重点探究01 空间几何体(课件)-【聚焦重难 专题透析】2023年高考数学重难点题型突破(全国通用)
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A
A. B. C. D.
[解析] 根据三视图作出几何体的直观图，如图所示，
由图可知，该几何体为三棱锥 与直三棱柱 拼接而成的几何体，且 平面 ， ， ， ，所以该几何体的体积 .
4.(2022·雅安三诊)在三棱锥 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ，则三棱锥 <m></m> 外接球的表面积是_____.
例2
（1）(2022·江苏模拟)一款多功能粉碎机的实物图如图所示，它的进物仓为正四棱台，已知该四棱台的上底面边长为 ，下底面边长为 ，侧棱长为 ，则该款粉碎机进物仓的体积为( ).
B
A. B. C. D.
[解析] 画出满足题意的正四棱台 ，如图所示，
上底面 的边长为 ，下底面 的边长为 ，侧棱 ，
又四棱柱 为直四棱柱，所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
因为 ， , 平面 ,所以 侧面 .设 为侧面 与球面的交线上的点，则 ，因为球的半径为 ， ，所以 ，所以侧面 与球面的交线上的点到 的距离为 .因为 ，所以侧面 与球面的交线是扇形 的弧 .因为 ，所以 ，所以根据弧长公式可得 .
C
A. B. C. D.
[解析]
由三视图可得几何体是由棱长为2的正方体切割所得的三棱锥 ，如图所示， ， ， ，∴该几何体的表面积 .
2.(2022·江西模拟)已知正四面体 <m></m> 的棱长为4，点 <m></m> 在棱 <m></m> 上，且 <m></m> ，过点 <m></m> 作四面体 <m></m> 外接球的截面，则所作截面面积的最小值为____.
[解析] 边长为 的正六边形的面积为 ，所以该茶叶盒的表面积为 .
提分秘籍
（1）求表面积的思路是将空间图形平面化，注意计算表面积时不要重复或遗漏.（2）求体积的思路是直接套公式或用等体积转化法，一些不规则几何体的体积采用分割法或补形思想转化求解.
过关演练
1.(2022·河东一模)如图，该几何体是由长方体 中挖去四棱锥 和 后所得，其中 为长方体的中心， ， ， ， 分别为所在棱的中点，其中 ， ，则该几何体的体积是( ).
2.(2022·河北一模)在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑.已知在鳖臑 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> ，且 <m></m> ，则鳖臑 <m></m> 外接球的体积是_____.
[解析] 由题意可得三角形 外接圆的半径 .因为 平面 ，所以鳖臑 外接球的半径 ，故鳖臑 外接球的体积是 .
[解析] 因为 ， ，所以 ，则 .同理可证 ， ，所以 ， ， 两两垂直.将三棱锥 补成正方体 ，如图所示，正方体 的体对角线即为三棱锥 的外接球直径，
设三棱锥 的外接球半径为 ，则 ，所以 ，因此三棱锥 的外接球的表面积为 .
◎技能突破
小题探点1 三视图与空间几何体的截面问题（师生共研）
◎课前检测
1.(2022·广安模拟)正三角形 的边长为1，如图，建立平面直角坐标系 ，则它的直观图的面积是( ).
D
A. B. C. D.
[解析] 在原图中，设 是 的中点，则 ， , .
所以 .
如图，在直观图中， , ， ， ，
2.(2022·甘肃模拟)在高为3的直三棱柱 中， 是以 为直角的等腰三角形，且 ，其中 为棱 的中点， 为线段 上的动点，则 的最小值为( ).
A. B. C. D.
C
[解析] 设该四棱锥的底面为四边形 ，四边形 所在小圆的半径为 ，四边形 对角线的夹角为 ，则 （当且仅当四边形 为正方形时等号成立）,即当四棱锥的顶点 到底面 所在小圆距离一定时，底面 面积的最大值为 .又 ,则 ,当且仅当 ,即 时等号成立，故选C.
（2）(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知直四棱柱 <m></m> 的棱长均为2， <m></m> .以 <m></m> 为球心， <m></m> 为半径的球面与侧面 <m></m> 的交线 的中点为 ， 的中点为 ，
因为 ，直四棱柱 的棱长均为2，所以 为等边三角形，所以 ， ，
[解析]
如图，作 于点 ，则 为 的中点， ， ，
即为二面角 的平面角， .在等腰 中， ， ， ， ， .在 中， .∴圆锥的侧面积为 .
小题探点3 多面体与球（师生共研）
例3 (2022年全国乙卷)已知球 的半径为1，四棱锥的顶点为 ，底面的四个顶点均在球 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( ).
例1
（1）(2022年全国甲卷)如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为( ).
B
A. B. C. D.
[解析] 由多面体的三视图得该多面体是一个直四棱柱 ，
如图， ， ， ， 平面 ，∴该多面体的体积 .故选B.
A. B. C. D.
B
[解析]
将等腰直角三角形 翻折到与矩形 共面，如图所示， 的最小值为 ，因为 ， ，所以 .
3.(2022·安徽一模)如图，这是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( ).
提分秘籍
截面问题易错提醒：（1）截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面的个数；（2）截面不会与同一个表面有两条交线；（3）截面与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长）；（4）截面截内切球或者外接球时，要区分与面相切和与棱相切之间的关系.
过关演练
1.(2022·甘肃模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ).
C
A. B. C. D.
[解析] 由题知 ，所以 ，又 ，故该几何体的体积为 ，故选C.
2.(2022·河北模拟)已知过圆锥顶点 <m></m> 的截面为三角形 <m></m> ， <m></m> 为底面圆的圆心，若二面角 <m></m> 的大小为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，则圆锥的侧面积为______.
过关演练
1.(2022·北京模拟)如图所示，一套组合玩具需在一半径为3的球外罩上一个倒置的圆锥，则圆锥体积的最小值为( ).
D
A. B. C. D.
[解析] 如图，设圆锥的母线与底面的夹角为 ，底面半径为 ，圆锥的高为 ，由内切球半径 ，
得 ， ，所以圆锥的体积 .又 ，则 ，所以 ， ,又因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.所以圆锥体积的最小值为 .
则 ， ,所以上底面的面积 ，下底面的面积 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，根据正四棱台的结构特征可知 与 都是该正棱台的高，且 ， ，因此 ，
所以正四棱台 的体积 ，故该款粉碎机进物仓的体积为 .
（2）(2022·福州质检)如图，这是一个正六棱柱的茶叶盒，其底面边长为 <m></m> ，高为 <m></m> ，则这个茶叶盒的表面积约为_______ <m></m> .（精确到 <m></m> ， <m></m> ）
[解析]
如图，正四面体 的棱长为4，则正方体的棱长为 .正四面体 的外接球即正方体的外接球，设球心为 ，球的半径为 ，则 ，
， . , ,∴在 中, ，当 垂直于截面时,此时截面最小,则截面圆的半径 .∴截面面积的最小值为 .
小题探点2 求空间几何体的表面积、体积（师生共研）
提分秘籍
（1）解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置.对于特殊的多面体还可以采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置.（2）求空间几何体的最值常用基本不等式法、函数性质以及几何图形的特征求解.
A. B. C. D.
[解析] 根据三视图作出几何体的直观图，如图所示，
由图可知，该几何体为三棱锥 与直三棱柱 拼接而成的几何体，且 平面 ， ， ， ，所以该几何体的体积 .
4.(2022·雅安三诊)在三棱锥 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ，则三棱锥 <m></m> 外接球的表面积是_____.
例2
（1）(2022·江苏模拟)一款多功能粉碎机的实物图如图所示，它的进物仓为正四棱台，已知该四棱台的上底面边长为 ，下底面边长为 ，侧棱长为 ，则该款粉碎机进物仓的体积为( ).
B
A. B. C. D.
[解析] 画出满足题意的正四棱台 ，如图所示，
上底面 的边长为 ，下底面 的边长为 ，侧棱 ，
又四棱柱 为直四棱柱，所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
因为 ， , 平面 ,所以 侧面 .设 为侧面 与球面的交线上的点，则 ，因为球的半径为 ， ，所以 ，所以侧面 与球面的交线上的点到 的距离为 .因为 ，所以侧面 与球面的交线是扇形 的弧 .因为 ，所以 ，所以根据弧长公式可得 .
C
A. B. C. D.
[解析]
由三视图可得几何体是由棱长为2的正方体切割所得的三棱锥 ，如图所示， ， ， ，∴该几何体的表面积 .
2.(2022·江西模拟)已知正四面体 <m></m> 的棱长为4，点 <m></m> 在棱 <m></m> 上，且 <m></m> ，过点 <m></m> 作四面体 <m></m> 外接球的截面，则所作截面面积的最小值为____.
[解析] 边长为 的正六边形的面积为 ，所以该茶叶盒的表面积为 .
提分秘籍
（1）求表面积的思路是将空间图形平面化，注意计算表面积时不要重复或遗漏.（2）求体积的思路是直接套公式或用等体积转化法，一些不规则几何体的体积采用分割法或补形思想转化求解.
过关演练
1.(2022·河东一模)如图，该几何体是由长方体 中挖去四棱锥 和 后所得，其中 为长方体的中心， ， ， ， 分别为所在棱的中点，其中 ， ，则该几何体的体积是( ).
2.(2022·河北一模)在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑.已知在鳖臑 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> ，且 <m></m> ，则鳖臑 <m></m> 外接球的体积是_____.
[解析] 由题意可得三角形 外接圆的半径 .因为 平面 ，所以鳖臑 外接球的半径 ，故鳖臑 外接球的体积是 .
[解析] 因为 ， ，所以 ，则 .同理可证 ， ，所以 ， ， 两两垂直.将三棱锥 补成正方体 ，如图所示，正方体 的体对角线即为三棱锥 的外接球直径，
设三棱锥 的外接球半径为 ，则 ，所以 ，因此三棱锥 的外接球的表面积为 .
◎技能突破
小题探点1 三视图与空间几何体的截面问题（师生共研）
◎课前检测
1.(2022·广安模拟)正三角形 的边长为1，如图，建立平面直角坐标系 ，则它的直观图的面积是( ).
D
A. B. C. D.
[解析] 在原图中，设 是 的中点，则 ， , .
所以 .
如图，在直观图中， , ， ， ，
2.(2022·甘肃模拟)在高为3的直三棱柱 中， 是以 为直角的等腰三角形，且 ，其中 为棱 的中点， 为线段 上的动点，则 的最小值为( ).
A. B. C. D.
C
[解析] 设该四棱锥的底面为四边形 ，四边形 所在小圆的半径为 ，四边形 对角线的夹角为 ，则 （当且仅当四边形 为正方形时等号成立）,即当四棱锥的顶点 到底面 所在小圆距离一定时，底面 面积的最大值为 .又 ,则 ,当且仅当 ,即 时等号成立，故选C.
（2）(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知直四棱柱 <m></m> 的棱长均为2， <m></m> .以 <m></m> 为球心， <m></m> 为半径的球面与侧面 <m></m> 的交线 的中点为 ， 的中点为 ，
因为 ，直四棱柱 的棱长均为2，所以 为等边三角形，所以 ， ，
[解析]
如图，作 于点 ，则 为 的中点， ， ，
即为二面角 的平面角， .在等腰 中， ， ， ， ， .在 中， .∴圆锥的侧面积为 .
小题探点3 多面体与球（师生共研）
例3 (2022年全国乙卷)已知球 的半径为1，四棱锥的顶点为 ，底面的四个顶点均在球 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( ).
例1
（1）(2022年全国甲卷)如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为( ).
B
A. B. C. D.
[解析] 由多面体的三视图得该多面体是一个直四棱柱 ，
如图， ， ， ， 平面 ，∴该多面体的体积 .故选B.
A. B. C. D.
B
[解析]
将等腰直角三角形 翻折到与矩形 共面，如图所示， 的最小值为 ，因为 ， ，所以 .
3.(2022·安徽一模)如图，这是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( ).
提分秘籍
截面问题易错提醒：（1）截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面的个数；（2）截面不会与同一个表面有两条交线；（3）截面与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长）；（4）截面截内切球或者外接球时，要区分与面相切和与棱相切之间的关系.
过关演练
1.(2022·甘肃模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ).
C
A. B. C. D.
[解析] 由题知 ，所以 ，又 ，故该几何体的体积为 ，故选C.
2.(2022·河北模拟)已知过圆锥顶点 <m></m> 的截面为三角形 <m></m> ， <m></m> 为底面圆的圆心，若二面角 <m></m> 的大小为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，则圆锥的侧面积为______.
过关演练
1.(2022·北京模拟)如图所示，一套组合玩具需在一半径为3的球外罩上一个倒置的圆锥，则圆锥体积的最小值为( ).
D
A. B. C. D.
[解析] 如图，设圆锥的母线与底面的夹角为 ，底面半径为 ，圆锥的高为 ，由内切球半径 ，
得 ， ，所以圆锥的体积 .又 ，则 ，所以 ， ,又因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.所以圆锥体积的最小值为 .
则 ， ,所以上底面的面积 ，下底面的面积 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，根据正四棱台的结构特征可知 与 都是该正棱台的高，且 ， ，因此 ，
所以正四棱台 的体积 ，故该款粉碎机进物仓的体积为 .
（2）(2022·福州质检)如图，这是一个正六棱柱的茶叶盒，其底面边长为 <m></m> ，高为 <m></m> ，则这个茶叶盒的表面积约为_______ <m></m> .（精确到 <m></m> ， <m></m> ）
[解析]
如图，正四面体 的棱长为4，则正方体的棱长为 .正四面体 的外接球即正方体的外接球，设球心为 ，球的半径为 ，则 ，
， . , ,∴在 中, ，当 垂直于截面时,此时截面最小,则截面圆的半径 .∴截面面积的最小值为 .
小题探点2 求空间几何体的表面积、体积（师生共研）
提分秘籍
（1）解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置.对于特殊的多面体还可以采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置.（2）求空间几何体的最值常用基本不等式法、函数性质以及几何图形的特征求解.