2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高二上学期期末考试数学(理)试题

2019-2020学年度第一学期期末试题
高二理科数学试卷
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数z ＝2－i
2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2．函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( ) A ．10 B ．5 C ．－1 D ．－3
7
3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( ) ①平行于同一直线的两条直线平行；
②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直； ③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交． A ．①②③ B ．①③ C ．① D ．②③ 4．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值
D ．极小值－27，无极大值
5．函数y ＝4x 2＋1
x
的单调递增区间是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，1)
C ．⎝⎛⎭⎫1
2，＋∞ D ．(1，＋∞) 6．下列计算错误的是( ) A ．⎠
⎛π
－π
sin x d x ＝0
B ．⎠
⎛1
x d x ＝2
3
C ．cos x d x ＝2cos x d x
D ．⎠
⎛π
－π
sin 2x d x ＝0
7．余弦函数是偶函数，f (x )＝cos(x ＋1)是余弦函数，因此f (x )＝cos(x ＋1)是偶函数，以上推理( )
A ．结论正确
B ．大前提不正确
C ．小前提不正确
D ．全不正确 8.设复数z 满足(z-2i)(2-i)=5,则z=( )
A .2+3i
B .2-3i
C .3+2i
D .3-2i
9.若函数f (x )=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则k 的取值范围是( )
A.(-∞,-2]
B.(-∞,-1]
C.[2,+∞)
D.[1,+∞)
10.在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ）
A ．3OM OA O
B O
C =--u u u u r u u u r u u u r u u u r
B ．2
1
3151++=
C ．=++
D ．=+++OM
11．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )
A ．(－1,1)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(－∞，＋∞)
12．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)∪(0，1)
B ．(－1，0)∪(1，＋∞)
C ．(－∞，－1)∪(－1，0)
D ．(0，1)∪(1，＋∞)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知复数z ＝－1＋i
1＋i －1，则在复平面内，z 所对应的点在第__________ 象限．
14．垂直于直线2x －6y ＋1＝0并且与曲线y ＝x 3＋3x 2－5相切的直线方程是________． 15．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与直
线
y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为27
4，则a的值为
________．
16．若Rt△ABC中两直角边为a，b，斜边c上的高为h，则1
h2＝1
a2＋
1
b2，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P－ABC，PO为棱锥的高，记M
＝
1
PO2，N＝
1
P A2＋
1
PB2＋
1
PC2，那么M，N的大小关系是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知曲线y＝5x，求：
(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；
(2)求过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程．
18．(本小题满分12分) 已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，
⎠⎛
1f(x)d x＝－2，求a、b、c的值．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1的图象经过点(1，－3)且在x＝1处，f(x)取得极值．求：
(1)函数f(x)的解析式；
(2)f(x)的单调递增区间．
20．(本小题满分12分) 如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，四边
ABCD．形ABCD为平行四边形，BA⊥AC，SA⊥平面
（Ⅰ）求证：AC⊥SB；
（Ⅱ）若AB＝AC＝SA＝3，E为线段BC的中点，F为线段SB上靠近B的三等分点，求直线SC与平面AEF所成角的正弦值．
21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，，，，，M是棱的中点，
求证：；
求直线AM 与平面
所成角的正弦值．
22．(本小题满分12分) 已知函数 f (x )=ln(1+x ) - ln(1-x ), (1)求曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程; (2)求证:当x ∈(0,1)时,f (x )>2;
(3)设实数k 使得f (x )>k 对x ∈(0,1)恒成立,求k 的最大值.
2019-2020学年度第一学期期末试题答案
高二理科数学试卷
考试时间:120分钟 分值:120分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数z ＝2－i
2＋i
(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析： ∵z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )2(2＋i )(2－i )＝4－4i －15＝35－4
5i ，
∴复数z 对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－4
5，在第四象限． 答案： D
2．函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( ) A ．10 B ．5 C ．－1
D ．－3
7
解析： f ′(x )＝3x 2＋4，f ′(1)＝7，f (1)＝10，y －10＝7(x －1)，y ＝0时，x ＝－3
7.
答案： D
3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( ) ①平行于同一直线的两条直线平行；
②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直； ③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交． A ．①②③ B ．①③ C ．①
D ．②③
解析： 类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．
答案： A
4．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值
D ．极小值－27，无极大值
解析： y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1，x ＝3，当x <－1时，y ′>0；当x >－1时，y ′<0. 当x ＝－1时，y 极大值＝5，x 取不到3，无极小值． 答案： C
5．函数y ＝4x 2＋1
x 的单调递增区间是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，1)
C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞
D ．(1，＋∞)
解析： 令y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，即(2x －1)(4x 2＋2x ＋1)>0，且x ≠0，得x >12
.
答案： C
6．下列计算错误的是( ) A ．⎠
⎛π
－π
sin x d x ＝0
B ．⎠
⎛1
x d x ＝2
3
C ．cos x d x ＝2cos x d x
D ．⎠
⎛π
－π
sin 2x d x ＝0
解析： 由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果． 答案： D
7．余弦函数是偶函数，f (x )＝cos(x ＋1)是余弦函数，因此f (x )＝cos(x ＋1)是偶函数，以上推理(C )
A ．结论正确
B ．大前提不正确
C ．小前提不正确
D ．全不正确
解析：f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误． 8.设复数z 满足(z-2i)(2-i)=5,则z=( A )
A .2+3i
B .2-3i
C .3+2i
D .3-2i
9.若函数f (x )=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则k 的取值范围是( D )
A.(-∞,-2]
B.(-∞,-1]
C.[2,+∞)
D.[1,+∞)
10.在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （A ）
A ．3OM OA O
B O
C =--u u u u r u u u r u u u r u u u r
B ．2
1
3151++=
C ．=++
D ．=+++OM
11．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1)
D ．(－∞，＋∞)
解析： 设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)， 则m ′(x )＝f ′(x )－2>0， ∴m (x )在R 上是增函数． ∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0， ∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}， 即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)． 答案： B
12．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，
则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(A )
A ．(－∞，－1)∪(0，1)
B ．(－1，0)∪(1，＋∞)
C ．(－∞，－ 1)∪(－1，0)
D ．(0，1)∪(1，＋∞)
解析：记函数g (x )＝f （x ）x ，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）
x 2
，因为当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )
＜0，故当x ＞0时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，＋∞)单调递减；又因为函数f (x )(x ∈R)是奇函数，故函数g (x )是偶函数，所以g (x )在(－∞，0)单调递减，且g (－1)＝g (1)＝0.当0＜x ＜1时，g (x )＞0，则f (x )＞0；当x ＜－1时，g (x )＜0，则f (x )＞0，综上所述，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知复数z ＝－1＋i
1＋i －1，则在复平面内，z 所对应的点在第__________ 象限．
解析： z ＝－1＋i
1＋i －1＝－1＋i.
答案： 二
14．垂直于直线2x －6y ＋1＝0并且与曲线y ＝x 3＋3x 2－5相切的直线方程是________． 解析： 设切点为P (a ，b )，函数y ＝x 3＋3x 2－5的导数为y ′＝3x 2＋6x ，切线的斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2＋6a ＝－3，得a ＝－1，代入到y ＝x 3＋3x 2－5，得b ＝－3，即P (－1，－3)，y ＋3＝－3(x ＋1)，3x ＋y ＋6＝0.
答案： 3x ＋y ＋6＝0
15．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为27
4
，则a 的值为________．
解析： 由题意可知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(0)＝0
∴b ＝0，
∴f (x )＝x 2
(x ＋a )，有274＝∫－a 0[0－(x 3＋ax 2
)]d x ＝－⎝⎛⎭⎫x 44＋ax 33| －a 0＝a 412
，∴a ＝±3.
又－a >0⇒a <0，得a ＝－3. 答案： －3
16．若Rt △ABC 中两直角边为a ，b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1
b 2，如图，在正方体
的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO 为棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1P A 2＋1PB 2＋1
PC 2，那么M ，
N 的大小关系是________．
解析： 在Rt △ABC 中，c 2＝a 2＋b 2①，由等面积法得ch ＝ab ， ∴c 2·h 2＝a 2·b 2②，①÷②整理得1h 2＝1a 2＋1
b
2.
类比得，S 2△ABC ＝S 2△P AB ＋S 2△PBC ＋S 2
△P AC ③，
由等体积法得S △ABC ·PO ＝12
P A ·PB ·PC ， ∴S 2△ABC ·PO 2＝1
4P A 2·PB 2·PC 2④， ③÷④整理得M ＝N . 答案： M ＝N
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知曲线y ＝5x ，求： (1)曲线上与直线y ＝2x －4平行的切线方程； (2)求过点P (0,5)且与曲线相切的切线方程． 解析： (1)设切点为(x 0，y 0)，由y ＝5x ， 得y ′|x ＝x 0＝52x 0
.
∵切线与y ＝2x －4平行， ∴
52x 0
＝2，∴x 0＝2516，∴y 0＝254，
则所求切线方程为y －254＝2⎝⎛⎭⎫x －2516，即2x －y ＋25
8＝0. (2)∵点P (0,5)不在曲线y ＝5x 上，
故需设切点坐标为M (x 1，y 1)，则切线斜率为5
2x 1.
又∵切线斜率为y 1－5x 1，∴5
2x 1
＝y 1－5x 1＝5x 1－5x 1，
∴2x 1－2x 1＝x 1，得x 1＝4. ∴切点为M (4,10)，斜率为5
4
，
∴切线方程为y －10＝5
4
(x －4)，即5x －4y ＋20＝0.
18．(本小题满分12分) 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛0
1f (x )d x
＝－2，求a 、b 、c 的值．
[解析] ∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2.① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛0
1(ax 2＋bx ＋c )d x ，
取F (x )＝13ax 3＋1
2bx 2＋cx ，
则F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ，
∴⎠
⎛0
1f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋1
2b ＋c ＝－2③
解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.
19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象经过点(1，－3)且在x ＝1处，f (x )取得极值．求：
(1)函数f (x )的解析式；(2)f (x )的单调递增区间．
解析： (1)由f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象过点(1，－3)得a ＋b ＋1＝－3， ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ， 又f ′(1)＝3a ＋b ＝0，
∴由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－43a ＋b ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2
b ＝－6
， ∴f (x )＝2x 3－6x ＋1. (2)∵f ′(x )＝6x 2－6，
∴由f ′(x )>0得x >1或x <－1，
∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．
20．(本小题满分12分) 如图所示，四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BA ⊥AC ，SA ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：AC ⊥SB ；
（Ⅱ）若AB ＝AC ＝SA ＝3，E 为线段BC 的中点，F 为线段SB 上靠近B 的三等分点，求直线SC 与平面AEF 所成角的正弦值．
【解析】（Ⅰ）∵SA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴SA⊥AC，
又BA⊥AC，SA∩BA＝A，∴AC⊥平面SAB，
又SB⊂平面SAB，∴AC⊥SB．
（Ⅱ）以AB、AC、AS为x轴y轴z轴建立如图所示坐标系，
则
A（0，0，0），S（0，0，3），C（0，3，0），E（，，0），F（2，0，1），
∴＝（，，0），＝（2，0，1），＝（0，﹣3，3），
设＝（x，y，z）为平面AEF的法向量，
，∴，∴，
令x＝﹣1，得一个法向量＝（﹣1，1，2），
cos＜，＞＝＝＝
即直线SC与平面AEF所成角的正弦值为．
21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，，，，，M是棱的中点，
求证：；
求直线AM与平面所成角的正弦值．
【解析】如图，以B为原点，BA、所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系，则0，，2，，2，，，
，，
，
即，；
轴面，面的法向量取0，，
设直线AM与平面所成角为，
，
直线AM与平面所成角的正弦值为．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)=ln(1+x) - ln(1-x),
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求证:当x∈(0,1)时,f(x)>2;
(3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.
解:(1)因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),
所以f'(x)=,f'(0)=2.
又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.
(2)令g(x)=f(x)-2,
则g'(x)=f'(x)-2(1+x2)=.
因为g'(x)>0(0<x<1),所以g(x)在区间(0,1)上单调递增.
所以g(x)>g(0)=0,x∈(0,1),
即当x∈(0,1)时,f(x)>2.
(3)由(2)知,当k≤2时,f(x)>k对x∈(0,1)恒成立.
当k>2时,令h(x)=f(x)-k,
则h'(x)=f'(x)-k(1+x2)=.
所以当0<x<时,h'(x)<0,
因此h(x)在区间上单调递减.
当0<x<时,h(x)<h(0)=0,
即f(x)<k.
所以当k>2时,f(x)>k并非对x∈(0,1)恒成立.
综上可知,k的最大值为2.。