北京市2019年中考数学专题《整式》复习资料

整式
课标解读
知识要点
1.由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把连接而成的式子叫做代数式.单独的或者也是代数式.
2.由组成的代数式叫做单项式.单独的或者也是单项式.单项式的系数指的
是；单项式的次数指的是 .
3.多项式+b－ab是次项式.
4.把多项式－1－按照字母a的升幂排列是；按照字母b的降幂排列是 .
5.所含相同，并且的也分别相同的项，叫做同类项.常数项都是 .同类项无关.
6.a+b－c－d=a－( )；
a－b+c－d=a+( )=(a－b)－( )－(a－b)+(c－d)=( ).
·= (m，n都是正整数)；= (m，n都是正整数，a≠0，m＞n)；
= (m，n都是正整数)；= (n是正整数)；
= (a≠0)；= (a≠0，n是正整数).
8.平方差公式：(a+b)(a－b)= ；
完全平方公式：= .
典例诠释
考点一列代数式及解释代数式
例1 下列各题中，所列代数式错误的是( )
A.表示“比a与b的积的2倍小5的数”的代数式是2ab－5
B.表示“被5除商是a，余数是2的数”的代数式是5a+2
C.表示“a与b的平方差的倒数”的代数是
D.表示“数a的一半与数b的3倍的差”代数式是－3b
【答案】 C
【名师点评】列代数式除了要对表示数量关系的词语重点理解外，还应注意正确的书写格式，例如at
省略乘号；2a数字因式写在字母因式前面；2a写成a的形式；2÷(a－1)要写成的形式.
例2 正确叙述代数式(2a－b)所表达的实际意义为 .
【答案】略
【名师点评】在叙述实际意义时，除了应注意数量之间的关系外，还要注意所叙述的内容是否符合实际意义.
考点二整式的有关概念
例3 判断下列各说法是否正确，错误的改正过来：
(1)是单项式.
(2)不是单项式.
(3)多项式ab－abc是一次二项式.
(4)+x是二次三项式.
【答案】 (1)错 (2)错 (3)错 (4)对
例4 指出下列各单项式的系数和次数：，－，，a，.
【解】的系数是，次数是2；
－的系数是－，次数是3；
的系数是1，次数是3；
a的系数是1，次数是1；
的系数是，次数是7.
【名师点评】 a的次数是1而不是0，是一个分数，π是一个常数，,π都是数字因数，所以是单项式的系数.
例5 把多项式分别按a的降幂和b的升幂排列，并指出各种排列中的常数项. 【解】 (1)按a的降幂排列：.
(2)按b的升幂排列：.
【名师点评】为了避免按某个字母升降幂排列时出现错误，应做到：(1)要按某个字母的指数进行排列.(2)在变更项的位置时，一定要带着项的符号一起移动.一般情况下，多项式中各项的系数都为数字，但如果把它看成是关于某一字母的多项式，则每项中另外的字母可看成数字，称为字母系数.所以不要形成凡系数都是数字的看法.
考点三整式的运算
例6 (2019·东城一模)下列运算中，正确的是( )
A.x·
B.
C. D.
【答案】 C
例7 计算：++.
【答案】 5
【名师点评】负整数指数幂的计算，如底数是分数时，则将性质推广为==(p为正整数，a≠0)，
会给分数计算带来方便.如：，.
考点四乘法公式
例8 下列多项式的乘法，哪些可用平方差公式，哪些不能？
(1)(2m－3n)(3n－2m)；(2)(－5xy+4z)(－4y－5xz)；(3)(b+c－a)(a－b－c)；
(4)；(5)(x－y+z)(－x+y+z).
【答案】略
【名师点评】在应用乘法公式进行实际问题的计算时，多项式的系数、指数、符号、相对位置不一定符合公式的标准形式.(1)两个二项式的两项分别是2m，－3n和－2m，3n.两部分的符号都不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式.(2)这两个二项式的两项分别是－5xy，4z和－5xz，－4y，所含字母不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式.(3)b与－b，－a与a，c与－c，没有完全相同的项，
不能用平方差公式.(4)两个二项式中，完全相同，但－与－除去符号不同外，相同字母的指数不同，所以不能用平方差公式.(5)x与－x，－y与y，只有符号不同，z完全相同，所以可以用平方差公式.
例9 (2019·通州一模)已知m+n=3，m－n=2，那么的值是 .
【答案】 6
例10 (2019·东城一模)对式子－4a－1进行配方变形，正确的是( )
A.－3
B.
C.－1
D.－3
【答案】 D
例11 计算：.
【答案】－1
【名师点评】在式子前面添上(2－1)，便可反复运用平方差公式，以达到简化运算的目的.添加(2－1)
极富技巧性，这是一个典型解法，领会好本题将会在今后解决类似问题时受益.
考点五化简求值
例12 (2019·丰台二模)已知4x=3y，求代数式的值.
【解】原式－4xy=y(3y－4x).
∵ 4x=3y，∴ 3y－4x=0.∴ 原式=0.
例13 (2019·东城一模)已知－x－3=0，求代数式－x(2x+1)的值.
【解】+x+1.
∵ －x－3=0，∴ +x=－3.∴ 原式=－2.
【名师点评】化简求值问题，一般先化简，再求值；化简依据乘法公式和整式乘法法则，求值运用整体代入.
考点六因式分解
例14 下列式子从左到右变形是因式分解的是( )
A.+4a－21=a(a+4)－21
B.+4a－21=(a－3)(a+7)
C.+4a－21
D.－25
【答案】B
【名师点评】利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可.此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键.
例15 (2019·房山二模)分解因式：+y= .
【答案】
例16 (2019·朝阳二模)分解因式：－12= .
【答案】 3(a+2)(a－2)
【名师点评】因式分解是中考必考的知识点，多以填空的形式出现在试卷中.以上两题均采用先提取公因式,再运用乘法公式的方法进行因式分解.
基础精练
1.(2019·通州一模)下列各式运算的结果为的是( )
A. B. C.· D.
【答案】 C
2.(2019·西城二模)下列各式中计算正确的是( )
A.·
B.2m－(n+1)=2m－n+1
C. D.
【答案】 A
3.(2019·石景山二模)下列计算正确的是( )
A.·
B.
C. D.
【答案】 B
4.(2019·门头沟二模)在下列运算中，正确的是( )
A.·
B.
C. D.
【答案】 A
5.(2019·海淀二模)下列计算正确的是( )
A.·
B.
C.
D.2a+3a=6a 【答案】 C
6.(2019·大兴一模)把多项式分解因式，下列结果正确的是( )
A. B. C.x(x－y)(x+y) D.
【答案】 C
7.(2019·朝阳一模)分解因式：= .
【答案】
8.(2019·东城一模)分解因式：= .
【答案】 b(b+c)(b－c)
9.(2019·房山一模)分解因式：－a= .
【答案】 a(a+1)(a－1)
10.(2106·丰台一模)分解因式：－8x= .
【答案】 2x(x+2)(x－2)
11.(2019·海淀一模)分解因式：－2ab+b＝ .
【答案】
12.(2019·东城二模)分解因式：－4ax+2a= .
【答案】
13.(2019·门头沟一模)分解因式：－9a= .
【答案】 a(m+3)(m－3)
14.(2019·石景山一模)分解因式：= .
【答案】 a(m+2n)(m－2n)
15.(2019·顺义一模)分解因式：+3m= .
【答案】
16.(2019·石景山二模)分解因式：－8x+4= .
【答案】
17.(2019·海淀一模)计算：.
【答案】 4－
18.(2019·石景山一模)计算：－2sin 60°+.
【答案】 4
19.(2019·西城二模)计算：+|2－|+2sin 30°.
【答案】
20.(2019·东城一模)计算：tan 60°+.
【答案】－1
21.(2019·海淀二模)计算：+4cos 45°.
【答案】－5+3
22.(2019·西城一模)计算：2sin 45°+.
【答案】 11
23.(2019·西城一模)已知－a－3=0，求代数式－(a+b)(a－b)的值. 【答案】 6
24.(2019·朝阳一模)已知m－=1，求(2m+1)·(2m－1)+m(m－5)的值.
【答案】 4
25.(2019·顺义一模)已知+3x－12=0，求代数式x(3－2x)+(2x+3)(2x－3)的值.
【答案】 3
26.(2019·房山一模)已知－4a－7=0，求代数式的值. 【答案】 8
27.(2106·丰台一模)已知－2x－7=0，求+(x+3)(x－3)的值.
【答案】 9
28.(2019·海淀一模)已知+x－5=0，求代数式－x(x－3)+(x+2)(x－2)的值. 【答案】 2
29.(2019·怀柔一模)已知+3a+6=0，求代数式a(2a+3)－(a+1)(a－1)的值.
【答案】－5
30.(2019·燕山一模)已知－4x－1=0，求代数式－(x+1)(x－1)的值.
【答案】 13
31.(2019·石景山二模)已知+4x+1=0，求代数式－2x(x+1)+7的值.
【答案】 9
32.(2019·通州一模)已知－2a－1=0，求代数式的值. 【答案】 6
真题演练
1.(2019·上海)下列单项式中，与是同类项的是( )
A. B. C. D.3ab
【答案】 A
2.(2019·沈阳)下列计算正确的是( )
A. B.·
C. D.
【答案】 C
3.(2019·天津)计算的结果等于 .
【答案】
4.(2019·河北)计算正确的是( )
A.=0
B.
C.
D.·=2a 【答案】 D
5.(2019·北京)分解因式：－5x= .
【答案】
6.(2019·北京)分解因式：= .
【答案】
7.(2019·北京)已知+3a－6=0，求代数式3a(2a+1)－(2a+1)(2a－1)的值. 【解】原式+3a+1.
∵+3a－6=0，∴+3a=6，∴原式=7.
8.(2019·北京)已知x－y=，求代数式－2x+y(y－2x)的值.
【答案】 4
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元．如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A.100（1﹣x ）＝121 B.100（1+x ）＝121 C.100（1﹣x ）2
＝121
D.100（1+x ）2
＝121
2．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a ），下列结论：①a ﹣3b+2c ＞0；②3a ﹣2b ﹣c ＝0；③若方程a （x+5）（x ﹣1）＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1；④若方程|ax 2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林折叠矩形纸片ABCD 进行如下操作：①把△ABF 翻折，点B 落在CD 边上的点E 处，折痕AF 交BC 边于点F ；②把△ADH 翻折，点D 落在AE 边长的点G 处，折痕AH 交CD 边于点H ．若AD ＝6，AB ＝10，则
EH
EF
的值是( )
A ．
5
4
B ．43
C ．53
D ．
32
4．解分式方程13211x x
-=--，去分母得（ ） A.()1213x --=- B.1223x --=- C.()1213x --=
D.1223x -+=
5．如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF ⊥BD 垂足为F ．则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
6．如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AF与DE交与点G．则下列结论中：①AF⊥DE；
②AD＝BG；③GE+GF；④S△AGB＝2S四边形ECFG．其中正确的是（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7．一个整数8150…0用科学记数法表示为8.15×1010，则原数中“0”的个数为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
8．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C,分别以点A、C为圆心，以BC、AB的长为半径画弧，两弧交于点D,分别连接AD、CD,得到的四边形ABCD是平行四边形.根据上述作法，能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
9．一次函数图象经过A（1，1），B（﹣1，m）两点，且与直线y＝2x﹣3无交点，则下列与点B（﹣1，m）关于y轴对称的点是（）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，3）D．（1，﹣3）
10．如图，在平面直角坐标系中，过y轴正半轴上一点C作直线l，分别与
2
y
x
=-（x＜0）和3
y
x
=（x
＞0）的图象相交于点A、B，且C是AB的中点，则△ABO的面积是（）
A．3
2
B．
5
2
C．2 D．5
11．下列命题中，其中正确命题的个数为（）个．
①方差是衡量一组数据波动大小的统计量；②影响超市进货决策的主要统计量是众数；③折线统计图反映一组数据的变化趋势；④水中捞月是必然事件．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿纵或横方向到达点Q(至多拐一次弯)的路径长称为P ，Q 的“实际距离”．如图，若P(﹣1，1)，Q(2，3)，则P ，Q 的“实际距离”为5，即PS+SQ ＝5或PT+TQ ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A ，B ，C 三个小区的坐标分别为A(3，
1)，B(5，﹣3)，C(﹣1，﹣5)，若点M 表示单车停放点，且满足M 到A ，B ，C 的“实际距离”相等，则点M 的坐标为( )
A ．(1，﹣2)
B ．(2，﹣1)
C ．(12，﹣1)
D ．(3.0)
二、填空题 13．有一组单项式依次为﹣x 2，3456
,,,3579x x x x --，…，则第n 个单项式为_____．
14+1）0
＝_____．
15．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点E 为AD 中点，点P 为线段AB 上一个动点，连接EP ，将APE ∆沿PE 折叠得到FPE ∆，连接CE ，CF ，当ECF ∆为直角三角形时，AP 的长为_____．
16．如图，已知∠MON ＝30°，B 为OM 上一点，BA ⊥ON 于A ，四边形ABCD 为正方形，P 为射线BM 上一动点，连结CP ，将CP 绕点C 顺时针方向旋转90°得CE ，连结BE ，若AB ＝4，则BE 的最小值为_____．
17．4的平方根等于_____．
18．分解因式：x 3﹣49x ＝_____．
三、解答题
19．已知两个函数：y 1＝ax+4，y 2＝a （x ﹣
12
）（x ﹣4）（a≠0）． （1）求证：y 1的图象经过点M （0，4）；
（2）当a ＞0，﹣2≤x≤2时，若y ＝y 2﹣y 1的最大值为4，求a 的值；
（3）当a ＞0，x ＜2时，比较函数值y 1与y 2的大小．
20．先化简，再求值：222441,4x x x x x -+⎛⎫-÷= ⎪-⎝⎭
其中 21．某部门为了解工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了20名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：整理上面数据，得到条形统计图；样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中m 、n 的值分别为 ， ；
（2）为调动积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让60%左右的工人能获奖，应根据 来确定奖励标准比较合适（填“平均数”、“众数”或“中位数”）；
（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过21个的工人为生产能手若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数；
（4）现决定从小王、小张、小李、小刘中选两人参加业务能手比赛，直接写出恰好选中小张、小李两人的概率．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b 的图象与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，交反比例函数于C 、D 两点，DE ⊥x 轴于点E ，已知C 点的坐标是(6，-1)，DE=3．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式
(2)根据图象直接回答：当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．
(3)求△OAD 的面积S △OAD ．
23．计算：21
63()(-+⨯-
-．
24．计算：201(3.14)|14cos 452π-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭
． 25．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，点B ，点C 均落在格点上，P 为BC 与
网格线的交点，连接AP.
(Ⅰ)BC的长等于________；
(Ⅱ)Q为边BC上一点，请在如图所示的网格中，用无刻度
．．．的直尺，画出线段AQ，使
45 PAQ
∠=︒，并
简要说明点Q的位置是如何找到的(不要求证明)_______．
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．
n1
x (1)
2n1
n
+ -
-
14．0
15．1或9 4
16
17．±2
18．x（x+7）（x﹣7）.
三、解答题
19．（1）证明见解析；（2）
8
17
a=;(3)见解析.
【解析】
【分析】
（1）只需要把M的坐标带入到1y即可
（2）把1y,2y代入到等式化简取y最大值时，即可解答
（3）由（2）可知当a＞0，x＜2时，随x的增大而减小，然后再根二次函数的增减性可解此题【详解】
解：（1）证明：当x＝0时，y1＝0+4＝4，
∴点M （0，4）在y 1的图象上，
即y 1的图象经过点M （0，4）；
（2）∵y 1＝ax+4，y 2＝a （x ﹣
12 ）（x ﹣4）（a≠0）． ∴y ＝y 2﹣y 1＝a （x ﹣
12 ）（x ﹣4）﹣（ax+4）， 即y ＝211242
ax ax a -+- ， ∵a ＞0，对称轴为x ＝114
＞2， ∴当﹣2≤x≤2时，y 随x 的增大而减小，
∴当x ＝﹣2时，y 取最大值为4a+11a+2a ﹣4＝17a ﹣4，
∵y ＝y 2﹣y 1的最大值为4，
∴17a ﹣4＝4，
解得，a ＝817
； （3）由（2）知y ＝y 2﹣y 1＝211242
ax ax a -+-， 当a ＞0，x ＜2时，随x 的增大而减小，
当x ＝2时，y ＝y 2﹣y 1＝4a ﹣11a+2a ﹣4＝﹣5﹣4＜0，
又当y ＝0时，211242
ax ax a -+-＝0，即2ax 2﹣11ax+4a ﹣8＝0，
x ， ∵△＝121a 2﹣32a 2+64a ＝89a 2+64a ＞0，
∴1124a a
， 根据二次函数的增减性可得，
当x >2时，y 2﹣y 1＜0，即y 2＜y 1；
当x ＝1124a a
-时，y 2﹣y 1＝0，即y 2＝y 1；
当x ＜1124a a
-时，y 2﹣y 1＞0，即y 2＞y 1． 【点睛】
此题主要考察函数解析式的求解及常用方法，需要把已知的点，带入到函数解析式里面进行求解
20．2,1x x
+ 【解析】
【分析】
先计算括号内的减法，然后把分式的除法转换为乘法的形式，通过约分将分式化为最简形式后，再把x 的
值代入进行计算即可．
【详解】
解： 222441,4x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭ ()()()2222,2x x x x x +--=
⋅- 2.x x
+=
当x 时，
1
= 【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．（1）18，19；（2）中位数；（3）90（人）；（4）
16 【解析】
【分析】
（1）根据条形统计图中的数据，结合众数和中位数的概念可以得到m 、n 的值；
（2）根据题意可知应选择中位数比较合适；
（3）根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数．
（4）根据题意先画出树状图，得出所有等可能性的结果，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】
（1）由条形图知，数据18出现的次数最多，
所以众数m ＝18；
中位数是第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据都是19，
所以中位数n ＝19+192
＝19， 故答案为：18，19；
（2）由题意可得，如果想让60%左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适， 故答案为：中位数；
（3）若该部门有300名工人，估计该部门生产能手的人数为300×
2+420
＝90（人）； （4）将小王、小张、小李、小刘分别记为甲、乙、丙、丁，
画树状图如下：
∵共有12种等可能性的结果，恰好选中乙、丙两位同学的有2种， ∴恰好选中小张、小李两人的概率为21=126．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．(1)反比例函数的关系式为y=-6
x
，一次函数的关系式为y=-
1
2
x+2；(2)当x＜-2或0＜x＜6时，一
次函数的值大于反比例函数的值；(3)6.
【解析】
【分析】
（1）先由点C的坐标求出反比例函数的关系式，再由DE=3，求出点D的坐标，把点C，点D的坐标代入一次函数关系式求出k，b即可求一次函数的关系式．
（2）由图象可知：一次函数的值小于反比例函数的值；
（3）根据三角形面积公式即可求得．
【详解】
(1)设反比例函数为y=m
x
，
∵点C(6，-1)在反比例函数的图象上，∴m=6×(-1)=-6，
∴反比例函数的关系式为y=-6
x
，
∵点D在反比例函数y=-6
x
上，且DE=3，
∴y=3，代入求得：x=-2，
∴点D的坐标为(-2，3)．
∵C、D两点在直线y=kx+b上，
∴
6k b1 2k b3
+=-
⎧
⎨
-+=
⎩
，
解得：
1
k
2
b2
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴一次函数的关系式为y=-1
2
x+2．
(2)由图象可知：当x＜-2或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值．
(3)把y=0代入y=-1
2
x+2解得x=4，即A(4，0)
∴S△OAD=1
2
×4×3=6．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式. 23．
【解析】
直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质和二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：原式＝9(6-,
96=-
3=-【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
24．4
【解析】
【分析】
原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【详解】
解：原式14142=++-⨯
＝4．
【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．(Ⅰ)(Ⅱ)见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据网格特点，利用勾股定理即可求出BC 的长；（Ⅱ）如图，在网格上取格点M 、N ，连接MN ，交BC 于点Q ，连接AQ ，∠PAQ 即为所求.
【详解】
(Ⅰ=
故答案为：
(Ⅱ)如图，BC=∴AB 2+AC 2=BC 2,
∴∠B=∠C=45°.
∴若使∠PAQ=45°，只要△PAQ ∽△PCA ，此时有=AP PQ PC AP
,即2AP PC PQ =⨯ ,取格点D,E,F ，H 可知
△BDP ∽△CEP ，得15BP BD PC CF == ,则1156BP PC BC ===PC ==△BDP
∽△BEC,则16PD BP CE BC == ,且CE=4，得23DP = ,求的133AP === ,
则2169
9AP PQ PC === ,进而求得CQ PC PQ =-= ,所以32BQ CQ = .
作法：根据上述分析的比例关系，可以取格点M,N,使得BM ∥CN ，并且
32
BM CN = ,可找到满足条件的格点M,N,如下图，连接MN 交BC 于点Q ，连接AQ 即可.
【点睛】
本题考查网格的特点，熟练掌握网格的性质并灵活运用勾股定理是解题关键.
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角线平分对角
2．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，点E为线段AD上一点，且DE＝2AE，点G是线段AB上的动点，EF⊥EG交BC所在直线于点F，连接GF．则GF的最小值是（）
A.3
B.6
3．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
4．1
3
的倒数是（）
A.1
3
B.3
C.3
- D.
1
3
-
5．如果关于x的分式方程有整数解，且关于x的不等式组的解集为x＞4，那
么符合条件的所有整数a的值之和是（）
A.7
B.8
C.4
D.5
6．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列
结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤
2
3
AM MF
=．其中正确结论的
是（）
A ．①③④
B ．②④⑤
C ．①③⑤
D ．①③④⑤ 7．如图，P 是抛物线y ＝﹣x 2+x+3在第一象限的点，过点P 分别向x 轴和y 轴引垂线，垂足分别为A 、B ，
则四边形OAPB 周长的最大值为（ ）
A ．6
B ．7.5
C ．8
D ．8．一元二次方程24x x =的解为（ ）
A ．4x =
B ．10x =，24x =
C ．12x =，22x =-
D ．10x =，24x =-
9．一元二次方程﹣x 2+2x ＝﹣1的两个实数根为α，β，则α+β+α•β的值为（ ）
A ．1
B ．﹣3
C ．3
D ．﹣1
10．如图，在△ABC 中，BC ＞AB ＞AC ．甲、乙两人想在BC 上取一点P ，使得∠APC ＝2∠ABC ，其作法如下： （甲）作AB 的中垂线，交BC 于P 点，则P 即为所求；
（乙）以B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于P 点，则P 即为所求．
对于两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A ．两人皆正确
B ．两人皆错误
C ．甲正确，乙错误
D ．甲错误，乙正确
11．某村粮食总产量为a （a 为常量）吨，设该村粮食的人均产量y （吨），人口数为x （人），则y 与x 之间的函数图象应为图中的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．2016年西峡香菇年出口值达到4380000000亿元，成为国内最大的干香菇出口货源集散中心．其中数学4380000000用科学记数法表示为( )
A ．743810⨯
B ．84.3810⨯
C ．94.3810⨯
D ．104.3810⨯
二、填空题 13．如图，线段AB ＝4，M 为AB 的中点，动点P 到点M 的距离是1，连接PB ，线段PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PC ，连接AC ，则线段AC 长度的最大值是_____．
14．已知一组数据﹣1，4，2，﹣2，x 的众数是2，那么这组数据的中位数是_____．
15．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝5，AB ＝3，点D 是线段BC 上一动点，连接AD ，以AD 为边作△ADE ∽△ABC ，点N 是AC 的中点，连接NE ，当线段NE 最短时，线段CD 的长为_____．
16．已知函数，那么______．
17．今有浓度分别为 3%、8%、11%的甲、乙、丙三种盐水 50 千克、70 千克、60 千克，现要用甲、乙、丙这三种盐水配制浓度为 7%的盐水 100 千克，则丙种盐水最多可用_________千克．
18．若一次函数的图象与直线3y x =-平行，且经过点()1,2，则一次函数的表达式为___________.
三、解答题
19．如图，在方格纸中每个小正方形的边长均为l ，线段AB 的端点在小正方形的顶点上，（所画图形顶点必须在小正方形的顶点上）．
（1）在如图中画一个以AB 为边的四边形ABCD 是中心对称图形，且四边形面积是12；
（2）在如图中画一个以AB 为边的四边形ABMN 是轴对称图形，且只有一个角是直角，面积为15．
20．先化简，再求值：22221111x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭
，其中x 是满足|x|≤2的整数． 21．先化简，再求值：(a+22ab b a +)÷22
2a b a ab
--，其中a ＝﹣2，b ＝3．
22．对于平面内的∠MAN 及其内部的一点P ，设点P 到直线AM ，AN 的距离分别为d 1，d 2，称
12
d d 和21d d 这两个数中较大的一个为点P 关于MAN ∠的“偏率” . 在平面直角坐标系xOy 中，
（1）点M ，N 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点.
①若点P 的坐标为（1，5），则点P 关于MON ∠的“偏率”为____________； ②若第一象限内点Q （a ，b ）关于MON ∠的“偏率”为1，则a ，b 满足的关系为____________；
（2）已知点A （4，0），B （2
，，连接OB ，AB ，点C 是线段AB 上一动点（点C 不与点A ，B 重合）. 若点C 关于AOB ∠的“偏率”为2，求点C 的坐标；
（3）点E ，F 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点，动点T 的坐标为（t ，4），T 是以点T 为圆心，半径为1的圆. 若T 上的所有点都在第一象限，且关于EOF ∠
直接写出t 的取值范围.
23．先化简再求值：22221111x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中x 是不等式组30223x x x +>⎧⎪-⎨<+⎪⎩
的最大整数解． 24
．计算：021(2019)()2π---
25．已知O 的直径为10，点A ，B ，C 在O 上，CAB ∠的平分线交O 于点D.
（I ）如图①，当BC 为OO 的直径时，求BD 的长；
（Ⅱ）如图②，当BD=5时，求∠CDB 的度数。

【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
1314．2
15．4110
16．2
17．50
18．35y x =-+
三、解答题
19．(1)见解析；(2)见解析；
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的底边为4，高为3，进行画图；
（2）以AB 为直角边、点A 为直角顶点构建等腰直角三角形，再依据轴对称图形且面积为15可得．
【详解】
解：（1）如图所示，平行四边形ABCD 即为所求；
（2）如图2，四边形ABMN 即为所求四边形；
【点睛】
本题主要考查了利用图形的轴对称变换和中心变换进行作图，作图时需要运用平行四边形的性质及勾股定理进行计算．注意：平行四边形是中心对称图形．
20．13
-
【解析】
【分析】
首先计算括号里面的，先通分再加减，然后把把分母分解因式，把除法变成乘法约分化简，再取x 的整数值时，要考虑到分式有意义的条件．
【详解】 原式＝2(2)121(1)(1)1
x x x x x x x ---+÷+-+ ＝(2)1(1)(1)(2)
x x x x x x x -+⋅+-- ＝
11x -， ∵|x|≤2的整数，
∴﹣2≤x≤2，
∵分式有意义，
∴x≠0，2，﹣1，1，
∴取x ＝﹣2， ∴原式＝121--＝﹣13
． 【点睛】
此题主要考查了分式的化简求值，关键是首先把分式进行正确的化简，再代入整数求值．
21．a+b ，1.
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．
【详解】 原式＝2222()()()()()()()
a a
b b a a b a b a a b a a b a b a a b a b ++-+-⋅=⋅+-+-＝a+b ， 当a ＝﹣2，b ＝3时，原式＝1．
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（1）①5；②a h =；（2）点C 的坐标为83⎛ ⎝⎭或103⎛ ⎝⎭
；（3）1t <<2t >+. 【解析】
【分析】
（1）①根据“偏率”的定义，结合点P 的坐标，即可得出答案；
②根据“偏率”的定义，结合题干第一象限内点Q （a ，b ），即可得出答案；
（2）由点(4,0),(2,A B ，得OB 、AB 长度，从而得到OAB △是等边三角形.
由等边三角形性质，根据相似的判断可得ACD BCH △△∽.则
CD CA CH CB =. 由于点C 关于AOB ∠的“偏第”为2，所以
2CD CH =或2CH CD
=. 再根据三角函数即可得出答案；
∴点C 的坐标为8,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.
（3）根据第（3）题意和“偏率”的定义即可得出答案.
【详解】
解：（1）①5；
②a h =；
（2）∵点(4,0),(2,A B ，
∴4,44,OB AB OA =====.
∴OA OB AB ==.
∴OAB △是等边三角形.
∴60OAB OBA ∠=∠=︒.
过点C 作CD OA ⊥于点D ，CH OB ⊥于点H ，如图，
则90CDA CHB ∠=∠=︒.
∴ACD BCH △△∽. ∴
CD CA CH CB
=. ∵点C 关于AOB ∠的“偏第”为2， ∴2CD CH =或2CH CD =.
当
2CD CH =时，则2CA CB
=. ∴2833CA AB ==.
∴4cos 60,sin 603DA CA CD CA =⋅︒=
=⋅︒=. ∴83
OD OA DA =-=.
∴点C 的坐标为83⎛ ⎝⎭
.
同理可求，当2CH CD =时，点C 的坐标为10,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.
∴点C 的坐标为8,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.
（3）13
t <<或2t >+. 【点睛】
本题考查等边三角形的性质和判定、相似三角形的判定和三角函数，解题的关键是读懂“偏率”，掌握等边三角形的性质和判定、相似三角形的判定和三角函数.
23．13
-
【解析】
【分析】
先将分式化简，再求出不等式组，利用分式有意义时分母不等于0，求出x 的值代入即可解题.
【详解】 解：原式2(2)121(1)1(1)x x x x x x x ⎛⎫---+=÷ ⎪+⎝-⎭
+ (2)1(1)(1)(2)x x x x x x x -+=
∙+-- ＝11
x - ∵x 2﹣1≠0，x ﹣2≠0，x≠0
∴x≠±1且x≠2，且x≠0
解不等式组，得﹣3＜x≤2，则x 整数解为x ＝﹣2，﹣1，0，1，2，
∴x ＝﹣2 原式＝13
-．
【点睛】
本题考查了分式方程的化简求值，不等式组的求解，中等难度，正确化简并利用分式有意义的条件求出x 的值代入是解题关键.
24．5-【解析】
【分析】
运用负指数幂、零次方以及二次根式的化简的知识进行化简，然后计算即可.
【详解】
解：原式=1-
【点睛】
本题考查了负指数幂、零次方以及二次根式的化简，其解题关键在于运用相关知识对原式进行化简.
25．（I ）BD =（II ）120CDB ︒∠=
【解析】
【分析】
(1) 连接,CD OD ,由CAB ∠的平分线，可得CAD DAB ∠=∠，再根据圆周角定理可以得到COD DOB ∠=∠，CD DB =，再由直径所对的圆周角是直角，可得结论;
(2) 连接,OB OD ,由直径和BD 的长度易知BOD ∆为等边三角形，再根据圆周角定理60BAC ︒∠=，根据圆的内接四边形对角互补，即可求解.
【详解】
解：（l ）连接,CD OD
∵CAB ∠的平分线交O 于点D ，
CAD DAB ∴∠=∠
2COD CAD ∠=∠
2DOB DAB ∠=∠
COD DOB ∴∠=∠
CD DB ∴=
∵BC 为O 的直径，
90CDB ︒∴∠=
在Rt CDB ∆中，222CD BD BC +=
BD ∴=
（II ）连接,OB OD
O 直径为10，
5OB OD ∴==
5BD =
OB OD BD ∴==
BOD ∴∆为等边三角形
60.
BOD ︒∴∠= 1302
BAD BOD ︒∴∠=∠= CAB ∠的平分线交O 于点D ，
30CAD BAD ︒∴∠=∠=，
60BAC ︒∴∠=
∵四边形ABDC 是O 的内接四边形，
180120CDB BAC ︒︒∴∠=-∠=
【点睛】
本题考查了等腰三角形性质及三角形的外角，圆周角定理等，正确的画出辅助线是解题的关键．。