阳信二模数学试卷高三

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 若函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象开口向上，且过点$(1,2)$，则$a$的取值范围是（）
A. $a > 0$
B. $a \geq 0$
C. $a < 0$
D. $a \leq 0$
2. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5 = 35$，$S_9 = 81$，则$a_6$的值为（）
A. 9
B. 12
C. 15
D. 18
3. 在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$x+y=1$的对称点为$B$，则$|AB|$的值为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4. 函数$f(x) = \ln x + x - 1$的单调递增区间是（）
A. $(-\infty, 0)$
B. $(0, +\infty)$
C. $(-\infty, 1)$
D. $(1, +\infty)$
5. 若复数$z$满足$|z+2i| = |z-1|$，则复数$z$在复平面上的轨迹是（）
A. 一条射线
B. 一条线段
C. 一个圆
D. 一个椭圆
6. 已知向量$\vec{a} = (1, -2)$，$\vec{b} = (2, 1)$，则$\vec{a} \cdot
\vec{b}$的值为（）
A. 0
B. 1
C. -1
D. -2
7. 在三角形ABC中，$\angle A = 90^\circ$，$\angle B = 30^\circ$，若$AB = 6$，则$BC$的长度为（）
A. 6
B. 12
C. 18
D. 24
8. 若函数$f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$的定义域为$(0, +\infty)$，则函数$f(x)$的值域为（）
A. $(0, +\infty)$
B. $[0, +\infty)$
C. $(0, 1]$
D. $[1, +\infty)$
9. 在等比数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 2$，$a_4 = 16$，则公比$q$的值为（）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
10. 若平面$\alpha$的法向量$\vec{n} = (1, 2, 3)$，点$P(1, -1, 2)$到平面$\alpha$的距离为（）
A. $\frac{4}{\sqrt{14}}$
B. $\frac{8}{\sqrt{14}}$
C. $\frac{12}{\sqrt{14}}$
D. $\frac{16}{\sqrt{14}}$
二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）
11. 函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$的极值点为________。

12. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1 = 3$，$S_5 = 55$，则$a_6 = ________$。

13. 直线$y = 2x + 1$与圆$x^2 + y^2 = 1$相交于点$A$、$B$，则$|AB|$的长度
为________。

14. 函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$的零点为________。

15. 在等比数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 3$，$a_3 = 9$，则公比$q = ________$。

三、解答题（本大题共5小题，共80分）
16. （本题共20分）已知函数$f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}$，求：
（1）$f(x)$的定义域；
（2）$f(x)$的值域；
（3）$f(x)$的单调区间。

17. （本题共20分）已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，$a_{n+1} = \sqrt{a_n + 2}$，求：
（1）数列$\{a_n\}$的通项公式；
（2）数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$。

18. （本题共20分）已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1 = 3$，$S_5 = 35$，$S_9 = 81$，求：
（1）数列$\{a_n\}$的公差$d$；
（2）数列$\{a_n\}$的通项公式。

19. （本题共20分）在直角坐标系中，已知点$A(2,3)$关于直线$x+y=1$的对称点为$B$，求：
（1）直线$AB$的方程；
（2）点$B$到直线$AB$的距离。

20. （本题共20分）已知函数$f(x) = \ln x + \sqrt{x}$，求：
（1）$f(x)$的导数$f'(x)$；
（2）$f(x)$的单调区间。