【单元练】深圳布吉街道布吉中学九年级数学上册第二十四章《圆》经典测试(培优提高)

一、选择题
1．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P 落在O 上，两边分别交圆O 于A ，B 两点，若O 的直径为6，则弦AB 的长为（ ）
A ．3
B ．2
C ．2
D ．3A
解析：A
【分析】 连接AO 并延长交O 于点D ，连接BD ；根据同弦所对的圆周角相等可得
30D P ∠=∠=︒；再说明AD=6,然后根据在直角三角形中30°所对的直角边为斜边的一半．
【详解】
解：如图：连接AO 并延长交O 于点D ，连接BD ，
30P ∠=︒，
30D P ∴∠=∠=︒，
∵AD 是O 的直径，6AD =，90ABD ∠=︒，
132
AB AD ∴==． 故答案为A ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，掌握直径所对的圆周角为直角是解答本题的关键．
2．下列说法不正确的是（ ）
A ．不在同一直线上的三点确定一个圆
B ．90°的圆周角所对的弦是直径
C ．平分弦的直径垂直于这条弦
D ．等弧所对的圆周角相等C
解析：C
【分析】
根据确定圆的条件对A 进行判断；根据垂径定理的推论对C 进行判断；根据圆周角定理及其推论对B 、D 进行判断．
解：A.不在同一直线上的三点确定一个圆，说法正确；
B. 90°的圆周角所对的弦是直径，说法正确；
C. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B 选项错误；
D. 等弧所对的圆周角相等，说法正确；
故选：C
【点睛】
此题主要考查了圆的相关知识的掌握．解答此题的关键是要熟悉课本中的性质定理． 3．如图，在半径为8的O 中，点A 是劣弧BC 的中点，点D 是优弧BC 上一点，30D ︒∠=，下列结论不正确的是（ ）
A ．OA BC ⊥
B ．83B
C =C ．四边形ABOC 是菱形
D ．扇形OAC 的面积为643
πD 解析：D
【分析】 利用垂径定理可对A 进行判断；根据圆周角定理得到∠AOC=2∠D=60°，则△OAC 为等边三角形，根据等边三角形的性质和垂径定理可计算出83BC =B 进行判断；利用AB=AC=OA=OC=OB 可对C 进行判断；通过判断△AOB 为等边三角形，再根据扇形的面积公式可对D 进行判断．
【详解】
解：A.∵点A 是劣弧BC 的中点，
∴OA ⊥BC ，所以A 正确，不符合题意；
B.∵∠AOC=2∠D=60°，OA=OC ，
∴△OAC 为等边三角形，
∴BC=2×8×sin30°383B 正确，不符合题意； C. 同理可得△AOB 为等边三角形，
∴AB=AC=OA=OC=OB ，
∴四边形ABOC 是菱形，所以C 正确，不符合题意；
D.∵∠AOC=60°，OC=8
∴扇形OAC 的面积为2608323603
ππ⨯=，所以D 错误，符合题意． 故选：D ．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
4．如图，一条公路的拐弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在的圆的圆心，
AB=，点C是AB的中点，点D是AB的中点，且5cm
20cm
CD=，则这段弯路所在圆的半径为（）
A．10cm B．12.5cm C．15cm D．17cm B
解析：B
【分析】
根据题意，可以推出AD＝BD＝10，若设半径为r，则OD＝r﹣5，OA＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】
解：∵OC⊥AB，AB＝20，
∴AD＝DB＝10，
在Rt AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣5）2+102，
解得：r＝12.5，
∴这段弯路的半径为12.5，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OA的长度．
5．如图，已知AB是O的直径，AD切O于点A，CE CB
=．则下列结论中不一定正确的是（）
A ．OC BE ⊥
B ．//O
C AE C ．2COE BAC ∠=∠
D ．OD AC ⊥D
解析：D
【分析】 分别根据平行线的判定与性质，以及圆周角定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
B. ∵CE CB =，2BAE BAC ∴∠=∠， 又2BOC BAC ∠=∠，BAE BOC ∴∠=∠，//OC AE ∴，正确；
A. AB 是O 的直径，∴∠AEB=90°，∵//OC AE ，OC BE ⊥，正确；
C. ∵EC 所对的圆心角为COE ∠，EC 所对的圆周角为CAE ∠，2COE CAE ∴∠=∠，正确；
D. 只有AE EC =时，才可证得OD AC ⊥，故不一定正确；
故选D ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，平行线的判定与性质，熟知圆周角定理及其推论是解答此题的关键．
6．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，7AB =，4AC =，以点C 为圆心、CA 为半径的圆交AB 于点D ，求弦AD 的长为（ ）
A 433
B ．327
C 233
D ．167
B 解析：B
【分析】
过C 作CF ⊥AB 于F ，根据垂径定理得出AD=2AF ，根据勾股定理求BC ，根据三角形面积公式求出CF ，根据勾股定理求出AF 即可．
【详解】
过C 作CF ⊥AB 于F ，
∵CF⊥AB，CF过圆心C，
∴AD=2AF．
∵△ABC中，∠ACB是直角，AC=4，AB=7，
∴由勾股定理得：2222
7433
AB AC
-=-=
由三角形的面积公式得：AC×BC=AB×CF，即33=7CF，
∴CF=33
7
，
在△AFC中，由勾股定理得：
2
222
43316
4
77 AC CF
⎛⎫
-=-=
⎪
⎪
⎝⎭
，
∴AD=2AF=32
7
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，垂径定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是求出AF的长．7．下列说法正确的有（）
①垂直平分弦的直线经过圆心；②平分弦的直径一定垂直于弦；③相等的圆周角所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤等弦所对的弧相等
A．1个B．2个C．3个D．4个B
解析：B
【分析】
根据垂径定理及其推论即可判定①正确，②错误；根据弧、弦、圆周角之间的关系可知③⑤错误，④正确．
【详解】
解：①根据垂径定理的推论可知，垂直平分弦的直线经过圆心；故本选项正确；
②直径是最长的弦，任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，故被平分弦不能是直径；故本选项错误；
③在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故本选项错误；
④相等的弧所对的弦一定相等，故本选项正确；
⑤∵在一个圆中一条弦所对的弧有两条，∴等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误． 故选：B ．
【点睛】
本题考查的是垂径定理及其推论、圆周角、弧、弦的关系，解题的关键是正确理解各知识点．
8．如图，AB 为O 的弦，半径OC 交AB 于点D ，AD DB =，5OC =，3OD =，则AB 的长为（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2A
解析：A
【分析】 连接OB ，根据⊙O 的半径为5，CD ＝2得出OD 的长，再由垂径定理的推论得出OC ⊥AB ，由勾股定理求出BD 的长，进而可得出结论．
【详解】
解：连接OB ，如图所示：
∵⊙O 的半径为5，OD ＝3，
∵AD ＝DB ，
∴OC ⊥AB ，
∴∠ODB ＝90°， ∴2222.534BD OB OD -=-=，
∴AB ＝2BD ＝8．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是垂径定理以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9．点A ，B 的坐标分别为A (4，0)，B (0，4)，点C 为坐标平面内一点，BC ﹦2，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ）
A ．22＋1
B ．22＋2
C ．42＋1
D ．42-2A
解析：A
【分析】 根据同圆的半径相等可知：点C 在半径为2的
B 上，通过画图可知，
C 在B
D 与圆B 的交点时，OM 最小，在DB 的延长线上时，OM 最大，根据三角形的中位线定理可得结
论．
【详解】
解：如图，
点C 为坐标平面内一点，2BC =，
C ∴在B 上，且半径为2， 取4OD
OA ，连接CD ， AM CM =，OD OA =，
OM ∴是ACD ∆的中位线， 12
OM CD ， 当OM 最大时，即CD 最大，而D ，B ，C 三点共线时，当C 在DB 的延长线上时，OM 最大，
4OB OD ，90BOD ∠=︒，
42BD ∴= 422CD ，
114222212
2OM CD ，
即OM 的最大值为221+； 故选：A ．
【点睛】
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM 为最大值时点C 的位置是解题的关键．
10．如图，⊙O 的半径为1，点 O 到直线 a 的距离为2，点 P 是直线a 上的一个动点，PA 切⊙O 于点 A ，则 PA 的最小值是（ ）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．5B
解析：B
【分析】 因为PA 为切线，所以△OPA 是直角三角形．又OA 为半径为定值，所以当OP 最小时，PA 最小．根据垂线段最短，知OP=2时PA 最小．运用勾股定理求解．
【详解】
解：作OP ⊥a 于P 点，则OP=2．
根据题意，在Rt △OPA 中，
AP=22OP OA -=2221=3-
故选：B ．
【点睛】
此题考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PA 最小时点P 的位置是解题的关键，难度中等偏上．
二、填空题
11．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒正方形CDEF 的顶点C 是弧AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为2时，阴影部分的面积为_______．
π﹣2【分析】连结OC根据勾股定理可求OC
的长根据题意可得出阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积依此列式计算即可求解【详解】解：连接OC∵在扇形AOB中∠AOB＝90°正方形CDEF
解析：π﹣2
【分析】
连结OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．
【详解】
解：连接OC，
∵在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，
∴∠COD＝45°，
∴OC＝2CD＝22，
∴阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积
＝
2
45(22)
360
π
⨯⨯
﹣
1
2
×22
＝π﹣2．
故答案为：π﹣2．
．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算以及正方形的性质，解题的关键是得到扇形半径的长度．12．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝________°．
125【分析】根据三角形内角和性质结合题意可计算得的值；
根据内切圆的性质分析可计算得的值从而完成求解【详解】∵∠A＝70°∴∵⊙O
是△ABC 的内切圆∴∴∴故答案为：125【点睛】本题考查了三角形内角 解析：125
【分析】
根据三角形内角和性质，结合题意，可计算得ABC ACB ∠+∠的值；根据内切圆的性质分析，可计算得OBC OCB ∠+∠的值，从而完成求解．
【详解】
∵∠A ＝70°
∴180110ABC ACB A ∠+∠=-∠=
∵⊙O 是△ABC 的内切圆 ∴12OBC ABC ∠=∠，12
OCB ACB ∠=∠ ∴11111055222
OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯= ∴180********BOC OBC OCB ∠=-∠-∠=-=
故答案为：125．
【点睛】
本题考查了三角形内角和、三角形内切圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形内切圆的性质，从而完成求解．
13．如图，点A ，B ，C 在O 上，顺次连接A ，B ，C ，O ．若四边形ABCO 为平行四边形，则AOC ∠=________︒．
120【分析】连接OB 先证明四边形ABCD 是菱形然后再说
明△AOB △OBC 为等边三角形最后根据等边三角形的性质即可解答【详解】解：如图：连接OB ∵点在上∴OA=OC=OB ∵四边形为平行四边形∴四边形 解析：120
【分析】
连接OB ，先证明四边形ABCD 是菱形，然后再说明△AOB 、△OBC 为等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可解答．
【详解】
解：如图：连接OB
∵点A ，B ，C 在
O 上 ∴OA=OC=OB
∵四边形ABCO 为平行四边形
∴四边形ABCO 是菱形
∴OA=OC=OB=AB=BC
∴△AOB 、△OBC 为等边三角形
∴∠AOB=∠BOC=60°
∴∠AOC=120°．
故答案为120．
【点睛】
本题主要考查了圆的性质和等边三角形的性质，根据题意证得△AOB 、△OBC 为等边三角形是解答本题的关键．
14．如图，矩形ABCD 和正方形BEFG 中2AB =，3AD =，1BE =，正方形BEFG 绕点B 旋转过程中，线段DF 的最小值为______．
【分析】由勾股定理可求BD=BF=由题
意可得点F 在以点B 为圆心BF 为半径的圆上则当点F 在线段DB 上时DF 的值最小即可求解【详解】解：连接BDBF ∵矩形∴∠C=90°∴∵正方形∴∴点F 在以点B 为圆心B 132【分析】
由勾股定理可求132，由题意可得点F 在以点B 为圆心，BF 为半径的圆上，则当点F 在线段DB 上时，DF 的值最小，即可求解．
【详解】
解：连接BD 、BF
∵矩形ABCD ，2AB =，3AD =，
∴∠C=90°
∴22
BD=+=
2313
BE=
∵正方形BEFG，1
∴22
BF
112
=+=
∴点F在以点B为圆心，BF为半径的圆上，
∴当点F在线段DB上时，DF的值最小，
∴DF的最小值=BD-BF=132
-
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理的运用，正确的判断出DF最小时F点的位置是解答此题的关键．
15．如图，A，B，P是半径为2的O上的三点，45
APB
∠=︒，则弦AB的长为______．
【分析】首先连接OAOB由圆周角定理即可求得∠AOB=90°
又由OA=OB=2利用勾股定理即可求得弦AB的长【详解】解：连接
OAOB∵∠APB=45°∴∠AOB=2∠APB=90°∵OA=OB=2∴
解析：2
【分析】
首先连接OA，OB，由圆周角定理即可求得∠AOB=90°，又由OA=OB=2，利用勾股定理即可求得弦AB的长．
【详解】
解：连接OA，OB，
∵∠APB=45°，
∴∠AOB=2∠APB=90°，
∵OA=OB=2， ∴2222AB OA OB += 故答案为：2
【点睛】
此题考查了圆周角定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 16．已知⊙O 的半径为3，圆心O 到直线l 的距离为m ，若m 满足方程290x ，则⊙O 与直线l 的位置关系是________相切【分析】先解一元二次方程求出m 的值再根据圆与直线的位置关系即可得【详解】由得：是圆心O 到直线的距离又满足方程的半径为3与直线的位置关系是相切故答案为：相切【点睛】本题考查了解一元二次方程圆与直线
解析：相切
【分析】
先解一元二次方程求出m 的值，再根据圆与直线的位置关系即可得．
【详解】
由290x 得：123,3x x ==-， m 是圆心O 到直线l 的距离，
0m ∴≥，
又m 满足方程290x ，
3m ∴=， O 的半径为3，
O ∴与直线l 的位置关系是相切，
故答案为：相切．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程、圆与直线的位置关系、点到直线的距离，熟练掌握圆与直线的位置关系是解题关键．
17．已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为_____．【分析】利用三角形三边分别为345可得三角形是直角三角形根据内切圆的性质可判定四边形OECE 是正方形所以用r 分别表示：CE ＝CD ＝rAE ＝AN ＝3−rBD ＝BN
＝4−r；再利用AB作为相等关系求出r
解析：5
2
【分析】
利用三角形三边分别为3、4、5，可得三角形是直角三角形，根据内切圆的性质可判定四边形OECE是正方形，所以用r分别表示：CE＝CD＝r，AE＝AN＝3−r，BD＝BN＝4−r；再利用AB作为相等关系求出r＝1，则可得AN＝2，N为圆与AB的切点，M为AB的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M为外接圆的圆心；在Rt△OMN中，先
求得MN＝AM−AN＝1
2
，由勾股定理可求得OM的长．
【详解】
解：∵三角形三边分别为3、4、5，
∴32+42＝52，
∴三角形是直角三角形，
如图，设Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
设Rt△ABC的内切圆的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵∠C＝90°，
∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝3﹣r，BD＝BN＝4﹣r，
∴4﹣r+3﹣r＝5，
解得r＝1，
∴AN＝2，
在Rt△OMN中，MN＝AM﹣AN＝1
2
，
∴OM5
5
5
【点睛】
此题考查了直角三角形的外心与内心概念、勾股定理的逆定理、内切圆的性质．解决本题
的关键是掌握直角三角形的外心与内心概念．
18．如图，ABC 是等边三角形，180BAD BCD ∠+∠=︒，8BD =，2CD =，则AD =________．
6【分析】在线段BD 上取一点E 使得BE=CD 连接AE 由四点
共圆得∠再证明△是等边三角形得再由线段的和差关系可得结论【详解】解：在线段BD 上取一点E 使得BE=CD 连接AE ∵∴四点共圆∴∠∴∠∵△是等边 解析：6
【分析】
在线段BD 上取一点E ，使得BE=CD ，连接AE ，由,,,A B C D 四点共圆得
∠ABE ACD =∠，再证明ABE ACD ≅∆，△ADE 是等边三角形，得
AD DE AE ==，再由线段的和差关系可得结论．
【详解】
解：在线段BD 上取一点E ，使得BE=CD ，连接AE ，
∵180BAD BCD ∠+∠=︒
∴,,,A B C D 四点共圆，
∴∠ABD ACD =∠
∴∠ABE ACD =∠
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB AC BC ==，60DAE ∠=︒，
∴△ABE ACD ≅∆，∠60BAE CAF +∠=︒，
∴,BAE CAD BAF CAD ∠=∠∠=∠，
∴∠60CAD CAE +∠=︒，即60DAE ∠=︒，
∴△ADE 是等边三角形，
∴AD DE AE ==，
∵=8BD ，2CD =，
∴6DE BD BE BD CD =-=-=，
∴6AD DE ==．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及四点共圆的判定，证明∠ABE ACD
=∠
是解答此题的关键．
19．如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一点，连接 AE，过点 B 作 BG⊥AE 于点 G，连接 CG 并延长交 AD 于点 F，当 AF 的最大值是 2 时，正方形 ABCD 的边长为______．
8【分析】以AB为直径作圆O则∠AGB=90º当CF与圆O相切
时AF最大AF=2由切线长定理的AF=FGBC=CG过F作FH⊥BC与H则四边形ABHF为矩形AB=FHAF=BH=2设正方形的边长为x
解析：8．
【分析】
以AB为直径作圆O，则∠AGB=90º，当CF与圆O相切时，AF最大，AF=2，由切线长定理的AF=FG，BC=CG，过F作FH⊥BC与H，则四边形ABHF为矩形，AB=FH，AF=BH=2，设正方形的边长为x，在Rt△FHC中，由勾股定理得x2+(x-2)2=(x+2)2解之即可．
【详解】
以AB为直径作圆O，
∵AB为直径，
∴∠AGB=90º，
当CF与圆O相切时，AF最大，AF=2，
由切线长定理的AF=FG，BC=CG，
过F作FH⊥BC与H，则四边形ABHF为矩形，AB=FH，AF=BH=2，
设正方形的边长为x，
则HC=x-2，FC=2+x，FH=x，
在Rt△FHC中，由勾股定理得，
x2+(x-2)2=(x+2)2，
整理得：x2-8x=0，
解得x=8，x=0（舍去），
故答案为：8．
【点睛】
本题考查圆的切线问题，涉及切线长，直径所对的圆周角，引辅助圆与辅助线，正方形的性质，矩形的性质与判定，能综合运用这些知识解决问题特别是勾股定理构造分析是解题关键．
20．扇形 的半径为6cm ，弧长为10cm ，则扇形面积是________．30【分析】结合题意根据弧长计算公式计算得弧长对应圆心角；再结合扇形面积公式计算即可得到答案【详解】∵扇形的半径为6cm 弧长为10cm ∴弧长对应的圆心角n 为：∴扇形面积为：故答案为：30【点睛】本题
解析：302cm
【分析】
结合题意，根据弧长计算公式，计算得弧长对应圆心角；再结合扇形面积公式计算，即可得到答案．
【详解】
∵扇形的半径为6cm ，弧长为10cm
∴弧长对应的圆心角n 为：101803006ππ
⨯=⨯ ∴扇形面积为：263003630360360
n πππ⨯⨯=⨯=2cm 故答案为：302cm ．
【点睛】 本题考查了弧长、扇形面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握弧长、扇形的性质，从而完成求解．
三、解答题
21．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形BEFG 中，点E 在AB 的延长线上，点G 在BC 上，点O 在线段AB 上，且AO BO ≥．以OF 为半径的O 与直线AB 交于点M 、N ．
（1）如图1，若点O 为AB 中点，且点D ，点C 都在
O 上，求正方形BEFG 的边长． （2）如图2，若点C 在
O 上，求证：以线段OE 和EF 为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值．
（3）如图3，若点D 在
O 上，求证：DO FO ⊥． 解析：（1）
12；（2）见解析；12
；（3）证明见解析 【分析】
（1）连接OC，设BE=EF=x，则OE=x+1
2
，得出(x+
1
2
)2+x2＝(
1
2
)2+12，解得：x=
1
2
，则答
案求出；
（2）连接OC，设OB=y，BE=EF=x，同（1）可得，OE2+EF2=OF2，OB2+BC2=OC2，得出x2+
（x+y）2=y2+12，即x（x+y）=1
2
，则结论可得证；
（3）连接OD，设OA=a，BE=EF=b，则OB=1-a，则OE=1-a+b，可得出12+a2=（1-a+b）
2+b2，得出a=b，则OA=EF，证明Rt△AOD≌Rt△EFO（HL），则得出∠FOE=∠ODA，结论得出．
【详解】
解：（1）连接OC
∵四边形ABCD和四边形BEFG为正方形，
∴AB=BC=1，BE=EF，∠OEF=∠ABC=90°，
∵点O为AB中点，
∴OB=1
2AB=
1
2
，
设BE=EF=x，则OE=x+1
2
，
在Rt△OEF中，∵OE2+EF2=OF2，
∴(x+1
2
)2+x2＝OF2，
在Rt△OBC中，∵OB2+BC2=OC2，
∴(1
2
)2+12=OC2，
∵OC，OF为⊙O的半径，
∴OC=OF，
∴(x+1
2)2+x2＝(
1
2
)2+12，
解得：x=1
2
，
∴正方形BEFG的边长为1
2
；（2）证明：如图2，连接OC，
设OB=y，BE=EF=x，
同（1）可得，OE2+EF2=OF2，OB2+BC2=OC2，∴OF2=x2+（x+y）2，OC2=y2+12
∵OC，OF为⊙O的半径，
∴OC=OF，
∴x2+（x+y）2=y2+12，
∴2x2+2xy=1，
∴x2+xy=1
2
，
即x（x+y）=1
2
，
∴EF×OE=1
2
，
∴以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，这个定值为1
2
．（3）证明：连接OD，设OA=a，BE=EF=b，则OB=1-a，则OE=1-a+b，
∵∠DAO=∠OEF=90°，
∴DA2+OA2=OD2，OE2+EF2=OF2，
∴12+a2=OD2，（1-a+b）2+b2=OF2，
∵OD=OF，
∴12+a2=（1-a+b）2+b2，
∴（b+1）（a-b）=0，
∵b+1≠0，
∴a-b=0，
∴a=b，
∴OA=EF，
在Rt△AOD和Rt△EFO中，
OD OF OA EF ⎧⎨⎩
＝＝， ∴Rt △AOD ≌Rt △EFO （HL ），
∴∠FOE=∠ODA ，
∵∠DAO=90°，
∴∠ODA+∠AOD=90°，
∴∠FOE+∠AOD=90°，
∴∠DOF=90°，
∴DO ⊥FO ．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的面积等知识，熟练运用方程的思想是解题的关键．
22．在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点分别为()5,2A -，()1,2B -，()4,5C -．
（1）画出ABC 关于原点成中心对称的图形111A B C △，并写出点1B 的坐标； （2）将ABC 绕点B 顺时针旋转90°，求旋转过程中点A 走过的路径长．
解析：（1）见解析，点1B 的坐标为()1,2-；（2）2π
【分析】
（1）根据中心对称的定义即可求解；
（2）根据弧长公式即可求解．
【详解】
解：（1）111A B C △如图所示
点1B 的坐标为()1,2-
（2）∵()5,2A -，()1,2B -
∴4AB =
∴ABC 绕点B 顺时针旋转90°过程中，
点A 走过的路径长为：9042180
ππ⨯⨯=． 【点睛】 本题考查中心对称的定义、弧长公式，掌握以上基本概念是解题的关键．
23．如图，已知在△ABC 中，∠A ＝90°．
（1）作∠ABC 的角平分线交AC 于点P ，以点P 为圆心，PA 长为半径作⊙P ，则⊙P 与BC 的位置关系是 ．
（2）在（1）的条件下，若AB=3，BC=5，求⊙P 的面积．
解析：（1）相切；（2）
94
π 【分析】 （1）先利用角平分线的性质得到点P 到BC 的距离等于PA ，然后根据直线与圆的位置关系进行判断．
（2）由全等三角形的性质，先求出CD=2，由勾股定理求出AC=4，再利用勾股定理求出
PD 的长度即可．
【详解】
解：（1）作PD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图：
∵PB 平分∠ABC ，
∴点P 到BC 的距离等于PA ，
∴PA=PD ，
∴BC 为⊙P 的切线．
故答案为：相切．
（2）由（1）可知，易得△ABP ≌△DBP ，
∴BD=AB=3，
∴CD=5-3=2，
∵在直角△ABC 中，由勾股定理，得 22534AC =-=，
设PA PD r ==，
∴4PC r =-，
在直角△PDC 中，由勾股定理，则
()22242r r -=+，
解得：32
r =， ∴圆的面积为：223924
S r πππ=
=•=()． 【点睛】 本题考查了圆的定义，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
24．如图，四边形ABCD 内接于O ，AB AC =，BD AC ⊥，垂足为E ．
（1）若40BAC ∠=︒，求ADC ∠的度数；
（2）求证：2BAC DAC ∠=∠．
解析：（1）110ADC ∠=︒；（2）证明见解析
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】
（1）解：AB AC =，40BAC ∠=︒，
70ABC ACB ∴∠=∠=︒，
四边形ABCD 是O 的内接四边形，
180110ADC BAC ∴∠=︒-∠=︒，
（2）证明：
BD AC ⊥，
90AEB BEC ∴∠=∠=︒，
90ACB CBD ∴∠=︒-∠，
AB AC =， 90ABC ACB CBD ∴∠=∠=︒-∠，
18022BAC ABC CBD ∴∠=︒-∠=∠，
DAC CBD ∠=∠，
2BAC DAC ∠=∠∴；
【点睛】
本题考查了圆内接四边形，等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
25．如图，在ABC 中，45C ∠=︒，以AB 为直径的O 经过BC 的中点D ． （1）求证：AC 是O 的切线；
（2）取AD 的中点E ，连接OE ，延长OE 交AC 于点F ，若2EF =，求O 的半径．
解析：（1）见解析；（222+
【分析】
（1）连接AD ，先由圆周角定理得∠ADB ＝90°，则AD ⊥BC ，再由线段垂直平分线的性质得AB ＝AC ，则∠B ＝∠C ＝45°，求得∠BAC ＝90°，即可得出结论；
（2）作EH ⊥OF 交AF 于H ，则EH 是⊙O 的切线，先由垂径定理得OE ⊥AD ，AG ＝DG ，再证出△EFH 是等腰直角三角形，得EH ＝EF 2，则FH 2EF ＝2，然后由切线长定理得AH ＝EH 2AF ＝AH ＋FH 2＋2，最后由等腰直角三角形的性质得OA ＝AF 2＋2即可．
（1）证明：连接AD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，OA是⊙O的半径，
∴AD⊥BC，
∵D是BC的中点，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°−45°−45°＝90°，
∴AC⊥OA，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：作EH⊥OF交AF于H，如图所示：则EH是⊙O的切线，
∵E是AD的中点，
∴OE⊥AD，AG＝DG，
∵AD⊥BC，
∴OF∥BC，
∴∠EFH＝∠C＝45°，
∵EH⊥OF，
∴△EFH是等腰直角三角形，
∴EH＝EF2FH2EF＝2，
∵AC是⊙O的切线，
∴AH＝EH2
∴AF＝AH＋FH2＋2，
由（1）得：∠BAC＝90°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∴OA＝AF2＋2，
即⊙O2＋2．
本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与性质、垂径定理和圆周角定理是解题的关键．
26．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ．
（1）求证：AC 平分DAB ∠；
（2）若4CD =，8AD =，试求O 的半径． 解析：（1）证明见解析；（2）5．
【分析】
（1）连接OC ，根据切线的性质可得OC CD ⊥，再证//AD OC ，然后再根据平行线的性质和等腰三角形的性质说明12∠=∠即可；
（2）作OE AD ⊥于点E ，设O 的半径为x ，先证四边形OEDC 是矩形，进而求得OE 和AE ，然后根据勾股定理解答即可．
【详解】
（1）证明：如图1：连接OC ，
∵CD 是切线，
∴OC CD ⊥．
∵AD CD ⊥，
∴//AD OC ，
∴13∠=∠．
∵OA OC =，
∴23∠∠=，
∴12∠=∠，
∴AC 平分DAB ∠；
（2）解：如图2，作OE AD ⊥于点E ，
设O 的半径为x ．
∵AD CD ⊥，OE AD ⊥，
∴90OED EDC DCO ∠=∠=∠=︒，
∴四边形OEDC 是矩形，
∴4OE CD ==，8AE AD DE x =-=-，
∴()2
2248x x +-=， ∴228016x x x -+=，解得5x =，
∴O 的半径是5．
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及勾股定理等内容，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
27．如图，O 中，AB CD =，A C ∠=∠，AB 与CD 交于点P ．求证=DP BP ．
解析：见解析．
【分析】
根据已知条件和圆周角定理证明△APD ≌△CPB 即可得到DP=BP ．
【详解】
证明：∵AB CD =，
∴CD = AB ，
∴ CD- CA= AB - AC ，
∴ AD = BC.
又∵∠A=∠C ，∠APD=∠CPB ，
∴△APD ≌△CPB.
∴DP=BP .
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定以及圆心角定理：在同圆或等圆中圆心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在这几组相等关系中，只要有一组成立，则另外几组一定成立．
28．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E 是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC．
（1）求证：AC平分∠DAO；
（2）若∠DAO＝105°，∠E＝30°，
①求∠OCE的度数；
②若⊙O的半径为22，求线段EF的长．
．
解析：（1）见解析；（2）①45°，②232
【分析】
（1）由切线性质知OC⊥CD，结合AD⊥CD得AD∥OC，即可知∠DAC＝∠OCA＝∠OAC，从而得证；
（2）①由AD∥OC知∠EOC＝∠DAO＝105°，结合∠E＝30°可得结果；
②作OG⊥CE，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知CG＝FG＝OG，由OC＝22得出CG＝FG＝OG＝2，在Rt△OGE中，由∠E＝30°可得GE＝23，由此计算即可．
【详解】
（1）证明：∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC．
∴∠DAC＝∠OCA．
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC．
∴∠OAC＝∠DAC．
∴AC平分∠DAO．
（2）①∵AD∥OC，
∴∠EOC＝∠DAO＝105°．
∵∠E＝30°，
∴∠OCE＝180°－∠EOC－∠E ＝45°．
②作OG⊥CE于点G，
∵OC＝
∠OCE＝45°，
∴CG＝OG＝2．
∴FG＝2．
在Rt△OGE中，∠E＝30°，
∴GE
＝
∴EF＝GE−FG＝2 ．
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理等知识，熟练掌握切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理是解题的关键．。