第七章度量空间解析
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语言描述：T在x0连续 U (Tx0, )必有V (x0, )，使TV U
连续性的极限定义 设T是度量空间(X ,d) 到 (Y , d ) 中的映射，那么T在 x0 X , 连续的充要条件为当 xn x0 (n ) 时，必有 Txn Tx0 (n ) 2、连续映射 如果映射T在X的每一点都连续，则称T是X上的连续映射。 称集合 {x | x X ,Tx M Y}为集合M在映射T下的原像。
（3）空间 l ，对每个 x (1,2,...) l，定义|| x || sup | j | j
空间 l 按上述范数成Banach空间。
在实数空间当中，柯西点列一定是收敛点列；但是在一 般的度量空间当中，柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛 点列一定是柯西点列。
2、完备的度量空间 如果度量空间 (X ,d) 中每一个柯西点列都在 (X ,d) 中收敛， 则称 (X ,d) 是完备的度量空间。
子空间完备性定理 完备度量空间X的子空间M，是完备空间的充要条件是：M
x(t)
|
lim
n
d
(
xn
,
x)Biblioteka 0{xn}在[a,
b]上一致收敛于
x
（4）可测函数空间 M(X )
设 { fn} 及 f 分别为可测函数空间中的点列及点，
lim d(
n
fn,
f
)
0
fn (t) f(t)
3、有界集
设M是度量空间(X , d) 中点集，定义 (M ) sup d (x, y) x, yM
对任一 x E ，有M中的点列{xn}，使得 xn x(n ) （2）当E=X时，称集M为X的一个稠密子集。
（3）如果X有一个可数的稠密子集时，称X为可分空间。
例题 1：（1）多项式全体所成的线性空间P是度量空间C[a,b] 的子集，则P在C[a,b] 中是稠密的。其中，以有理数为系数 的多项式全体是一个可数集，所以 C[a,b] 是可分空间。
§8 赋范线性空间和巴拿赫空间
1、赋范线性空间 设X是实（或复）的线性空间，如果对于每个向量x X ， 有一个确定的实数，记为 x 与之对应，并且满足：
1° x 0 且 x 0 等价于 x 0
2° x x 其中 为任意实（或复）数；
3° x y x y , x, y X 则称 x 为向量 x 的范数，称X按范数成为赋范线性空间。
i
则 l p 按 d(x, y) 成为度量空间。
§3 连续映射
回忆函数的连续性？ 1、度量空间中的连续性
设X (X , d)，Y (Y , d ) 是两个度量空间，T是X到Y中的映射,
x0 X ,如果对于任意给定 0，存在 0，使对X中一切满足
d (x, x0 ) 的 x，成立 d(Tx,Tx0) 则称T在 x0 连续。
2(
m
)
,
...,
( n
m
)
,
...),
m
1, 2,...,
为 S 中的点列，
x (1 ,2 ,...,n ,...) S
lim
m
d
(
xm
,
x)
0
(m) i
i
(m
)
,
（3）C[a,b] 空间
设
{xn }
及
x
分别为C[a, b]
中的点列及点，d ( xn ,
x)
max
a t b
|
xn (t)
（6）l p 空间
l p {x {xk } | xkp } k 1
设 x {xk } l p , y {yk } l p ，定义
1
d ( x,
y)
k 1
( yk
xk
)p
p
§2 度量空间中的极限、稠密集、 可分空间
1、收敛点列
设{xn}是(X , d)中点列，如果存在
x X，使
lim
类似于普通向量的长度
2、关于极限的定义（依范数收敛）
设{xn}是X中一点列，如果存在x X ，使 || xn x || 0(n )
则称{xn}依范数收敛于 x ，记为 xn x(n ) 或
lim
n
xn
x
3、赋范线性空间的性质
1°赋范线性空间不仅是线性空间，也是一个度量空间。
如果令d(x, y) || x y ||, (x, y X ),可以验证 d (x, y是) X上的距离。
（2）n 维欧式空间Rn 是可分空间，因为坐标为有理数的全 体是一个可数集，是 Rn 中的稠密子集。
(3)l p 为可分空间。 (4)l 为不可分空间。
l p 表示有界实（或复）数列全体，对l p 中任意两点
x (1,2 ,...) y (1,2,...) 定义 d (x, y) sup | i i |
是X中的闭子空间。
例题 1： l p (1 p ) 及 l 是完备度量空间
例题 2：n维欧几里的空间是完备度量空间 例题 3：C[a,b] 是完备度量空间
等距同构映射
设 ( X , d), ( X , d ), 是两个度量空间，如果存在 X到 X 的 保距映射 T ，即d (Tx,Ty) d (x, ，y) 则称 ( X , d ), 和 ( X , d ),
得 Tx* x*，则称 x*为映射T的不动点。
3、压缩映射定理 设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且 只有一个不动点。
完备度量空间中的压缩映射必有唯一的不动点。
注： 定理中的度量空间的完备条件不能去掉。 完备性是保证映射的不动点的存在，至于不动点的唯一性，
并不依赖于X的完备性。
压缩映射具有连续性，即对任何收敛点列 xn x0 (n ) 必有 Txn Tx0 (n )
泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量 空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空 间。
1、度量空间
设 X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素 x, y,都有唯一确 定的实数d (x, y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1° d(x, y) 0, d(x, y) 0 的充要条件为 x y 2° d(x, y) d(x, z) d( y, z) 对任意的 z 都成立， 则称 d (x, y)是 x, y之间的距离，称 (X , d)为度量空间或距离空
称(X , d) 为离散的度量空间。
（3）序列空间S 令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中的任意两点
x (1,2,...,n ,...), y (1,2,...,n,...), 令
d (x, y)
i 1
1 2i
| i i | 1 | i i
|
称 (S, d) 为序列空间。
（4）有界函数空间B(A） 设A是一个给定的集合，令B(A)表示A上有界实值（或复值）
n
d
(
xn
,
x)
0
则称点列{xn} 是(X , d) 中的收敛点列， x 是点列{xn}的极限。
收敛点列性质：
（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收
敛点列的极限是唯一的。
（2）M是闭集的充要条件是M中任何收敛点列的极限都在M中。 2、收敛点列在具体空间中的意义
（1）n 维欧式空间中：
为点集M的直径，若 (M ) ，则称M为(X , d) 中的有界集。
常用结论：度量空间中的收敛点列是有界点集。
4、稠密集，可分空间 （1）设X是度量空间，E和M是X中的两个子集，令M 表示M 的闭包，如果 E M ，那么称集M在集E中稠密。 等价定义：
如果E 中任何一点x 的任何邻域都含有集M中的点，就称 M在E中稠密。
1 | f (t) g(t) |
d
(
f
,
g
)
X
| 1
f |
(t) g(t) | f (t) g(t)
dt |
（6）C[a,b] 空间 令 C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，
对 C[a,b]中任意两点 x, y，定义
d(x, y) max | x(t) y(t) | at b
xm
(1(
m)
,
(m 2
)
,
...,
( n
m)
),
m
1, 2,...,
为 Rn 中的点列，
x (1 ,2 ,...,n ) Rn
lim
m
d
(
xm
,
x)
0
(m) i
i ,
(m
)
1
i
n
即：{xm} 按欧式距离收敛于 x 的充要条件是 xm 依坐标收敛于 x
（2）序列空间S中：
xm
(1(
m)
,
泛函分析部分
第七章 度量空间和赋范线性空间 第八章 有界线性算子和连续线性泛函
第七章 度量空间和赋范线性空间
§1 度量空间的进一步例子 §2 度量空间中的极限、稠密集、可分空间 §3 连续映射 §4 柯西点列和完备度量空间 §6 压缩映射原理及其应用 §8 赋范线性空间和巴拿赫空间
引言：
泛函分析：是20世纪发展起来的一门新的学科，德国数 学家希尔伯特，波兰数学家巴拿赫，匈牙利—美国数学家冯. 诺依曼，为此做出了主要贡献。
定理： 度量空间X到Y的映射T是X上的连续映射的充要条件 为Y中任意开集M的原像T 1M 是X中的开集。
§4 柯西点列和完备度量空间
1、柯西点列 设X (X , d)是度量空间，{xn}是X中点列，如果对任何事先给
定的 0 ，存在正整数 N N()，使当 n, m N时，必有
d (xn , xm ) 则称{xn}是X中的柯西点列或基本点列。
（1）欧式空间 Rn ，对每个 x (1,2 ,...,n ) Rn，定义 || x || | 1 |2 | n |2
欧式空间 Rn 按上述范数成Banach空间。
（2）空间C[a,b] ，对每个x C[a,b] ，定义 || x || max | x(t) | at b
空间 C[a,b] 按上述范数成Banach空间。
函数全体，对B(A)中任意两点 x, y ，定义
d(x, y) sup | x(t) y(t) |
tA
（5）可测函数空间M(X )
设 M(X ) 为X上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m
为勒贝格测度，若m(X ) ，对任意两个可测函数 f (t)及 g(t)
由于 | f (t) g(t) | 1 ，所以这是X上的可积函数。令
间。X 中的元素称为点。
U P0, P | d P, P0
称为点P0 的 邻域，P0 称为邻域的中心， 称为邻域的半径。
2、常见的度量空间
（1）n维欧式度量空间 （2）离散的度量空间 设 X 是任意的非空集合，对 X 中的任意两点x, y X ，令
d
(
x,
y)
1, 0,
if x y if x y
{xn}依范数收敛于 x 等价于{xn}按距离收敛于 x
称 d (x, y)为由范数 || x ||导出的距离。
度量和线性结构之间的协调性：dd
(x
(
y,0) x,0) |
d(x, y) | d(x,0)
2°范数 || x || 是 x 的连续函数。
4、巴拿赫空间及常用例子 完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。
泛函分析研究内容：是函数与数之间的对应关系； 例如：定积分就是一个泛函。 算子：函数空间和函数空间的对应关系。 例如：微分就是一个算子。
§1 度量空间的进一步例子
度量空间（距离空间）：
把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距 离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有 效步骤。 泛函分析中的度量空间（距离空间）：
等距同构，此时 T 称为 X 到 X 上的等距同构映射。
§6 压缩映射原理及其应用
1、压缩映射 设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数 ，
0 1，使得对所有的 x, y X ，成立 d(Tx,Ty) d(x, y)
则称T是压缩映射。 几何意义：压缩映射就是使映射后距离缩短 倍的映射。 2、不动点 设X为一个集合，T是X到X的一个映射，如果x* X ，使
连续性的极限定义 设T是度量空间(X ,d) 到 (Y , d ) 中的映射，那么T在 x0 X , 连续的充要条件为当 xn x0 (n ) 时，必有 Txn Tx0 (n ) 2、连续映射 如果映射T在X的每一点都连续，则称T是X上的连续映射。 称集合 {x | x X ,Tx M Y}为集合M在映射T下的原像。
（3）空间 l ，对每个 x (1,2,...) l，定义|| x || sup | j | j
空间 l 按上述范数成Banach空间。
在实数空间当中，柯西点列一定是收敛点列；但是在一 般的度量空间当中，柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛 点列一定是柯西点列。
2、完备的度量空间 如果度量空间 (X ,d) 中每一个柯西点列都在 (X ,d) 中收敛， 则称 (X ,d) 是完备的度量空间。
子空间完备性定理 完备度量空间X的子空间M，是完备空间的充要条件是：M
x(t)
|
lim
n
d
(
xn
,
x)Biblioteka 0{xn}在[a,
b]上一致收敛于
x
（4）可测函数空间 M(X )
设 { fn} 及 f 分别为可测函数空间中的点列及点，
lim d(
n
fn,
f
)
0
fn (t) f(t)
3、有界集
设M是度量空间(X , d) 中点集，定义 (M ) sup d (x, y) x, yM
对任一 x E ，有M中的点列{xn}，使得 xn x(n ) （2）当E=X时，称集M为X的一个稠密子集。
（3）如果X有一个可数的稠密子集时，称X为可分空间。
例题 1：（1）多项式全体所成的线性空间P是度量空间C[a,b] 的子集，则P在C[a,b] 中是稠密的。其中，以有理数为系数 的多项式全体是一个可数集，所以 C[a,b] 是可分空间。
§8 赋范线性空间和巴拿赫空间
1、赋范线性空间 设X是实（或复）的线性空间，如果对于每个向量x X ， 有一个确定的实数，记为 x 与之对应，并且满足：
1° x 0 且 x 0 等价于 x 0
2° x x 其中 为任意实（或复）数；
3° x y x y , x, y X 则称 x 为向量 x 的范数，称X按范数成为赋范线性空间。
i
则 l p 按 d(x, y) 成为度量空间。
§3 连续映射
回忆函数的连续性？ 1、度量空间中的连续性
设X (X , d)，Y (Y , d ) 是两个度量空间，T是X到Y中的映射,
x0 X ,如果对于任意给定 0，存在 0，使对X中一切满足
d (x, x0 ) 的 x，成立 d(Tx,Tx0) 则称T在 x0 连续。
2(
m
)
,
...,
( n
m
)
,
...),
m
1, 2,...,
为 S 中的点列，
x (1 ,2 ,...,n ,...) S
lim
m
d
(
xm
,
x)
0
(m) i
i
(m
)
,
（3）C[a,b] 空间
设
{xn }
及
x
分别为C[a, b]
中的点列及点，d ( xn ,
x)
max
a t b
|
xn (t)
（6）l p 空间
l p {x {xk } | xkp } k 1
设 x {xk } l p , y {yk } l p ，定义
1
d ( x,
y)
k 1
( yk
xk
)p
p
§2 度量空间中的极限、稠密集、 可分空间
1、收敛点列
设{xn}是(X , d)中点列，如果存在
x X，使
lim
类似于普通向量的长度
2、关于极限的定义（依范数收敛）
设{xn}是X中一点列，如果存在x X ，使 || xn x || 0(n )
则称{xn}依范数收敛于 x ，记为 xn x(n ) 或
lim
n
xn
x
3、赋范线性空间的性质
1°赋范线性空间不仅是线性空间，也是一个度量空间。
如果令d(x, y) || x y ||, (x, y X ),可以验证 d (x, y是) X上的距离。
（2）n 维欧式空间Rn 是可分空间，因为坐标为有理数的全 体是一个可数集，是 Rn 中的稠密子集。
(3)l p 为可分空间。 (4)l 为不可分空间。
l p 表示有界实（或复）数列全体，对l p 中任意两点
x (1,2 ,...) y (1,2,...) 定义 d (x, y) sup | i i |
是X中的闭子空间。
例题 1： l p (1 p ) 及 l 是完备度量空间
例题 2：n维欧几里的空间是完备度量空间 例题 3：C[a,b] 是完备度量空间
等距同构映射
设 ( X , d), ( X , d ), 是两个度量空间，如果存在 X到 X 的 保距映射 T ，即d (Tx,Ty) d (x, ，y) 则称 ( X , d ), 和 ( X , d ),
得 Tx* x*，则称 x*为映射T的不动点。
3、压缩映射定理 设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且 只有一个不动点。
完备度量空间中的压缩映射必有唯一的不动点。
注： 定理中的度量空间的完备条件不能去掉。 完备性是保证映射的不动点的存在，至于不动点的唯一性，
并不依赖于X的完备性。
压缩映射具有连续性，即对任何收敛点列 xn x0 (n ) 必有 Txn Tx0 (n )
泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量 空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空 间。
1、度量空间
设 X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素 x, y,都有唯一确 定的实数d (x, y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1° d(x, y) 0, d(x, y) 0 的充要条件为 x y 2° d(x, y) d(x, z) d( y, z) 对任意的 z 都成立， 则称 d (x, y)是 x, y之间的距离，称 (X , d)为度量空间或距离空
称(X , d) 为离散的度量空间。
（3）序列空间S 令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中的任意两点
x (1,2,...,n ,...), y (1,2,...,n,...), 令
d (x, y)
i 1
1 2i
| i i | 1 | i i
|
称 (S, d) 为序列空间。
（4）有界函数空间B(A） 设A是一个给定的集合，令B(A)表示A上有界实值（或复值）
n
d
(
xn
,
x)
0
则称点列{xn} 是(X , d) 中的收敛点列， x 是点列{xn}的极限。
收敛点列性质：
（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收
敛点列的极限是唯一的。
（2）M是闭集的充要条件是M中任何收敛点列的极限都在M中。 2、收敛点列在具体空间中的意义
（1）n 维欧式空间中：
为点集M的直径，若 (M ) ，则称M为(X , d) 中的有界集。
常用结论：度量空间中的收敛点列是有界点集。
4、稠密集，可分空间 （1）设X是度量空间，E和M是X中的两个子集，令M 表示M 的闭包，如果 E M ，那么称集M在集E中稠密。 等价定义：
如果E 中任何一点x 的任何邻域都含有集M中的点，就称 M在E中稠密。
1 | f (t) g(t) |
d
(
f
,
g
)
X
| 1
f |
(t) g(t) | f (t) g(t)
dt |
（6）C[a,b] 空间 令 C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，
对 C[a,b]中任意两点 x, y，定义
d(x, y) max | x(t) y(t) | at b
xm
(1(
m)
,
(m 2
)
,
...,
( n
m)
),
m
1, 2,...,
为 Rn 中的点列，
x (1 ,2 ,...,n ) Rn
lim
m
d
(
xm
,
x)
0
(m) i
i ,
(m
)
1
i
n
即：{xm} 按欧式距离收敛于 x 的充要条件是 xm 依坐标收敛于 x
（2）序列空间S中：
xm
(1(
m)
,
泛函分析部分
第七章 度量空间和赋范线性空间 第八章 有界线性算子和连续线性泛函
第七章 度量空间和赋范线性空间
§1 度量空间的进一步例子 §2 度量空间中的极限、稠密集、可分空间 §3 连续映射 §4 柯西点列和完备度量空间 §6 压缩映射原理及其应用 §8 赋范线性空间和巴拿赫空间
引言：
泛函分析：是20世纪发展起来的一门新的学科，德国数 学家希尔伯特，波兰数学家巴拿赫，匈牙利—美国数学家冯. 诺依曼，为此做出了主要贡献。
定理： 度量空间X到Y的映射T是X上的连续映射的充要条件 为Y中任意开集M的原像T 1M 是X中的开集。
§4 柯西点列和完备度量空间
1、柯西点列 设X (X , d)是度量空间，{xn}是X中点列，如果对任何事先给
定的 0 ，存在正整数 N N()，使当 n, m N时，必有
d (xn , xm ) 则称{xn}是X中的柯西点列或基本点列。
（1）欧式空间 Rn ，对每个 x (1,2 ,...,n ) Rn，定义 || x || | 1 |2 | n |2
欧式空间 Rn 按上述范数成Banach空间。
（2）空间C[a,b] ，对每个x C[a,b] ，定义 || x || max | x(t) | at b
空间 C[a,b] 按上述范数成Banach空间。
函数全体，对B(A)中任意两点 x, y ，定义
d(x, y) sup | x(t) y(t) |
tA
（5）可测函数空间M(X )
设 M(X ) 为X上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m
为勒贝格测度，若m(X ) ，对任意两个可测函数 f (t)及 g(t)
由于 | f (t) g(t) | 1 ，所以这是X上的可积函数。令
间。X 中的元素称为点。
U P0, P | d P, P0
称为点P0 的 邻域，P0 称为邻域的中心， 称为邻域的半径。
2、常见的度量空间
（1）n维欧式度量空间 （2）离散的度量空间 设 X 是任意的非空集合，对 X 中的任意两点x, y X ，令
d
(
x,
y)
1, 0,
if x y if x y
{xn}依范数收敛于 x 等价于{xn}按距离收敛于 x
称 d (x, y)为由范数 || x ||导出的距离。
度量和线性结构之间的协调性：dd
(x
(
y,0) x,0) |
d(x, y) | d(x,0)
2°范数 || x || 是 x 的连续函数。
4、巴拿赫空间及常用例子 完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。
泛函分析研究内容：是函数与数之间的对应关系； 例如：定积分就是一个泛函。 算子：函数空间和函数空间的对应关系。 例如：微分就是一个算子。
§1 度量空间的进一步例子
度量空间（距离空间）：
把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距 离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有 效步骤。 泛函分析中的度量空间（距离空间）：
等距同构，此时 T 称为 X 到 X 上的等距同构映射。
§6 压缩映射原理及其应用
1、压缩映射 设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数 ，
0 1，使得对所有的 x, y X ，成立 d(Tx,Ty) d(x, y)
则称T是压缩映射。 几何意义：压缩映射就是使映射后距离缩短 倍的映射。 2、不动点 设X为一个集合，T是X到X的一个映射，如果x* X ，使