再运算；
（2）当分子或分母是多项式时，必须先对其进行因式分解，然后再进行约分计算；
（3）最后的运算结果应该保留成整式或最简分式；
（4）分母的乘除法，按照运算顺序依次计算.
2.分式的性质：分式的分子与分母同时乘或除以一个不为0的整式，分式的值不变.
.
3.分式的定义：形如B中含有字母）的式子叫做分式.
4.繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，此分式就称为繁分式.
等.
例1：分式的意义
已知值的和为.
【解答】12
【解析】该分式化简过程如下：
因为式子的值是整数，则，则或或，则所有符合条件的的值
的和为12.
例2：分式化简求值
已知，
求的值.
【解答】1
【解析】
，
∵、、均为实数，
.
例3：分式的性质
若边长为的正方形与长、宽分别为m、n的矩形面积相等，则下列比例式中，不正确的是（）
A. B. C. D.
【解答】D
【解析】由题意可得，∴，A选项正确；
∵，，即；
∵，∴，即，∴，C选项正确；
故选D.
例4：用公式求值
已知的值.
【解答】
【解析】化简过程如下：
将代入上式得原式.
例5：通分化简分式
【解答】见解析
【解析】直接通分计算量较大，可采用逐步通分法，过程如下：
巩固练习
一．选择题
1．设＝（）
A．3B．4C．5D．8
【解答】C
【解析】
2．已知a、b为实数且满足a≠﹣1，b≠﹣1
（）
①ab＝1时，M＝N，ab＞1时，M＞N；ab＜1时，M＜N．②若a+b＝0，则M•N≤0．A．①②都对B．①对②错C．①错②对D．①②都错
【解析】
①当ab＝1时，M﹣N＝0，
∴M＝N，
当ab＞1时，2ab＞2，
∴2ab﹣2＞0，
当a＜0时，b＜0，（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，∴M﹣N＞0或M﹣N＜0，
∴M＞N或M＜N；
当ab＜1时，a和b可能同号，也可能异号，
∴（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，而2ab﹣2＜0，∴M＞N或M＜N；
∴①错
∵a+b＝0，
∵a≠﹣1，b≠﹣1，∴（a+1）2（b+1）2＞0，
∵a+b＝0
∴ab≤0，M•N≤0．
4．如果a，b，c，d是正数，且满足a+b+c+d＝2，
，那么的值为（）
A．1B．C．0D．4
【解答】D
【解析】∵a+b+c+d＝2，
5．自然数a，b，c，d等于（）
A B．C D
【解答】D
，只有a、b、c、d自然数都相等的时候，等式才成立，即：a＝b＝c＝d
＝2；
将a、b、c、d结果代入．
6．设x＜0）
A．1B．C D
【解答】B
【解析】∵，
，
，
，
∵x＜0，
∴，
∴x2+1＝﹣3x，
∴x4+1＝7x2，
∵，
∴
∴x8+1＝47x4，
∵
∴，
∴x6+1＝﹣18x3，
7的值是（）
A B．C D
【解答】C
【解析】∵，
∴x2﹣1＝0，|xy|﹣2＝0，x+1≠0，y+2≠0，
∴x＝1，y＝2，
二．填空题
7．（1）已知，则＝；
（2）已知，则＝．
【解答】（1）（2
【解析】（1，得到，则；
（2）由，得到，即a﹣b＝﹣5ab，
.
8．已知：的值为．
【解答】0
【解析】设
则．
由①+②+③得：，
由④﹣①得：，
由④﹣②，
由④﹣③得：
．
9．已知a2﹣3a﹣1＝0，求a6+120a﹣2＝．
【解答】1309
【解析】∵a2﹣3a﹣1＝0，
∴a2＝3a+1，
a6＝（a2）3＝（3a+1）2（3a+1）＝（9a2+6a+1）（3a+1）＝[9×（3a+1）+6a+1]（3a+1）＝（33a+10）（3a+1）＝99a2+63a+10＝99（3a+1）+63a+10＝360a+109，
∵a2﹣3a＝1，
∴a6+120a﹣2＝
360a+109+120﹣360a+1080＝1309．
10．已知a，b，c是不为0的实数，且那么的值是．
【解析】∵
∴，即①；
，
③；
∴①+②+③；；
又∵，即为，则原数为．
11．如果a，b，c是正数，且满足a+b+c＝9
的值为．
【解答】7
【解析】∵a+b+c＝9，
∴a＝9﹣（b+c），b＝9﹣（a+c），c＝9﹣（a+b），
∴原式＝.
三．解答题
12，其中．
当x＝．
13．（1）已知（a+b）2＝6，（a﹣b）2＝2，求a2+b2与ab的值；
（2）已知，求的值.
【解答】（1）a2+b2＝4，ab＝1；（2）7
【解析】（1）∵（a+b）2＝6，（a﹣b）2＝2，
∴a2+2ab+b2＝6 ①，
a2﹣2ab+b2＝2 ②，
①+②，得：2（a2+b2）＝8，
则a2+b2＝4；
①﹣②，得：4ab＝4，
则ab＝1；
（2）∵，
∴．
14．已知的值．
【解析】将两边同时乘以x，得x2+1＝3x，
15．已知a2﹣6a+9与|b﹣1|的值．
【解析】由已知可得a2﹣6a+9+|b﹣1|＝0，
即（a﹣3）2+|b﹣1|＝0，
∴a＝3，b＝1，
16．先化简后求值：已知：，求分式的值．
当时，
原式．
17，其中x是方程x2﹣3x﹣10＝0的解．
∵x2﹣3x﹣10＝0，
∴（x+2）（x﹣5）＝0，
则x+2＝0或x﹣5＝0，
解得：x＝﹣2或x＝5，
又∵x2﹣4≠0，
∴x≠±2，
∴x＝5，
当x＝5．
18．已知分式，
（1）化简这个分式
（2）把分式A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B，问：当a＞2时，分式B的值较原来分式A 的值是变大了还是变小了？试说明理由．
（3）若A的值是整数，且a也为整数，求出所有符合条件a的值
【解答】（1）（2）变小；（3）0、3、4、6、﹣2
【解析】（1）
（2）
∵a＞2，
∴A﹣B＞0，
∴A＞B．
答：分式B的值较原来分式A的值是变小了．
（3）是整数，a也是整数，
∴a＝0时，A＝﹣1；
a＝3时，A＝5；
a＝4时，A＝3；
a＝6时，A＝2；
a＝﹣2时，A＝0．
答：所有符合条件的a的值为0、3、4、6、﹣2．
19．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，
分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，
（1）将假分式
（2）若分式的值为整数，求x的整数值．
【解答】（1）（2）x＝﹣2或0
【解析】（1；
（2），
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴x+1＝±1，
∴x＝﹣2或0．
20．某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x小时，乙单独完成需要y小时，丙单独完成需要z小时．
（1）求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？
（2）若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c的值．
【解答】（1）；（2）1
（2）由题意得．
由①得，
，
同理，由②得；
由③得；
21．观察下面的变形规律：
解答下面问题：
（1）若n为正整数请你猜想＝；
（2）证明你猜想的结论；
（3）利用这一规律化简：
．
（4）尝试完成．（直接写答案）+…
【解答】（1）（2）见解析；（3；（4）
【解析】（1）猜想：
（2。