怀仁县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

怀仁县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知向量=（﹣1，3），=（x ，2），且，则x=（
）A ．
B ．
C ．
D ．
2． 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（
）
A ．
B ．（4+π）
C ．
D ．
3． 设f （x ）＝（e －x －e x ）（－），则不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为（
）
12x ＋112
A ．（0，＋∞）
B ．（－∞，－）
12
C ．（－，＋∞）
D ．（－，0）
1212
4． 若函数y=f （x ）是y=3x 的反函数，则f （3）的值是（ ）A ．0
B ．1
C ．
D ．3
5． 求值：
=（
）
A ．tan 38°
B ．
C ．
D ．﹣
6． 在如图5×5的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为（ ）
120.51
x
y
z
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
　7． 双曲线上一点P 到左焦点的距离为5，则点P 到右焦点的距离为（ ）
A ．13
B ．15
C ．12
D ．11
8． 已知角的终边经过点，则的值为（ ）
α(sin15,cos15)-
2
cos α
A ．
B ．
C.
D ．0
12+123
4
9． 已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2，则x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=（ ）A ．x 3+2x 2
B ．x 3﹣2x 2
C ．﹣x 3+2x 2
D ．﹣x 3﹣2x 2
10．已知AC ⊥BC ，AC=BC ，D 满足=t
+（1﹣t ）
，若∠ACD=60°，则t 的值为（
）
A ．
B ．
﹣
C ．
﹣1D ．
11．已知集合，且使中元素和中的元素
{}{}
4
2
1,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+*
,,a N x A y B ∈∈∈B 31y x =+A 对应，则的值分别为（ ）
x ,a k A ． B ． C ． D ．2,33,43,52,512．若实数x ，y 满足不等式组则2x+4y 的最小值是（
）
A ．6
B ．﹣6
C ．4
D ．2
二、填空题
13．正六棱台的两底面边长分别为1cm ，2cm ，高是1cm ，它的侧面积为 ．
14．设函数
则
______；若
，
，则
的大小关
系是______．
15．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线AB 与CD 的位置关系是 ．
16．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合B={2，3}，则（∁U A ）∪B= ．
17．若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，则m的取值范围是 ．
18．函数f（x）=log（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间为 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）菜农为了蔬菜长势良好，定期将用国家规定的低毒杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，待蔬菜成熟时将采集上市销售，但蔬菜上仍存有少量的残留农药，食用时可用清水清洗干净，下表是用清水x（单位：千克）清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残存的农药y（单位：微克）的统计表：
x i12345
y i5753403010
（1）在下面的坐标系中，描出散点图，并判断变量x与y的相关性；
（2）若用解析式y＝cx2＋d作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程，求其解析式；（c，a精确到0.01）；附：设ωi＝x，有下列数据处理信息：＝11，＝38，
2iωy
（ωi－）（y i－）＝－811，（ωi－）2＝374，
ωyω
对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线方程y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为
（3）为了节约用水，且把每千克蔬菜上的残留农药洗净估计最多用多少千克水．（结果保留1位有效数字）
20．已知函数f （x ）=ax 2﹣2lnx ．
（Ⅰ）若f （x ）在x=e 处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）若x ∈（0，e]，求f （x ）的单调区间；（Ⅲ） 设a ＞
，g （x ）=﹣5+ln ，∃x 1，x 2∈（0，e]，使得|f （x 1）﹣g （x 2）|＜9成立，求a 的取值范围．
21．（本小题满分16分）
给出定义在()+∞,0上的两个函数2
()ln f x x a x =-,()g x x =-.
（1）若()f x 在1=x 处取最值．求的值；
（2）若函数2
()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减，求实数的取值范围；
（3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．
22．在直角坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为（2，0），半径为，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系．，直线l 的参数方程为：（t 为参数）．
（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）点P 的极坐标为（1，
），直线l 与圆C 相交于A ，B ，求|PA|+|PB|的值．
23．已知函数f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx（a＞1）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a=2，数列{a n}满足a n+1=f（a n）．
（1）若首项a1=10，证明数列{a n}为递增数列；
（2）若首项为正整数，且数列{a n}为递增数列，求首项a1的最小值．
24．已知命题p：x2﹣2x+a≥0在R上恒成立，命题q：若p或q为真，p且q 为假，求实数a的取值范围．
怀仁县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：∵，
∴3x+2=0，解得x=﹣．故选：C ．
【点评】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
2． 【答案】 D
【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，
∴几何体的体积是=
，
故选D ．
【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．　
3． 【答案】
【解析】选C.f （x ）的定义域为x ∈R ，由f （x ）＝（e －x －e x ）（－）得
12x ＋112
f （－x ）＝（e x －e －x ）（－）12－x
＋112
＝（e x －e －x ）（＋）
－12x ＋11
2
＝（e －x －e x ）（－）＝f （x ），
12x ＋112
∴f （x ）在R 上为偶函数，
∴不等式f （x ）＜f （1＋x ）等价于|x |＜|1＋x |，
即x 2＜1＋2x ＋x 2，∴x ＞－，
12
即不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为{x |x ＞－}，故选C.
12
4．【答案】B
【解析】解：∵指数函数的反函数是对数函数，
∴函数y=3x的反函数为y=f（x）=log3x，
所以f（9）=log33=1．
故选：B．
【点评】本题给出f（x）是函数y=3x（x∈R）的反函数，求f（3）的值，着重考查了反函数的定义及其性质，属于基础题．
5．【答案】C
【解析】解：=tan（49°+11°）=tan60°=，
故选：C．
【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
6．【答案】A
【解析】解：因为每一纵列成等比数列，
所以第一列的第3，4，5个数分别是，，．
第三列的第3，4，5个数分别是，，．
又因为每一横行成等差数列，第四行的第1、3个数分别为，，
所以y=，
第5行的第1、3个数分别为，．
所以z=．
所以x+y+z=++=1．
故选：A．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力．
7．【答案】A
【解析】解：设点P到双曲线的右焦点的距离是x，
∵双曲线上一点P到左焦点的距离为5，
∵x＞0，∴x=13
故选A．
8．【答案】B
【解析】
考点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义.
9．【答案】A
【解析】解：设x＜0时，则﹣x＞0，
因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2，
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），
所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，故选A．
10．【答案】A
【解析】解：如图，根据题意知，D在线段AB上，过D作DE⊥AC，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F；
若设AC=BC=a，则由得，CE=ta，CF=（1﹣t）a；
根据题意，∠ACD=60°，∠DCF=30°；
∴；
即；
解得．
【点评】考查当满足
时，便说明D ，A ，B 三点共线，以及向量加法的平行四边形法则
，平面向量基本定理，余弦函数的定义．　
11．【答案】D 【解析】
试题分析：分析题意可知：对应法则为，则应有（1）或（2），
31y x =+42331331a a a k ⎧=⨯+⎪⎨+=⋅+⎪⎩4231
3331a k a a ⎧=⋅+⎪⎨+=⨯+⎪⎩由于，所以（1）式无解，解（2）式得：。

故选D 。

*
a N ∈25a k =⎧⎨=⎩
考点：映射。

12．【答案】B
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=2x+4y 得y=
﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=
﹣x+经过点C 时，
直线y=﹣x+
的截距最小，此时z 最小，
由
，解得
，
即C （3，﹣3），
此时z=2x+4y=2×3+4×（﹣3）=6﹣12=﹣6．故选：
B
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．　
二、填空题
13．【答案】　cm2　．
【解析】解：如图所示，是正六棱台的一部分，
侧面ABB1A1为等腰梯形，OO1为高且OO1=1cm，AB=1cm，A1B1=2cm．
取AB和A1B1的中点C，C1，连接OC，CC1，O1C1，
则C1C为正六棱台的斜高，且四边形OO1C1C为直角梯形．
根据正六棱台的性质得OC=，O1C1==，
∴CC1==．
又知上、下底面周长分别为c=6AB=6cm，c′=6A1B1=12cm．
∴正六棱台的侧面积：
S=．
=
=（cm2）．
故答案为：cm2．
【点评】本题考查正六棱台的侧面积的求法，是中档，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　
14．【答案】，
【解析】【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数
【试题解析】
，因为，所以
又若，结合图像知：
所以：。

故答案为：，
15．【答案】　异面　．
【解析】解：把展开图还原原正方体如图，
在原正方体中直线AB与CD的位置关系是异面．
故答案为：异面．
16．【答案】　{2，3，4}　．
【解析】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，
∴C U A={3，4}，
又B={2，3}，
∴（C U A）∪B={2，3，4}，
故答案为：{2，3，4}
17．【答案】　m＞1　．
【解析】解：若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，
则命题“∀x∈R，x2﹣2x+m＞0”是真命题，
即判别式△=4﹣4m＜0，
解得m＞1，
故答案为：m＞1
18．【答案】　（﹣∞，﹣1）　．
【解析】解：函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}
令t=x2﹣2x﹣3，则y=
因为y=在（0，+∞）单调递减
t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增
由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1）
故答案为：（﹣∞，﹣1）
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）
根据散点图可知，x与y是负相关．
（2）根据提供的数据，先求数据（ω1，y1），（ω2，y2），（ω3，y3），（ω4，y4），（ω5，y5）的回归直线方程，y＝cω＋d，
＝≈－2.17，
－811374＝y －ω＝38－（－2.17）×11＝61.87.a ^ c ^ ∴数据（ωi ，y i ）（i ＝1，2，3，4，5）的回归直线方程为y ＝－2.17ω＋61.87，
又ωi ＝x ，2
i ∴y 关于x 的回归方程为y ＝－2.17x 2＋61.87.
（3）当y ＝0时，x ＝＝≈5.3.估计最多用5.3千克水．61.872.176********．【答案】
【解析】解：（Ⅰ） f ′（x ）=2ax ﹣=
由已知f ′（e ）=2ae ﹣=0，解得a=．经检验，a=
符合题意．
（Ⅱ）
1）当a ≤0时，f ′（x ）＜0，∴f （x ）在（0，e]上是减函数．2）当a ＞0时，
①若
＜e ，即，则f （x ）在（0，）上是减函数，在（，e]上是增函数；②若≥e ，即0＜a ≤，则f （x ）在[0，e]上是减函数．综上所述，当a ≤
时，f （x ）的减区间是（0，e]，当a ＞
时，f （x ）的减区间是，增区间是．（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知f （x ）的最小值是f （
）=1+lna ；易知g （x ）在（0，e]上的最大值是g （e ）=﹣4﹣lna ；
注意到（1+lna ）﹣（﹣4﹣lna ）=5+2lna ＞0，
故由题设知，
解得＜a ＜e 2．
故a 的取值范围是（
，e 2）　
21．【答案】（1） 2a = （2） a ≥2（3）两个零点．
【解析】
试题分析：（1） 开区间的最值在极值点取得，因此()f x 在1=x 处取极值，即(1)0f =′
，解得2a = ，需验证（2） ()h x 在区间(]0,1上单调递减，转化为()0h x ′
≤在区间(]0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应函数最值：241
x a x +≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得()2
41x F x x =+最大值2（3）先利用导数研究函数()x m 单调性：当()1,0∈x 时，递减，当()+∞∈,1x 时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：()10m <， 4)0m e ->（ ， 4()0m e >，结合零点存在定理可得零点个数
试题解析：（1） ()2a f x x x
=-′
由已知，(1)0f =′即: 20a -=,解得：2a = 经检验 2a = 满足题意所以 2a = (4)
分
因为(]0,1x ∈，所以[)11,x ∈+∞，所以2min
112x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()max 2F x =，所以a ≥2 ……………………………………10分
（3）函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．因为(
)22ln 6
m x x x x =--+
所以()221m x x
x =--==′ ………12分当()1,0∈x 时，()'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0>'x m 所以()()min 140m x m ==-<，
……………………………………14分324
1-e)(1+e+2e )(=0e m e -<（） ，8424812(21))0e e e m e e -++-=>（ 4442()1)2(7)0m e e e e =-+->（ 故由零点存在定理可知：
函数()x m 在4(,1)e - 存在一个零点，函数()x m 在4(1,)e 存在一个零点，
所以函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．
……………………………………16分考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性
【思路点睛】
对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
22．【答案】
【解析】解：（1）圆C 的直角坐标方程为（x ﹣2）2+y 2=2，
代入圆C 得：（ρcos θ﹣2）2+ρ2sin 2θ=2化简得圆C 的极坐标方程：ρ2﹣4ρcos θ+2=0…
由
得x+y=1，∴l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1…（2）由得点P 的直角坐标为P （0，1），∴直线l 的参数的标准方程可写成…
代入圆C 得：
化简得：
，∴
，∴t 1＜0，t 2＜0…∴
…
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵，
∴（x＞0），
当a=2时，则在（0，+∞）上恒成立，
当1＜a＜2时，若x∈（a﹣1，1），则f′（x）＜0，若x∈（0，a﹣1）或x∈（1，+∞），则f′（x）＞0，
当a＞2时，若x∈（1，a﹣1），则f′（x）＜0，若x∈（0，1）或x∈（a﹣1，+∞），则f′（x）＞0，
综上所述：当1＜a＜2时，函数f（x）在区间（a﹣1，1）上单调递减，
在区间（0，a﹣1）和（1，+∞）上单调递增；
当a=2时，函数（0，+∞）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞2时，函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（0，1）和（a﹣1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）若a=2，则，由（Ⅰ）知函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
（1）因为a1=10，所以a2=f（a1）=f（10）=30+ln10，可知a2＞a1＞0，
假设0＜a k＜a k+1（k≥1），因为函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
∴f（a k+1）＞f（a k），即得a k+2＞a k+1＞0，
由数学归纳法原理知，a n+1＞a n对于一切正整数n都成立，
∴数列{a n}为递增数列．
（2）由（1）知：当且仅当0＜a1＜a2，数列{a n}为递增数列，
∴f（a1）＞a1，即（a1为正整数），
设（x≥1），则，
∴函数g（x）在区间上递增，
由于，g（6）=ln6＞0，又a1为正整数，
∴首项a1的最小值为6．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，同时考查函数的零点存在定理和数学归纳法的运用，考查运算能力，属于中档题．
选做题：本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题计分．【选修4-2：矩阵与变换】
24．【答案】
【解析】解：若P是真命题．则△=4﹣4a≤0∴a≥1；…（3分）
若q为真命题，则方程x2+2ax+2﹣a=0有实根，
∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即，a≥1或a≤﹣2，…（6分）
依题意得，当p真q假时，得a∈ϕ；…（8分）
当p假q真时，得a≤﹣2．…（10分）
综上所述：a的取值范围为a≤﹣2．…（12分）
【点评】本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系，解决此类问题应该先求出简单命题为真时参数的范围，属于基础题．。