吉林省吉林市2015届高三上学期第一次摸底数学考试(文科)

吉林省吉林市2015届高三上学期第一次摸底数学考试（文科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．（5分）计算：i（i+1）=（）A．i+1 B．i﹣1 C．﹣i+1 D．﹣i﹣12．（5分）若A={x|x≤1}，B={x|x≥﹣1}，则正确的是（）A．A⊆B B．A∩B=∅C．（∁R A）∩B=B D．（∁R A）∪B=B3．（5分）已知条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣34．（5分）某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A．3B．4C．5D．65．（5分）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．6．（5分）将函数f（x）=2sin（+）的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．g（x）=2sin（+）﹣1 B．g（x）=2sin（﹣）+1C．g（x）=2sin（﹣）+1 D．g（x）=2sin（﹣）﹣17．（5分）已知曲线y=在点P（1，4）处的切线与直线l平行且距离为，则直线l的方程为（）A．4x﹣y+9=0或4x﹣y+25=0 B．4x﹣y+9=0C．4x+y+9=0或4x+y﹣25=0 D．以上都不对8．（5分）已知，则的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．29．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若前17项和为S17=34，则a12的值为（）A．8B．6C．4D．210．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M在AB边上，且AM=AB，则等于（）A．﹣1 B．1C．﹣D．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．412．（5分）一个函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“三角保型函数”，给出下列函数：①f（x）=；②f（x）=x2；③f（x）=2x；④f（x）=lgx，其中是“三角保型函数”的是（）A．①②B．①③C．②③④D．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y的最大值为．14．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是．15．（5分）已知正项等比数列{a n}的公比q=2，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为．16．（5分）若动直线x=a与函数f（x）=sinxcosx和g（x）=cos2x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n}是公差大于零的等差数列，数列{b n}为等比数列，且a1=1，b1=2，b2﹣a2=1，a3+b3=13（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式（Ⅱ）设c n=a n b n+1，求数列{}前n项和T n．18．（12分）已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，3bcosA=ccosA+acosC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为2，a=3，求b，c的长．19．（12分）在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．20．（12分）如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．（1）求证：MN∥平面CDEF；（2）求多面体A﹣CDEF的体积．21．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足•=，若存在求m值，若不存在说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）对任意a≤﹣3，使得f（1）是函数f（x）的区间[1，b]（b＞1）上的最大值，求实数b 的取值范围．吉林省吉林市2015届高三上学期第一次摸底数学考试（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．（5分）计算：i（i+1）=（）A．i+1 B．i﹣1 C．﹣i+1 D．﹣i﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简求值．解答：解：i（i+1）=﹣1+i．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）若A={x|x≤1}，B={x|x≥﹣1}，则正确的是（）A．A⊆B B．A∩B=∅C．（∁R A）∩B=B D．（∁R A）∪B=B考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用补集、并集的运算即可得出．解答：解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥﹣1}，∴∁R A={x|x＞1}，∴∁R A∪B=B．故选：D．点评：本题考查了集合的运算性质，属于基础题．3．（5分）已知条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：综合题；简易逻辑．分析：把充分性问题，转化为集合的关系求解．解答：解：∵条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件∴集合q是集合p的真子集，q⊊P即a≥1故选：A点评：本题考察了简易逻辑，知识融合较好．4．（5分）某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A．3B．4C．5D．6考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当S=1时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=2，k=2；当S=2时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=22，k=3；当S=22时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=24，k=4；当S=24时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=216，k=5；当S=216时，不满足进入循环的条件，故输出结果为：5，故选：C点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5．（5分）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：压轴题；图表型．分析：解法1：结合选项，正方体的体积否定A，推出正确选项C即可．解法2：对四个选项A求出体积判断正误；B求出体积判断正误；C求出几何体的体积判断正误；同理判断D的正误即可．解答：解：解法1：由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C．解法2：当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是．故选C．点评：本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，依据数据计算能力；注意三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．6．（5分）将函数f（x）=2sin（+）的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．g（x）=2sin（+）﹣1 B．g（x）=2sin（﹣）+1C．g（x）=2sin（﹣）+1 D．g（x）=2sin（﹣）﹣1考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据平移变换的法则﹣﹣“左加右减，上加下减”，我们先求出将函数y=2sin（+）的图象先向左平移个单位的图象对应的函数的解析式，再求出再向下平移1个单位后得到图象的解析式即可得到答案．解答：解：函数y=2sin（+）的图象先向左平移个单位，可以得到函数y=2sin[（x+）+]=2sin（+）的图象再向下平移1个单位后可以得到y=2sin（+）﹣1的图象故选：A．点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中熟练掌握函数图象的平移变换的法则﹣﹣“左加右减，上加下减”，是解答此类问题的关键．7．（5分）已知曲线y=在点P（1，4）处的切线与直线l平行且距离为，则直线l的方程为（）A．4x﹣y+9=0或4x﹣y+25=0 B．4x﹣y+9=0C．4x+y+9=0或4x+y﹣25=0 D．以上都不对考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先求出曲线y=在点P（1，4）处的切线方程，再求出与直线l平行且距离为的直线l的方程．解答：解：因为曲线y=，所以y′=﹣，所以在点P（1，4）处的切线的斜率为﹣4，方程为4x+y﹣8=0，与直线l平行且距离为的直线方程为4x+y+c=0，则=，所以c=9或﹣25，因此直线的方程为4x+y+9=0或4x+y﹣25=0，故选C．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查直线方程，考查学生的计算能力，比较基础．8．（5分）已知，则的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．2考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．专题：计算题．分析：欲求的值，可分别求f（﹣）和f（）的值，前者利用分段函数的第一个式子求解，后者利用第二个式子后转化为第一个式子求解．解答：解：∵f（﹣）=cos（﹣π）=﹣cosπ=﹣．又∵f（）=f（）+1=f（﹣）+2=cos（﹣π）+2=﹣cosπ+2=﹣+2．∴则的值为1．故选C．点评：根据题意，利用函数的解析式，求得分段函数的函数值，本题是利用解析式解决求值的问题，属于基础题．9．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若前17项和为S17=34，则a12的值为（）A．8B．6C．4D．2考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由等差数列{a n}的前17项和为S17=34可得=34再结合a9为a1，a17的等差中项可求出a9，再根据a9和a12的关系即可得解．解答：解：∵等差数列{a n}的前17项和为S17=34∴=34∴a1+a17=4∵a1+a17=2a9∴a9=2，，等差数列{a n}的前17项和为S17=34∴a12=a9+（12﹣9）×2∴a12=8故答案选A点评：本题主要考查了利用n项和公式求数列中的项．求解本题的关键是根据等差数列{a n}的前17项和为S17=34得出a9=2然后再利用a9和a12的关系即可求解．10．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M在AB边上，且AM=AB，则等于（）A．﹣1 B．1C．﹣D．考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由题意可得，，代入=（）•（）=，整理可求解答：解：∵AM=AB，AB=2，AD=1，∠A=60°，∴∴=（）•（）===1+×4=1故选B点评：本题主要考查了向量得数量积的基本运算、向量的加法的应用，属于向量知识的简单应用．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．4考点：双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．解答：解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，由双曲线的性质，可得b=1；则c=，则焦距为2c=2；故选B．点评：本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．12．（5分）一个函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“三角保型函数”，给出下列函数：①f（x）=；②f（x）=x2；③f（x）=2x；④f（x）=lgx，其中是“三角保型函数”的是（）A．①②B．①③C．②③④D．③④考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用“保三角形函数”的概念，对所给的四个函数一一验证，能求出结果．解答：解：任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，对于①，f（x）=，由a+b＞c，可得a+2+b＞c，两边开方得+＞，因此函数f（x）=是“保三角形函数”．对于②，f（x）=x2，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但32+32＜52，不存在三角形以32，32，52为三边长，故f（x）=x2不是“保三角形函数”．对于③，f（x）=2x，由于f（a）+f（b）=2（a+b）＞2c=f（c），所以f（x）=2x是“保三角形函数”．对于④，f（x）=lgx，1，2，2可以作为一个三角形的三边长，但lg1=0，不能作三角形边长，故f（x）=lgx不是“保三角形函数”．故选：B．点评：本题考查“保三角形函数”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y的最大值为6．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．解答：6解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，2），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=6．即目标函数z=2x+y的最大值为6．故答案为：6．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是①③．考点：平面的基本性质及推论．专题：计算题．分析：直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥m，当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，当l∥m有α⊥β，当l⊥m有α∥β或α∩β，得到结论解答：解：直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥m，故①正确当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，故②不正确当l∥m有α⊥β，故③正确，当l⊥m有α∥β或α∩β，故④不正确，综上可知①③正确，故答案为：①③点评：本题考查平面的基本性质即推论，本题解题的关键是看出在所给的条件下，不要漏掉其中的某一种位置关系，本题是一个基础题．15．（5分）已知正项等比数列{a n}的公比q=2，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为．考点：基本不等式；等比数列的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：正项等比数列{a n}的公比q=2，由于存在两项a m，a n，使得=4a1，可得=4a1，化为m+n=6．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答：解：正项等比数列{a n}的公比q=2，∵存在两项a m，a n，使得=4a1，∴=4a1，∵a1≠0，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6．则+=（m+n）（）==，当且仅当n=2m=4时取等号．∴+的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．16．（5分）若动直线x=a与函数f（x）=sinxcosx和g（x）=cos2x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为．考点：二倍角的余弦；二倍角的正弦；三角函数的最值．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先化简f（x）、g（x），然后根据动直线x=a与函数f（x）=sinxcosx和函数g（x）=cos2x的图象分别交于A，B两点，可得|AB|=|f（x）﹣g（x）|，将两个函数的解析式代入化简为正弦型函数，再由正弦型函数的性质即可得到结论．解答：解：f（x）=sinxcosx=sin2x，g（x）=cos2x=cos2x，所以|AB|=|f（x）﹣g（x）|=|sin2x﹣（cos2x）|=|sin（2x﹣）﹣|则sin（2x﹣）=﹣1时，|AB|的最大值为：．故答案为：点评：本题主要考查了三角函数的二倍角公式，正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n}是公差大于零的等差数列，数列{b n}为等比数列，且a1=1，b1=2，b2﹣a2=1，a3+b3=13（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式（Ⅱ）设c n=a n b n+1，求数列{}前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知得：，由此能求出数列{a n}和{b n}的通项公式．（Ⅱ）利用裂项求和法能求出数列{}前n项和T n．解答：（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d＞0），数列{b n}的公比为q由已知得：，解得：（3分）因为d＞0，所以d=2，q=2，∴即．（6分）（Ⅱ）=．（10分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．（12分）已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，3bcosA=ccosA+acosC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为2，a=3，求b，c的长．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，由sinB不为0求出cosA的值即可；（Ⅱ）由cosA的值求出sinA的值，利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinA的值代入求出bc=6，再利用余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入，利用完全平方公式变形，把bc的值代入求出b+c=5，联立求出b与c的值即可．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理化简3bcosA=ccosA+acosC化简得：3sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC，整理得：3sinBcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosA=；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴S△ABC=bcsinA=bc=2，即bc=6①，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，即9=（b+c）2﹣2bc﹣bc，把bc=6代入得：b+c=5②，联立①②，解得：b=2，c=3或b=3，c=2．点评：此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．19．（12分）在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．考点：众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生人数，结合样本容量=频数÷频率得出该考场考生人数，再利用频率和为1求出等级为A的频率，从而得到该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数．（Ⅱ）利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分．（Ⅲ）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为A的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的概率．解答：解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：×[1×（40×0.2）+2×（40×0.1）+3×（40×0.375）+4×（40×0.25）+5×（40×0.075）]=2.9；（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P（B）=．点评：本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．20．（12分）如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．（1）求证：MN∥平面CDEF；（2）求多面体A﹣CDEF的体积．考点：直线与平面平行的判定；由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：（1）通过三视图说明几何体的特征，证明MN平行平面CDEF内的直线BC，即可证明MN∥平面CDEF；（2）说明四边形CDEF是矩形，AH⊥平面CDEF，然后就是求多面体A﹣CDEF的体积．解答：解：（1）证明：由多面体AEDBFC的三视图知，三棱柱AED﹣BFC中，底面DAE 是等腰直角三角形，DA=AE=2，DA⊥平面ABEF，侧面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形．连接EB，则M是EB的中点，在△EBC中，MN∥EC，且EC⊂平面CDEF，MN⊄平面CDEF，∴MN∥平面CDEF．（2）因为DA⊥平面ABEF，EF⊂平面ABEF，∴EF⊥AD，又EF⊥AE，所以，EF⊥平面ADE，∴四边形CDEF是矩形，且侧面CDEF⊥平面DAE取DE的中点H，∵DA⊥AE，DA=AE=2，∴，且AH⊥平面CDEF．所以多面体A﹣CDEF的体积．点评：本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，几何体的体积的求法，考查计算能力．21．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足•=，若存在求m值，若不存在说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出且，由此能求出椭圆E的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由•=得，x1x2+y1y2=，联立方程组利用根与系数的关系求解即可得出m的值．解答：解（Ⅰ）由题意：且，又c2=a2﹣b2解得：a2=4，b2=1，即：椭圆E的方程为（1）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）（*）所以=由，得又方程（*）要有两个不等实根，所以m=±2．点评：本题主要考查椭圆方程及性质的应用，考查学生直线与椭圆位置关系的判断及运算求解能力，注意运用根与系数的关系简化运算，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）对任意a≤﹣3，使得f（1）是函数f（x）的区间[1，b]（b＞1）上的最大值，求实数b 的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数，利用导数大于0，求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）无论，还是，只需f（1）≥f（b）就能使得f（1）是函数f（x）在区间[1，b]（b＞1）上的最大值，即可求实数b的取值范围．解答：解：（Ⅰ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当a=0，f'（x）≥0，函数递增区间是（﹣∞，+∞）当a＞0，递增区间是当a＜0，递增区间是﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）因为a≤﹣3，所以所以无论，还是，只需f（1）≥f（b）就能使得f（1）是函数f（x）在区间[1，b]（b＞1）上的最大值，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）化简得b3+ab2﹣a﹣1≤0令g（a）=（b2﹣1）a+b3﹣1，∵b＞1，∴g（﹣3）=﹣3（b2﹣1）+b3﹣1≤0所以b的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．。