苏科版九年级数学下册 5.2 二次函数图像和性质 同步测试题(有答案)

5.2 二次函数图像和性质同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 抛物线y=3(x+1)2−4的顶点坐标是( )A.(1, 4)B.(1, −4)C.(−1, 4)D.(−1, −4)2. 若在同一直角坐标系中，作y=−12x2，y=−12x2+3，y=2x2的图象，则它们（）A.都关于y轴对称B.开口方向相同C.都经过原点D.互相可以通过平移得到3. 若点(2, 5)，(4, 5)在抛物线y=ax2+bx+c上，则它的对称轴是()A.x=−baB.x=1C.x=2D.x=34. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a>0；②b>0；③c>0；③b2−4ac>0，其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个5. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列4个结论：①a>0；②b<0；③b<a+c；④4a+2b+c>0其中正确结论的有（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④6. 若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：则抛物线的顶点坐标是（）A.(−1, 3)B.(0, 0)C.(1, −1)D.(2, 0)7. 把抛物线y＝x2向上平移3个单位，再向右平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A.y＝(x+3)2+1B.y＝(x+3)2−1C.y＝(x−1)2+3D.y＝(x+1)2+38. 设A(−2, y1)，B(1, y2)，C(2, y3)是抛物线y=(x−1)2−3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为()A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y3>y2>y1D.y3>y1>y29. 在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x−2)2+1，下列说法中错误的是()A.y的最小值为1B.图象顶点坐标为(2, 1)，对称轴为直线x=2C.当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，直线x=−1是对称轴，下列结论：①ca <0；②若(−3, y1)、(32, y2)是抛物线上两点，则y1>y2；③a−b+c=−9a；④将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为y=a(x2−9)．其中正确的是（）A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④二、填空题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）11. 把抛物线y=x2+4x改写成y=a(x+ℎ)2+k的形式为________．12. 函数y=x2−3x−1有最________值，其值为________．13. 如图所示，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点分别为A(−1, 0)和B(2, 0)，当y<0时，x的取值范围是________．14. 已知抛物线y=x2−2bx的顶点在第三象限，请写出一个符合条件的b的值为_________．15. 二次函数的y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，且与y轴的交点是P(0, −2)，则点A(ab, c)在第________象限．16. 已知二次函数的图象开口向上，且经过原点，试写出一个符合上述条件的二次函数的解析式：________．（只需写出一个）17. 已知二次函数y＝x2−(m+4)x+2m+3的图象如图所示，则m的取值范围是．________<−8318. 如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，在下列说法中：①abc<0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=−1，x2=3；③a−b+c>0；④当0<x≤3时，0≤y< 3；⑤3a+c=0，其中正确的说法有________．（请写出所有正确说法的序号）三、解答题（本题共计7 小题，共计66分，）19. 把下列二次函数转化成y=a(x−ℎ)2+k的形式，并写出对称轴和顶点坐标．（1）y=x2+4x−2；（2）y=2x2+12x−4．20. 把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合．请求出a，b，c的值．21. 说明：不论x取何值，代数式x2−5x+7的值总大于0．并尝试求出当x取何值时，代数式x2−5x+7的值最小？最小值是多少？22. 在同一直角坐标系中作出二次函数y=−x2，y=−0.5x2的图象，然后回答下列问题：（1）它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？（2）请描述一下在对称轴的左侧函数值的变化情况．23. 已知：抛物线y=(m−1)x2+mx+m2−4的图象经过原点，且开口向上．（1）确定m的值；（2）求此抛物线的顶点坐标；（3）画出抛物线的图象，结合图象回答：当x取什么值时，y随x的增大而增大？（4）结合图象回答：当x取什么值时，y<0？(x+2)2+924. 已知函数y=−32（1）抛物线的开口向________、对称轴为直线________、顶点坐标________；（2）当x＝________时，函数有最________值，是________；（3）当x<−2时，y随x的增大而增大：当x时，y随x的增大而减小；x2的图象经过怎样的平移得到的？（4）该函数图象可由y=−3225. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A(0, −4)和B(2, 0)两点．（1）求c的值及a，b满足的关系式；（2）若抛物线在A和B两点间，从左到右上升，求a的取值范围；（3）抛物线同时经过两个不同的点M(p, m)，N(−2−p, n)．①若m＝n，求a的值；②若m＝−2p−3，n＝2p+1，求a的值．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解答】解：∵ y=3(x+1)2−4，∵ 顶点坐标为(−1, −4).故选D．2.【答案】A【解答】解：观察三个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，=0，对称轴为y轴，都关于y轴对称．故对称轴x=−b2a故选A．3.【答案】D【解答】解：因为点(2, 5)，(4, 5)在抛物线上，根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，=3；所以，对称轴x=2+42故选D．4.【答案】C【解答】解：∵ 抛物线开口向下，∵ a<0，①错误；>0，∵ b>0，②正确；∵ 抛物线的对称轴在y轴的右侧，∵ x=−b2a∵ 抛物线与y轴的交点在x轴上方，∵ c>0，③正确；∵ 抛物线与x轴有2个交点，∵ Δ=b2−4ac>0，④正确．故选C．5.【答案】A【解答】解：∵ 抛物线开口向上，∵ a>0，故①正确；∵ 抛物线的对称轴为直线x=−b2a>0，∵ b<0，故②正确；∵ 当x=−1时，y>0，∵ a−b+c>0，∵ 故③正确；∵ x=2时，y<0，∵ 4a+2b+c<0，∵ 结论④错误；综上，可得正确的结论有：①②③．故选A．6.【答案】C【解答】∵ 当x=0或x=2时，y=0，当x=1时，y=−1，∵ {c=04a+2b+c=0 a+b+c=−1，解得{a=1b=−2c=0，∵ 二次函数解析式为y=x2−2x=(x−1)2−1，∵ 抛物线的顶点坐标为(1, −1)，7.【答案】C【解答】由“上加下减”的原则可知，把抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；由“左加右减”的原则可知，把抛物线y＝x2+3向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y ＝(x−1)2+3．8.【答案】B【解答】解：函数的解析式是y=(x−1)2−3，∵ 对称轴是x=1，∵ 点A关于对称轴对称的点A′是(4, y1)，那么点A′，B，C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而增大，∵ 1<2<4，∴y1>y3>y2．故选B.9.【答案】C【解答】解：由二次函数解析式可知，当x=2时，y取得最小值1,故顶点坐标为(2,1)，对称轴为x=2,且抛物线开口向上，当x<2时，y的值随x值的增大而减小，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，故选项A,B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，y=x2的图象向右平移2个单位长度得到y=(x−2)2，再向上平移1个单位长度得到y=(x−2)2+1,故选项D的说法正确.故选C．10.【答案】D【解答】∵ 开口向下，∵ a<0，∵ 抛物线与y轴的正半轴相交，∵ c>0，<0，故①正确；∵ ca距离∵ 对称轴为x=−1，当x=−1时，抛物线有最大值，−3距离−1有2个单位长度，32−1有5个单位长度，2∵ y1>y2，故②正确；=−1，∵ 对称轴x=−b2a∵ b =2a ，当x =2时，y =0，∵ 4a +2b +c =0，∵ 4a +4a +c =0，∵ c =−8a ，∵ a −b +c =−9a ，故③正确；∵ 抛物线过(−4, 0)(2, 0)，对称轴为x =−1，∵ 设抛物线的解析式为y =a(x +1)2+k ，将抛物线沿x 轴向右平移一个单位后得出平移后的解析式y =ax 2+k ， ∵ c =−8a ，∵ k =−9a ，∵ 将抛物线沿x 轴向右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为y =a(x 2−9)，故④正确；正确结论有①②③④；二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ） 11.【答案】y =(x +2)2−4【解答】解：y =x 2+4x =x 2+4x +4−4=(x +2)2−4，故y =(x +2)2−4．故答案为：y =(x +2)2−4．12.【答案】小,−134 【解答】解：y =x 2−3x −1=(x −32)2−134，∵ a =1>0，∵ 函数有最小值，当x =32时，最小值为−134．故答案为：小，−134．13.【答案】x <−1或x >2【解答】解：观察图象可知，抛物线与x轴两交点为(−1, 0)，(2, 0)，y<0，图象在x轴的下方.故答案为：x<−1或x>2．14.【答案】−1（答案不唯一）【解答】解：抛物线y=x2−2bx=(x−b)2−b2的顶点坐标为(b,−b2)，∵ 抛物线的顶点在第三象限，∵ {b<0，−b2<0,∴ b<0,∵ b的值可以为−1.故答案为：−1(答案不唯一).15.【答案】三【解答】解：∵ 二次函数的y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，∵ 对称轴x=−b2a>0，∵ a、b异号，即ab<0．∵ 该抛物线与y轴的交点是P(0, −2)，∵ c=−2<0，∵ 点A(ab, c)位于第三象限．故答案为：三．16.【答案】y＝x2（答案不唯一）【解答】∵ 二次函数的图象开口向上，∵ a>0，∵ 二次函数的图象过原点，∵ c＝0．故解析式满足a>0，c＝0即可，如y＝x2．17.【答案】−154<m【解答】由图象可得出：当x＝−2时y>0，∵ 4+2(m+4)+2m+3>0，解得：m>−154，当x＝−1时y<0，∵ 1+m+4+2m+3<0，解得：m<−83，∵ m的取值范围是：−154<m<−83．18.【答案】①②⑤【解答】解：∵ 抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右边，与y轴的交点在y轴的正半轴上，∵ a<0，−b2a=1>0，c>0，即b>0，∵ abc<0，故①正确；∵ 抛物线与x轴的一个交点坐标是(3, 0)，对称轴为直线x=1，∵ 抛物线与x轴的另一个交点坐标是(−1, 0)，∵ 方程ax2+bx+c=0的根为x1=−1，x2=3，故②正确；把x=−1代入抛物线得：a−b+c=0，故③错误；∵ y=3时，x=0或2，∵ 当−1≤x<0或2<x≤3时，0≤y<3，故④错误；∵ −b2a=1，∵ b=−2a，∵ x=−1时，y=0即a−b+c=0，∵ a−(−2a)+c=0，∵ 3a+c=0，故⑤正确；∵ 正确的说法有①②⑤．故答案为①②⑤．三、解答题（本题共计7 小题，每题10 分，共计70分）19.【答案】解：（1）y=x2+4x−2=(x+2)2−6，∵ 二次函数的对称轴为：直线x=−2，顶点坐标为；(−2, −6)．（2）y=2x2+12x−4=2(x2+6x)−4=2(x+3)2−22，∵ 二次函数的对称轴为：直线x=−3，顶点坐标为；(−3, −22)．【解答】解：（1）y=x2+4x−2=(x+2)2−6，∵ 二次函数的对称轴为：直线x=−2，顶点坐标为；(−2, −6)．（2）y=2x2+12x−4=2(x2+6x)−4=2(x+3)2−22，∵ 二次函数的对称轴为：直线x=−3，顶点坐标为；(−3, −22)．20.【答案】解：将y=2x2+4x+1整理得y=2x2+4x+1=2(x+1)2−1．因为抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移1个单位得y=2x2+4x+1= 2(x+1)2−1，所以将y=2x2+4x+1=2(x+1)2−1向右平移2个单位，再向上平移1个单位即得y= ax2+bx+c，故y=ax2+bx+c=2(x+1−2)−1+1=2(x−1)=2x2−4x+2，所以a=2，b=−4，c=2．【解答】解：将y=2x2+4x+1整理得y=2x2+4x+1=2(x+1)2−1．因为抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移1个单位得y=2x2+4x+1= 2(x+1)2−1，所以将y=2x2+4x+1=2(x+1)2−1向右平移2个单位，再向上平移1个单位即得y= ax2+bx+c，故y=ax2+bx+c=2(x+1−2)−1+1=2(x−1)=2x2−4x+2，所以a=2，b=−4，c=2．21.【答案】解：原式=(x −52)2+34． ∵ (x −52)2≥0．∵ 原式>0恒成立；当x =52时，原式有最小值为34． 【解答】解：原式=(x −52)2+34． ∵ (x −52)2≥0． ∵ 原式>0恒成立；当x =52时，原式有最小值为34． 22.【答案】解：在同一直角坐标系中作出作出二次函数y =−x 2，y =−0.5x 2的图象如下所示：（1）抛物线y =−x 2的开口方向是向下，对称轴是y 轴，顶点坐标是(0, 0)；二次函数y =一12x 2的开口方向是向下，对称轴是y 轴，顶点坐标是(0, 0)； （2）在对称轴的左侧函数值随x 的增大而增大．【解答】解：在同一直角坐标系中作出作出二次函数y =−x 2，y =−0.5x 2的图象如下所示：（1）抛物线y=−x2的开口方向是向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0, 0)；二次函数y=一12x2的开口方向是向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0, 0)；（2）在对称轴的左侧函数值随x的增大而增大．23.【答案】解：（1）由题意得，{m−1>0m2−4=0解得m=2；（2）∵ 抛物线解析式为y=x2+2x=(x+1)2−1∵ 顶点坐标是(−1, −1)；（3）抛物线如图如图所示；由图可知，x>−1时，y随x的增大而增大；（4）由图可知，当−2<x<0时，y<0．【解答】解：（1）由题意得，{m−1>0m2−4=0解得m=2；（2）∵ 抛物线解析式为y=x2+2x=(x+1)2−1∵ 顶点坐标是(−1, −1)；（3）抛物线如图如图所示；由图可知，x>−1时，y随x的增大而增大；（4）由图可知，当−2<x<0时，y<0．24.【答案】下,x＝−2,(−2, 9)−2,大,9当x<−2时，函数y随着x的增大而增大，当x>−2时，函数y随着x的增大而减小．故答案为：<−2、>−2．函数y=−32x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移9个单位即可得到y=−32(x+2)2+9．【解答】抛物线的开口方向向下，对称轴为直线x＝−2，顶点坐标为(−2, 9)；故答案为，下，x＝−2，(−2, 9)；当x＝−2时，函数y有最大值，是9．故答案为−2，大，9；当x<−2时，函数y随着x的增大而增大，当x>−2时，函数y随着x的增大而减小．故答案为：<−2、>−2．函数y=−32x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移9个单位即可得到y=−32(x+2)2+9．25.【答案】∵ 抛物线y＝ax2+bx+c(a>0)经过点A(0, −4)和B(2, 0)．∵ {c=−44a+2b+c=0，∵ c＝−4，2a+b＝2．由1可得：y＝ax2+(2−2a)x−4，对称轴为x=−2−2a2a，∵ 抛物线在A、B两点间从左到右上升，即y随x的增大而增大；①当a>0时，开口向上，对称轴在A点左侧或经过A点，即：−2−2a2a≤0，解得：a≥1；②当a<0时，开口向下，对称轴在B点右侧或经过B点，即−2−2a2a≥2，解得：a≥−1；∵ 1≤a<0，综上，若抛物线在A和B两点间，从左到右上升，a的取值范围为−1≤a<0或a≥1；①若m＝n，则点M(p, m)，N(−2−p, n)关于直线x=−2−2a2a对称，∵ p−2−p2=−2−2a2a，∵ a=12；②∵ m＝−2p−3，∵ M(p, m)在直线y＝−2x−3上，∵ n＝2p+1＝−2(−2−p+2)+1＝−2(−p−2)−3，∵ N(−2−p, n)在直线y＝−2x−3上，即M、N是直线y＝−2x−3与抛物线y＝ax2+(2−2a)x−4的交点，∵ p和−2−p是方程ax2+(2−2a)x−4＝−2x−3的两个根，整理得ax2+(4−2a)x−1＝0，∵ p+(−2−p)=−4−2aa，∵ a＝1．【解答】∵ 抛物线y＝ax2+bx+c(a>0)经过点A(0, −4)和B(2, 0)．∵ {c=−44a+2b+c=0，∵ c＝−4，2a+b＝2．由1可得：y＝ax2+(2−2a)x−4，对称轴为x=−2−2a2a，∵ 抛物线在A、B两点间从左到右上升，即y随x的增大而增大；①当a>0时，开口向上，对称轴在A点左侧或经过A点，即：−2−2a2a≤0，解得：a≥1；②当a<0时，开口向下，对称轴在B点右侧或经过B点，即−2−2a2a≥2，解得：a≥−1；∵ 1≤a<0，综上，若抛物线在A和B两点间，从左到右上升，a的取值范围为−1≤a<0或a≥1；①若m＝n，则点M(p, m)，N(−2−p, n)关于直线x=−2−2a2a对称，∵ p−2−p2=−2−2a2a，∵ a=12；②∵ m＝−2p−3，∵ M(p, m)在直线y＝−2x−3上，∵ n＝2p+1＝−2(−2−p+2)+1＝−2(−p−2)−3，∵ N(−2−p, n)在直线y＝−2x−3上，即M、N是直线y＝−2x−3与抛物线y＝ax2+(2−2a)x−4的交点，∵ p和−2−p是方程ax2+(2−2a)x−4＝−2x−3的两个根，整理得ax2+(4−2a)x−1＝0，∵ p+(−2−p)=−4−2aa，∵ a＝1．。