新教材高中数学第1章三角函数§1周期变化学案含解析北师大版必修第二册

新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：
§1周期变化
学习任务核心素养
1．了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期．(难点)
2．初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性．(难点、重点)1．通过周期函数的概念的学习，逐步培养数学抽象素养．
2．借助周期函数的判定，培养逻辑推理素养．
在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，比如每周七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循环不断重复出现．我们把这种会重复出现的规律性问题称为周期问题．
你还能列举日常生活中周期变化的实例吗？
知识点1周期函数的概念
一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．
1.(1)是否所有的函数都是周期函数？
(2)周期函数的周期唯一吗？
[提示](1)不是，如y＝x＋1就不是周期函数．
(2)周期函数的周期不唯一，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z且k≠0)也是函数f(x)的周期．
知识点2最小正周期
如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期．
2.(1)为什么规定T非零？
(2)常函数f(x)＝c，x∈R是周期函数吗？若是，其周期是什么？
[提示](1)T若为零，则任意函数都是周期函数．
(2)是周期函数，其周期是任意非零实数．
某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了______
个周期．
10 [4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．]
类型1 周期现象
【例1】 水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？
[解] 因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈， 所以1小时内水车转12圈．
又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升， 所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)， 所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升).
1.周期现象的判断
首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．
2.收集数据、画散点图，分析数据特点，能直观地发现函数的周期性．
[跟进训练]
1．利用本例中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？
[解] 设x 分钟后盛水y 升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)， 所以y ＝x
5
×160＝32x ，
为使水车盛800升的水，则有32x ≥800，
所以x ≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟． 类型2 周期函数
【例2】 (教材北师版P 3例3改编)已知函数f (x )满足f (x )f ()x ＋2＝13，求证：f (x )是周期函数．
1．若存在非零常数a ，使函数f (x )在定义域上满足：f ()x ＋a ＝－f (x )，则f (x )是周期函数吗？若是，其周期是什么？
[提示] 由已知得，f ()x ＋2a ＝－f ()x ＋a ＝－[]－f ()x ＝f (x )，根据周期函数的定义，f (x )是以2a 为一个周期的周期函数．
2．若存在非零常数a ，使函数f (x )在定义域上满足：f ()x ＋a ＝
1
f ()
x ，则f (x )是周期函数吗？
若是，其周期是什么？
[提示] 由已知得，f ()x ＋2a ＝1f ()x ＋a ＝1
1
f ()x ＝f (x )，根据周期函数的定义，f (x )是以2a 为
一个周期的周期函数．
[证明] 由已知得f ()x ＋2＝13
f ()x ，
所以f ()x ＋4＝
13f ()x ＋2＝13
13
f ()
x ＝f (x ).
所以f (x )是周期函数，4是它的一个周期．
判定一个函数是周期函数需分两步
(1)先猜想出其周期； (2)用周期函数的定义证之．
[跟进训练]
2．已知函数f (x )满足f (
)x ＋1＝1＋f ()x 1－f ()x ，求证：f (x )是周期函数． [证明] 由已知得，f ()x ＋2＝1＋f ()x ＋11－f ()x ＋1＝1＋
1＋f ()x 1－f ()x 1－
1＋f ()x 1－f ()x ＝2－2f ()x ＝－1
f ()x .
所以f ()x ＋4＝－1f ()x ＋2＝－1
－1f ()x ＝f (x ).
所以f (x )是周期函数，4是它的一个周期． 类型3 周期函数的应用
【例3】 (教材北师版P 2例2改编)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f ()x ＋2＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .
(1)求f ()π的值；
(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调递增(或减)区间．
第(1)问，先求函数f (x )的周期，再求f ()π的值；
第(2)问，推断函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；
第(3)问，观察图象写出．
[解] (1)由f ()x ＋2＝－f (x )，得f ()x ＋4＝－f ()x ＋2＝－[]－f ()x ＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数，
∴f ()π＝f ()－1×4＋π＝f ()π－4＝－f ()4－π＝－()4－π＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f ()x ＋2＝－f (x )， 得f []()x －1＋2＝－f ()x －1＝f ()1－x ， 即f ()1＋x ＝f ()1－x .
故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．
又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示． 当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △ OAB
＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.
(3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1，4k ＋1](k ∈Z )，单调递减区间为[4k ＋1，4k ＋3](k ∈Z ).
研究周期函数时，通常先研究其在一个周期上的性质，然后把它拓展到定义域上，这样可简化对函数的研究．
[跟进训练]
3．(1)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f ()x ＋4＝f (x )，则f (2)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
(2)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
(1)A (2)B [(1)由题意，f (x )为周期函数且周期为4， ∴f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)， 又f (－2)＝－f (2)， 则f (2)＝－f (2)， 所以f (2)＝0.
(2)当0≤x ＜2时，令f (x )＝x 3－x ＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1(舍去)， 又f (x )的最小正周期为2，
∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝f (6)＝0，f (1)＝f (3)＝f (5)＝0， ∴y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为7.]
1．下列变化中，不是周期现象的是( ) A ．“春去春又回” B ．钟表的分针的运行
C ．天干地支表示年、月、日的时间顺序
D ．某同学每天上学的时间
D [由周期现象的概念知，某同学每天上学的时间不是周期变化．故选D.]
2．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图象，则f ()16＝( )
A.1 B ．0 C ．－1 D ．2 A [由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数， 所以f ()16＝f ()5×3＋1＝f ()1， 而由图象可知f (1)＝1， 所以f ()16＝1.]
3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈R 都有f ()x ＋4＝f (x )＋f ()2，f (1)＝ 4，则f ()3＋f ()10的值为________．
4 [由题意可知f ()x ＋4＝f (x )＋f ()2， 令x ＝－2，可求得f ()－2＝0，
又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f ()2＝0，即f ()x ＋4＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数，又f ()1＝4， 所以f ()3＋f ()10＝f ()－1＋f ()2＝f ()1＋0＝4.]
4．若f (x )是以π2为周期的函数，且f (π3)＝1，则f (－2π
3)＝________．
1 [f (－2π3)＝f (π3－2×π2)＝f (π
3
)＝1.]
5．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s ，第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________s.
1.4 [质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M
用时相同，因此质点运动半周期T
2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应
为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s).]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1.周期函数的定义是什么？如何判断f (x )是周期函数？
[提示] 一般地，对于函数y ＝f (x )，x ∈D ，如果存在一个非零常数T ，使得对任意的x ∈D ，都有x ＋T ∈D 且满足f (x ＋T )＝f (x )，那么y ＝f (x )称作周期函数，利用周期函数的定义及一些常用的结论判断．
2.周期函数的定义域有什么特点？
[提示] 设周期为T 的函数的定义域为M ，则x ∈M ，则必有x ＋nT ∈M (且n ∈Z 且n ≠0)，因此周期函数的定义域一定是无限集．。