新高考二轮复习理科数学专项小测7 “12选择+4填空” (2)

专项小测(七) “12选择＋4填空”
时间：45分钟 满分：80分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．记复数z 的虚部为Im(z )，已知z 满足i z ＝1＋2i ，则Im(z )为( ) A ．－1 B ．－i C ．2
D ．2i
解析：由i z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2i i ＝()1＋2i i
i 2＝2－i ，∴Im(z )＝－1，故选A.
答案：A
2．已知集合A ＝{}
(x ，y )|x 2－6x ＋y 2－4y ＋9＝0，B ＝
{}(x ，y )|(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，则A ∩B 中的元素的个数为(
)
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个
解析：∵A ＝{(x ，y )|x 2－6x ＋y 2－4y ＋9＝0}＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y
－2)2＝4}，
B ＝{(x ，y )|(x ＋1)2＋(y －2)2＝9}，∴圆心距d ＝[3－(－1)]2＋(2－2)2＝4，得1＝|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2＝5，∴两圆的位置关系为相交，∴A ∩B 中有2个元素，故选C.
答案：C
3．若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则其离心率为( )
A. 2
B. 3 C ．2
D ．3
解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝2x ，所以b
a ＝2，即
b 2
＝2a 2
，而a 2
＋b 2
＝c 2
，所以c 2
＝3a 2
⇒c ＝3a ⇒e ＝c
a ＝3，故
选B.
答案：B
4．函数f (x )＝e x －1
x 的大致图象为( )
解析：函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}， f ′(x )＝x e x －1－e x －1x 2＝e x －1(x －1)
x 2
. 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当0＜x ＜1，x ＜0时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，
显然当x >0时，f (x )>0；当x ＜0时，f (x )＜0，故选B. 答案：B
5．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB →＝4EC →，则ED →＝( ) A.56AB →－43AC → B.43AB →－56AC → C.56AB →＋43AC →
D.43AB →＋56AC →
解析：因为D 为AB 的中点，点E 满足EB →＝4EC →，所以BD →＝12BA →，EB →＝43CB →，所以ED →＝EB →＋BD →＝43CB →＋12BA →＝43(CA →＋AB →)－12AB →＝56AB →－43AC →
，故选A.
答案：A
6．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝18，a 3＝9，则a 6
＝( )
A ．12
B ．15
C ．18
D ．21
解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝18，a 3＝9，得
⎩⎪⎨⎪⎧
S 3＝3a 1＋3d ＝18，a 3＝a 1＋2d ＝9，
解得a 1＝d ＝3，所以a 6＝a 1＋5d ＝18，故选C. 答案：C
7．如图，在多面体ABCDEF 中，AD ⊥平面ABF ，AD ∥BC ∥EF ，AD ＝4，BC ＝3，AB ＝BF ＝EF ＝2，∠ABF ＝120°.则异面直线AF 与CD 所成角的余弦值为( )
A.15
5 B.15
6 C.158
D.1515
解析：过点A 作CD 的平行线交CB 的延长线于点G ，连接FG ，则∠F AG 就是异面直线AF 与CD 所成的角或其补角．因为AD ∥BC ，AD ＝4，BC ＝3，所以BG ＝1.又AD ⊥平面ABF ，AD ∥BG ，所以AB ⊥BG ，BG ⊥BF ，所以AG ＝AB 2＋BG 2＝5，FG ＝FB 2＋BG 2＝ 5.
由AB ＝BF ＝2，∠ABF ＝120°，
可得AF ＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos ∠ABF ＝23， 故在△AFG 中，由余弦定理得cos ∠F AG ＝ AG 2＋AF 2－FG 22AG ·AF ＝(5)2＋(23)2－(5)22×5×23＝15
5. 答案：A
8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B ，则a 的值为( )
A ．2 5
B ．4
C ．2 3
D ．2 2
解析：在△ABC 中，由A ＝2B ，a sin A ＝b
sin B ，b ＝3，c ＝1，可得a 2sin B cos B ＝3
sin B ，整理得a ＝6cos B ，
∴由余弦定理得a ＝6×a 2＋1－9
2a ，解得a ＝23，故选C. 答案：C
9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则( )
A ．f (－3)＜f (－log 313)＜f (20.6)
B ．f (－3)＜f (20.6)＜f (－log 313)
C ．f (20.6)＜f (－log 313)＜f (－3)
D ．f (20.6)＜f (－3)＜f (－log 313)
解析：根据题意，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－3)＝f (3)，f (－log 313)＝f (log 313)，
有20.6＜2＜log 313＜log 327＝3，又由f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则有f (20.6)＜f (－log 313)＜f (－3)，故选C.
答案：C
10．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π
2)的部分图象如图所
示，点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6，0，则函数f (x )图象的一条对称轴方程为( )
A ．x ＝－π
3 B ．x ＝－π
12 C ．x ＝π
18 D ．x ＝π
24
解析：由图象过点A (0，3)，得2cos φ＝3，
cos φ＝3
2，
又|φ|＜π2，则φ＝±π6.因为图象是右平移，所以φ＝－π
6，f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6.再由图象过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0得2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πω6－π6＝0，则πω6－π6＝2k π＋π
2(k ∈Z )，又ω＞0，则ω的最小值为4，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6，当x ＝π24时，f (x )取得最大值2，所以x ＝π
24是f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6图象的一条
对称轴，故选D.
答案：D
11．设两直线l 1：x －2y －2＝0与l 2：ax ＋y ＋1＝0垂直，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x a ＋1x －24
的展开式中x 2的系数为( )
A ．12
B ．3 C.5
2
D.72
解析：∵两直线l 1：x －2y －2＝0与l 2：ax ＋y ＋1＝0垂直，∴1
2·(－
a )＝－1，求得a ＝2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋1x －24＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x －24＝(x －2)8
16x 4，要求其
展开式中x 2项，则是分子(x －2)8中展开式中的x 6项，所以它的展开
式中x 2
的系数为C 2
8·216＝7
2，故选D.
答案：D
12．已知正三棱锥A －BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为3，E ，F ，G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点．若O 在三棱
锥A －BCD 内，且三棱锥A －BCD 的体积是三棱锥O －BCD 体积的3倍，则平面EFG 截球O 所得截面的面积为( )
A.938
B.3π2
C.15π4
D ．4π
解析：如图所示， 平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面．
正三棱锥A －BCD 中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD ，HD ，依题意，得V A －BCD ＝3V O －BCD ，所以AH ＝3OH ，设球的半径为R ，在Rt △OHD 中，OD ＝R ，HD ＝3，OH
＝R 2，由勾股定理得R 2＝(3)2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫R 22，解得R ＝2.由于平面EFG ∥平面
BCD ，所以AH ⊥平面EFG ，球心O 到平面EFG 的距离为KO ，则KO ＝R 4＝1
2，设平面EFG 截球O 所得截面的半径为r ，在Rt △KON 中，r 2＝KN 2
＝ON 2
－KO 2
＝R 2
－14＝154，所以截面圆的面积为πr 2
＝154π，故选
C.
答案：C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝13，则cos2α
1－sin2α
＝________.
解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝13，所以tan α＝tan ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝
1－tan ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
π4－α1＋tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α＝1－13
1＋13＝12，所以cos2α
1－sin2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α－2sin αcos α＝
(cos α＋sin α)(cos α－sin α)(cos α－sin α)2＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α
1－tan α
＝1＋12
1－12
＝3. 答案：3
14．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x (1＋x )5的展开式中，x 2项的系数为________(用数字作答)．
解析：二项式(1＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x r
(r ＝0,1,2,3,4,5)，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x (1＋x 5)的展开式中x 2项为1×C 25x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ×C 35x 3＝10x 2
－10x 2＝0.
答案：0
15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝2－2a n ＋1，若a 2＝1
2，则S 5＝________.
解析：由题意可知S 1＝2－2a 2＝1，且S n ＝2－2(S n ＋1－S n )，整理得
S n ＋1－2＝12(S n －2)，由于S 1－2＝－1，故S 5－2＝(－1)×⎝ ⎛⎭
⎪⎫124＝－1
16，
∴S 5＝3116. 答案：3116
16．已知圆锥的顶点为S ，O 为底面中心，A ，B ，C 为底面圆周上不重合的三点，AB 为底面的直径，SA ＝AB ，M 为SA 的中点．设直线MC 与平面SAB 所成角为α，则sin α的最大值为________．
解析：以AB 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设SA ＝AB ＝4，
则M (0，－1，3)，C (x ，y,0)，如图所示，由对称性不妨设x ＞0， y ＜0且x 2＋y 2＝4，
则MC →＝(x ，y ＋1，－3)，易知平面SAB 的一个法向量为m ＝(1,0,0)， 所
以
sin α
＝
MC →·m
|MC
→|×|m |＝
x
x 2＋(y ＋1)2＋3
＝
12×⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤－(y ＋4)－
12y ＋4＋8≤4－23＝3－1， 当且仅当y ＝23－4时等号成立． 综上，sin α的最大值为3－1. 答案：3－1。